2027届新高考数学热点冲刺复习函数的单调性与最值

2027届新高考数学热点冲刺复习

函数的单调性与最值CONTENTSYOURLOGO目录01定义回顾02题型练习03思维建模PART-01定义回顾考点1函数的单调性1.函数的单调性一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I:(1)增函数:如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调

递增,图象描述如图①.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增

函数;(2)减函数:如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调

递减,图象描述如图②.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减

函数.

增函数减函数图象描述自左向右看图象是________自左向右看图象是________上升的下降的(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上______________或______________,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,___________叫做函数y=f(x)的单调区间.

点睛有多个单调区间时应分开写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“,”或“和”连接.

单调递增

单调递减

区间D

2.函数的最值一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)∀x∈I,都有___________,

(2)∃x0∈I,使得____________,那么称M是函数y=f(x)的最大值;类比定义可得y=f(x)的最小值.

点睛(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到;(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

f(x)≤M

f(x0)=M

拓展1.单调函数的定义有以下两种等价形式:∀x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,(1)

>0⇔f(x)在D上是增函数;

<0⇔f(x)在D上是减函数.(2)(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0⇔f(x)在[a,b]上是减

函数.2.对勾函数y=x+

(a>0)的增区间为(-∞,-

]和[

,+∞),减区间为(-

,0)和(0,

).PART-02题型训练练习×

常数函数××

y=0×√题型一：基础函数根据图象判断函数的单调性

ABCD

2画图象

或

求导

判断单调性

题型二：反比例类型函数单调性（图像的平移

：针对x左加右减

整体：上加下减）

D练2：设函数f(x)=-x2+2x+8,g(x)=logax(0<a<1),则函数y=g(f(x))的单调递减区间为

(

)A.(-∞,1)

B.(-2,1)

C.(1,+∞)

D.(1,4)B复合函数的单调性:函数y=f(u),u=φ(x)在函数y=f(φ(x))的定义域上,如果y=f(u)与u=φ(x)的单调性相同,那么y=f(φ(x))单调递增;如果y=f(u)与u=φ(x)的单调性相反,那么y=f(φ(x))单调递减.同增异减例.函数f(x)=log2(x2-4)的单调递增区间为

.

题型三：复合函数的单调区间

一定要注意定义域，和同增异减题型四：判断或证明函数的单调性

法一：定义法法二：导数法【题型一】求函数的单调区间

[典例1](1)若函数f(x)=ax+1在R上是减函数,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是(

)

A.(2,+∞) B.(-∞,2)C.(4,+∞) D.(-∞,4)核心题型·分类突破B（2）.(混淆“单调区间”与“在区间上单调”)若函数f(x)=x2-2mx+1在[2,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是

.

题型五：分段函数单调性

C6.(忽视函数的定义域)已知函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是

.

D

PART-03思维建模【方法提炼】——自主完善,老师指导判断函数单调性常用的方法(1)定义法:一般步骤为取值→______→______→__________→得出结论.(2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的______或______确定单调性.(3)导数法:先求导数,利用导数值的______确定函数的单调性(或单调区间).作差变形判断符号上升下降正负【方法提炼】(1)比较大小:将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式:往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时,应特别注意函数的定义域.(3)求最值:利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数图象不易作出时.(4)求参数:通常要把参数视为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.解决分段函数的单调性问题,要注意上、下段端点值的大小关系.拓展1.单调函数的定义有以下两种等价形式:∀x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,(1)

>0⇔f(x)在D上是增函数;

<0⇔f(x)在D上是减函数.(2)(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0⇔f(x)在[a,b]上是减

函数.2.对勾函数y=x+

(a>0)的增区间为(-∞,-

]和[

,+∞),减区间为(-

,0)和(0,

).3.在公共定