《电工电子技术》-第二章

2.1正弦量的三要素2.1.1正弦量正弦交流电因为易于产生，便于输送和变换，在现代生产和生活中应用广泛。什么是正弦交流电?它与直流电有什么区别?先看如图2-1所示的几种电压和电流的波形图。

图2-1(a)中，电压和电流的大小与方向都不随时间的变化而变化，是恒定的，这种恒定的电压和电流称为直流电压和直流电流，统称为直流电量。下一页返回2.1正弦量的三要素图2-1(b),(c)和(d)中，电压和电流的大小与方向都随时间的变化而变化，是交变的，这种交变的电压和电流称为直流电压和直流电流，统称为交流电量。而图2-1(d)中，电压和电流的大小与方向都随时间按正弦规律变化，故这种交流电量称为正弦交流电，简称为正弦量。下面以正弦电流为例，来说明正弦电量的特征。设有一个正弦电流，其数学表达式为

(2.1)其中:i为瞬时值，即表示任意时刻正弦交流电流的值，用小写的英文字母来表示，如u、e可表示正弦电压、正弦电动势的瞬时值;Im为正弦量的最大值;为正弦量的角频率；称为初相位。上一页下一页返回2.1正弦量的三要素这三个物理量与时间t确定的正弦量是唯一的。因此，将它们称为正弦量的三要素。正弦电量的三要素是正弦电量之间进行比较和区分的依据。其波形图如图2-2所示。2.1.2周期、频率和角频率

1.周期和频率正弦交流电是时间的周期函数，其完整变化依次所需的时间称为周期，用字母T表示，单位是(s)。正弦交流每秒内变化的次数称为频率，用字母f表示，单位是赫兹(Hz)。我国采用50Hz作为电力标准频率，又称工频。显然，频率和周期互为倒数，即

f=1/T或T=1/f (2.2)上一页下一页返回2.1正弦量的三要素频率和周期均表示正弦交流点变化的快慢。正弦交流电变化的快慢还可以用角频率表示，角频率就是正弦交流电在每秒内变化的弧度，用字母表示，单位时弧度/秒(rad/s)。正弦量变化依次需经历，故角频率与周期、频率的关系为

(2.3)

2.相位、初相位和相位差随时间变化的角度称为正弦交流电的相位，或称相角，它反应了正弦交流电随时间变化的进程。是正弦量在t=0时的相位，称为初相位，简称初相，即

上一页下一页返回2.1正弦量的三要素初相的单位用弧度或度来表示，其取值范围为。显然，初相位与所选计时起点有关。原则上，对于任一正弦电量，初相位可以任意选定，但对于同一电路中的多个相关的正弦电量来说。只能对于一个共同的计时起点确定各自的相位。因此，只能任选其中的某一个正弦电量的初相位为零的瞬间作为计时起点，这个初相位为零的正弦电量称为参考正弦量。这时其他各量的初相位就不一定等于零了。两个同频率正弦量相位之差称为相位差，用字母表示。在电路中常用“相位差”的概念描述两个同频率正弦电量之间的相位关系。上一页下一页返回2.1正弦量的三要素设两个同频率的正弦电量u,i为则它们的相位差为

(2.4)

上一页下一页返回2.1正弦量的三要素即两个同频率正弦电量的相位差就等于它们的初相位差。当正弦量的计时起点改变时，其相位和初相位都会随之改变，但是两者之间的相位差保持不变，即相位差与计时起点的选取和变动无关。在电路中常采用“超前”和“滞后”来说明两个同频率正弦电量的相位比较结果。如图2-3所示，对于式(2.4)中的有以下关系成立。若，称u比i超前小角，或者说i比u滞后小角(如图2-3(a)所示);若，称u比i滞后中角，或者说i比u超前中角;上一页下一页返回2.1正弦量的三要素若，称u与i同相(如图2-3(b)所示);若，称u与i反相(如图2-3(c)所示);若，称u与i正交(如图2-3(d)所示)。

3.瞬时值、有效值和最大值正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示，如用i,u及e分别表示正弦交流电流、电压、电动势的瞬时值。瞬时值中最大的值称为幅值或最大值，用带下标m的大写字母表示，如i,u及e的最大值分别用Im,Um,E二来表示。正弦交流电的瞬时值是随时间而变化的，因此不能用它来表示正弦量的大小，而最大值虽然能够反映正弦量的大小，但毕竟只是一个特定的瞬间的数值，也不能用来计算正弦量。上一页下一页返回2.1正弦量的三要素实际上交流电的大小，是用交流电的有效值来衡量的。它是根据电流的热效应来定义的，即当某一交流电流i通过一个线性电阻R时，在一个周期内所产生的热量，与某一直流电流I通过同一电阻在相同时间内产生的热量相等，则这一直流电流的数值就称为该电流的有效值。交流电流I在一个周期T内，通过某一线性电阻R所产生的热量为某一直流电流I在相同的时间T内，通过同一电阻R所产生的热量为Q2=I2RT上一页下一页返回2.1正弦量的三要素根据有效值的定义，Q1=Q2，则有即交流电流的有效值

(2.5)

式(2.5)表明正弦交流电流的有效值为它在同一周期的方均根值。同样可以得到交流电压、交流电动势的有效值为

(2.6) (2.7)上一页下一页返回2.1正弦量的三要素习惯上交流电流的有效值与直流电量一样，都用大写字母表示。对于正弦交流电流，设，则它的有效值即

(2.8)同理，对于正弦交流电压、电动势、它们的有效值为

(2.9) (2.10)上一页下一页返回2.1正弦量的三要素式(2.8)、式(2.9)和式(2.10)表明正弦交流电量的最大值是其有效值的倍。因此，根据这一关系将正弦电量改写成如下形式

