江苏省南通市如东县第一高级中学、宿迁市第一高级中学、徐州中学、洋河高级中学2025-2026学年高二下学期第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省南通市如东县第一高级中学、宿迁市第一高级中学、徐州中学、洋河高级中学高二（下）第一次段考数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.某人通过普通话二级测试的概率为，若他连续测试3次（各次测试互不影响），则其中恰有一次通过的概率为（）A. B. C. D.2.若（1-2x）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6等于（）A.-1 B.0 C.1 D.43.甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为（）A.0.0123 B.0.0234 C.0.0345 D.0.04564.已知随机变量X的分布列如下：X-2012Pmn若E（X）=0，则D（3X+1）=（）A. B.7 C.21 D.225.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数α，，当|x|比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：（1+x）α≈1+α•x,并且|x|的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为（）A.2.015 B.2.023 C.2.031 D.2.0836.若随机事件A在一次试验中发生的概率为p（0＜p＜1），用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（）A.-3 B.0 C.1 D.37.《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为a≡b（modm）.若，a≡b（mod17），则b值可以是（）A.2026 B.2025 C.2024 D.20238.托马斯•贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P（Ai|B）=（i=1，2，…，n），这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.的展开式中的有理项有（）A.1 B.20x C.20x2 D.x210.将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个1点”，则下列说法中正确的是（）A.“至少出现一个1点”所包含的样本点数为6×6×6-5×5×5=91

B.“三个点数都不相同”所包含的样本点数为=120

C.P（A|B）=

D.P（B|A）=11.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）

A.第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数

B.第2025行中第1013个数和第1014个数相等

C.第34行中第15个数与第16个数之比为2：3

D.记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为

.13.已知在（x2+x+a）5展开式中含x5的项的系数为51，则正实数a的值为

.14.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，则点Q移动2次后仍在底面ABCD上的概率为

；点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知n的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等，

（1）求展开式的常数项；

（2）求展开式中系数最大的项.16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，DP=DC=2，=1.

（1）求线段AD的长；

（2）线段AD上是否存在点E，使得平面PEB与平面PAD夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.17.(本小题15分)

甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立.

（1）记X为3局比赛中甲赢的局数，求X的分布列和均值；

（2）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

（3）求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率.18.(本小题17分)

人工智能是当前全球科技竞争的焦点，而高性能智能芯片是AI发展的核心基石.为加速突破关键核心技术，某人工智能创新中心举办了一场智能芯片设计攻关赛，比赛按逻辑设计、物理实现、流片与测试三个环节依次进行，参赛者只有通过当前环节，才能进入下一环节.已知老张、小李、小军三位工程师通过逻辑设计环节的概率分别为，通过物理实现环节的概率分别为.已知三人之间以及每人的不同环节之间互不影响.

（1）当a为何值时，老张通过逻辑设计环节和物理实现环节的概率最大？

（2）当时，设老张、小李、小军三位工程师中能进入流片与测试环节的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.19.(本小题17分)

“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提•霍尔.游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲•沃斯•莎凡特给出了正确答案：应该换门.

（1）请用所学概率知识解释玛丽莲•沃斯•莎凡特给出的答案；

（2）当跑车门数不变，山羊门数增加，即总共门数是n（n≥4），其中只有一扇门后面有一辆跑车，证明：游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高；

（3）如果有n（n≥3，n∈N*）扇门，其中一扇门后有1万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入500元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数n满足什么条件时，参与者投入500元是值得的？

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】ABD

10.【答案】ABC

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】1

14.【答案】

15.【答案】解：（1）因为展开式中的第3项与第5项的二项式系数相等，

所以，结合，解得n=2+4=6，

在的展开式中，

通项公式为，

令6-2r=0，解得r=3，可得展开式中的常数项为；

（2）设第r+1项的系数最大，系数为，

结合题意得，解得，

结合r∈N，可得r=4，故展开式中系数最大的项为．

16.【答案】解：（1）解：因为底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，

所以DA，DC，DP两两互相垂直，

则以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

设AD=a,则D（0，0，0），A（a,0，0），B（a,2，0），P（0，0，2），

所以，，

因为=1，所以a2=1，解得a=1，

所以线段AD的长为1；

（2）设线段AD上存在点E，使得平面PEB与平面PAD夹角的余弦值为，

设=（λ，0，0）（0≤λ≤1），所以=（λ，0，-2），，

设平面PEB的法向量为，

则，令z=λ，则x=2，y=λ-1，所以，

由题知，平面PAD的一个法向量为，

因为平面PEB与平面PAD夹角的余弦值为，

所以，

化简得：16λ2-34λ+13=0，解得或（舍去），

所以=．

17.【答案】解：（1）由题知甲每局赢的概率为，甲不赢的概率为，X的取值为0，1，2，3，

则P（X=0）==，P（X=1）=，

P（X=2）=，P（X=3）=，

则X的分布列为：X0123PE（X）==；

（2）由题知乙每局赢的概率为，乙不赢的概率为，

因为乙在4局以内（含4局）赢得比赛，

则分两种情况：分乙前3局全胜和前3局只有一局不胜，第四局乙胜，

所以乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率：

P=；

（3）由题知比赛6局结束，且甲赢得比赛应要满足：前5局甲只赢2局且其他三局中至少和棋一局，

第六局甲赢，又每局甲赢的概率为，和棋的概率为，乙赢的概率为，

故所求概率为P′=×=．

18.【答案】

分布列为：ξ0123P

19.【答案】解：（1）如果不换门，则中奖的概率为，

如果换门，则中奖的概率为，

由于，所以换门中奖的概率大，