湖南省长沙市望城区第二中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷（含部分答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年湖南省长沙市望城区第二中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若zz−1=1+i，则z的虚部为(

)A.1 B.−1 C.i D.−i2.在空间直角坐标系中，点A(−1,2,3)关于平面xOy对称点的坐标为(

)A.(1,2,3) B.(−1,−2,3) C.(−1,2,−3) D.(1,−2,−3)3.某学习小组共有6人，其中男生4人、女生2人，在一次考试中男生得分的平均数为90、方差为12，女生得分的平均数为81、方差为9，则该小组这次考试的总体方差为(

)A.29 B.37 C.84 D.874.过点P(3,2)作圆C：(x−1)2+(y−1)2=3的两条切线，切点分别为A和BA.2x+y−6=0 B.x+2y−7=0 C.x−y+1=0 D.3x+y−9=05.已知空间向量a=(1,−2,1)，b=(−1,0,−1)，则向量b在向量a上的投影向量是(

)A.(13,0,13) B.(−6.已知cos(α+β)=12，tanαtanβ=−15A.−13 B.13 C.−7.在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=π3，以AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为(

)A.83π B.63π8.已知正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面上，球心O在平面BCD内，棱AB与球面交于点P.若A∈平面α1，B∈平面α2，C∈平面α3，D∈平面α4，ai//ai+1(i=1,2,3)且α1与αi+1(i=1,2,3)之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与α2交于点A.2 B.1 C.2 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设正实数x，y满足2x+y=1，则(

)A.xy的最大值是18 B.2x+1y的最小值为9

C.4x210.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，AB，AD，AA1两两所成夹角均为60°，点E，F分别在棱BBA.A，E，C1，F四点共面

B.AA1在AC1方向上的投影向量为13AC1

C.11.棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱C1D1，A1A.平面PMN截正方体表面所得截面为五边形

B.平面PMN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为33

C.若QB1与DB1的夹角为30°，则Q点的轨迹长度为π

D.若A1C1，B1D1交于O三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l1：x−y−2=0，直线l2：3x+by+2=0，若l1//l2，则13.设集合A={x|x2+2(m+1)x+m2−1=0,m∈R}.且A∩{0,−4}=A，则实数m14.如图所示，二面角α−l−β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，且AC⊥l，BD⊥l，AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l1：x−2y+3=0，l2：2x+3y−8=0．

(1)求经过点A(1,4)且与直线l2垂直的直线方程；

(2)求经过直线l116.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形.△PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面PCD．

(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；

(2)若AB=2，求平面PAB与平面PBC所成二面角的正弦值．17.(本小题15分)

在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(2c−a)cosB=bcosA．

(1)求角B的大小；

(2)若△ABC的面积为83且b=6，求△ABC的周长．18.(本小题17分)

如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是BB1的中点．

(Ⅰ)求证：A1D⊥AC1；

(Ⅱ)求证：BD//平面AM19.(本小题17分)

如图，矩形ABCD中AB=12BC=2,E为AD中点，将△ABE沿着BE折叠至AC=23．

(1)证明：CE⊥平面ABE；

(2)设平面ABC∩平面ADE=l，点M∈l．

(i)当AM为何值时，直线DM与平面ACD所成角的正弦值为2211；

(ii)在满足条件(i)的情况下，过BM作一截面，与棱AE，AD，AC分别交于点F，H，G，且CE/​/平面BFHG，记四棱锥A−BFHG的体积为V1，四棱锥A−BCDE的体积为1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】ABC

10.【答案】ABD

11.【答案】BC

12.【答案】−3

13.【答案】(−∞,−1]∪{1}

14.【答案】215.【答案】解：(1)由直线l2：2x+3y−8=0⇒y=−23x+83，可得斜率为−23，

故可设所求直线方程为y=32x+b，

则依题意有4=32×1+b，解得b=52，

所以所求直线方程为y=32x+52，整理得3x−2y+5=0；

(2)联立x−2y+3=02x+3y−8=0，解得x=1y=2，即直线l1与l2的交点为(1,2)，

当直线的截距都不为0时，假设直线方程为xa+yb16.【答案】解：(1)证明：取PD的中点E，连接AE，

∵△PAD是正三角形，∴AE⊥PD，

又∵平面PAD⊥平面PCD，且平面PAD∩平面PCD=PD，AE⊂平面PAD，

∴AE⊥平面PCD．

∵CD⊂平面PCD，∴AE⊥CD，

又∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，

∵AD，AE⊂平面PAD，且AD∩AE=A，

∴CD⊥平面PAD.又CD⊂平面ABCD．

∴平面PAD⊥平面ABCD．

(2)由(1)知平面PAD⊥平面ABCD，可建立如图所示的空间直角坐标系，

∵AB=2，∴PA=AD=PD=2．

∴A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(1,0,3)．

则AB=(0,2,0)，AP=(−1,0,3)，BC=(−2,0,0)，BP=(−1,−2,3)．

设平面PAB的法向量为m=(x1,y1,z1).平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2)，

则m⊥ABm⊥AP，则m⋅AB=017.【答案】B=π3；

218.【答案】解：(Ⅰ)证明：在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，

连接AD1，∵四边形ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1，C1D1⊥A1D，

∵AD1∩C1D1=D1