通常交流电器设备的铭牌上所标的额定电压和额定电流都是指有效值;一般的交流电压表和电流表的读数也指的是有效值。同频率正弦量的代数和，两个同频率正弦相量的乘和除，正弦量乘以常数，正弦量的微分和积分等运算，其结果仍为一个同频率正弦量。这是正弦量的一个十分重要的性质。上一页返回2.2正弦量的相量表示法2.2.1正弦量的相量表示在分析交流电路时，不可避免的要进行正弦量的计算。前面介绍过的三角函数式或正弦波形，虽然能明确地表达正弦量的三要素，但是用这两种方法进行正弦量的各种运算十分不便，下面将要介绍的正弦量的表示方法，可以把三角函数运算简化为复数形式的代数运算，极大地简化了正弦交流电路的计算。下面首先回顾有关复数的一些基本概念。下一页返回2.2正弦量的相量表示法1.复数

(1)复数的表示方法:一个复数可以有四种表示方法，现以复数A为例来说明。①复数的代数形式表示为

A=a+jb (2.11)其中:a和b是任意实数，分别表示复数A的实部与虚部;为虚数单位。在数学中虚数单位为I，在电工技术中，由于I表示电流，故采用j作为虚数单位，以免混淆。上一页下一页返回2.2正弦量的相量表示法复数A也可以用复平面内的一条有向线段来表示，如图2-4所示，线段的长度为r，与实轴方向的夹角为则

(2.12)其中:r称为复数A的模;称为复数A的辐角。②复数的三角函数的形式可由图2-4得

(2.13)

式(2.13)为复数的三角函数形式，根据欧拉公式，可以得出复数的第三种表示方式。上一页下一页返回2.2正弦量的相量表示法③复数的指数形式表示为

(2.14)式(2.14)为复数的指数形式。④复数的极坐标形式是指数形式的简写，即

(2.15)

式(2.15)为复数的极坐标形式。上述复数的四种形式可以相互转换。若两个复数的实部与虚部分别相等，则称这两个复数相等。上一页下一页返回2.2正弦量的相量表示法(2)复数运算。①复数的加减运算，复数的加减运算规则是各个复数的实部与虚部分别相加减。因此，复数的加减运算宜用代数和的形式或三角函数形式进行。例如则 (2.16)复数的加减运算也可以在复平面内用平行四边形法则作图完成，如图2-5所示。②复数的乘除运算。复数的乘除运算宜用指数形式或极坐标形式进行。例如上一页下一页返回2.2正弦量的相量表示法则或 (2.17)

2.相量一个正弦量是由它的三要素，即振幅(或有效值)、频率以及初相决定的。但在线性交流电路中，外加相同频率的正弦电源时，在电路中各部分所产生的电流和电压的频率都与电源的频率相同。这样，在分析正弦交流电路时可以把频率这一要素作为已知量，于是只剩下正弦电量的大小和初相两要素进行计算。由复数的指数形式可知，复数也有两个要素，即模和辐角。这样就可以将正弦量用复数来描述，用复数的模来表示正弦量的大小，用复数的辐角表示正弦的初相位，这种用于表示正弦交流电的复数称为相量。上一页下一页返回2.2正弦量的相量表示法例如，对于正弦电压可以用复数来表示，即

为了区别于一般的复数，正弦量的相量用大写字母上加符号“·”表示，用正弦量幅值定义的相量称为幅值相量，也可以定义有效值的相量，如和。因此，正弦量与表示正弦量的相量之间是一一对应的关系，可以直接根据正弦量写出与之对应的相量;反之，也可以从相量直接写出与之对应的正弦量，但必须给出正弦量的频率，因为相量没有反映出正弦量的频率。上一页下一页返回2.2正弦量的相量表示法2.2.2相量图相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。在同一复平面内表示的各相量频率相同，画相量图时要注意各正弦量之间的相位差。正弦电压的相量图如图2-6所示。上一页下一页返回2.2正弦量的相量表示法需要特别指出以下几点。

(1)正弦量是时间的函数，而正弦量的相量并非是时间的函数，所以只能说明相量表示正弦量，而不是等于正弦量;(2)只有同频率的正弦量，才能画在同一向量图中进行相量运算;(3)在应用相量分析时，先将正弦量变换成对应的相量，通过相量的代数运算或相量图运算求得所求正弦量对应的相量，再由该相量写出对应正弦量的瞬时值表达式;(4)电工计算中附属算子j称为旋转90o的算子。因为

因此任意一个相量乘以j，就会使这个相量在向量图上逆时针旋转90o;除以j，相当于乘以一j，就会使该相量顺时针旋转90o

。上一页返回2.3电阻、电感、电容元件的特性

实际电路中有三种基本元件:电阻、电感和电容。严格来说，只包含单一参数的理想电路元件是不存在的，但当一个实际元件中只有一个参数起主要作用时，可以近似地把它看成单一参数的理想电路元件。实际电路可能比较复杂，但一般来说，除电源外，其他部分都可以用单一参数电路元件组成电路模型。本节将导出这三种基本元件电压与电流之间关系的相量形式。下一页返回2.3电阻、电感、电容元件的特性2.3.1电阻电路1.电压电流关系如图2-7(a)所示电路是一个线性电阻元件的交流电路。电阻元件的电压电流关系由欧姆定律确定，在u和i参考方向一致时，两者的关系为

u=Ri设电流为参考正弦量，即

(2.18)即 (2.19)

上一页下一页返回2.3电阻、电感、电容元件的特性由式(2.18)和式(2.19)可见，u,i为同频率的正弦量，可作出u和i的波形图和相量图分别如图2-7(b),(c)所示。比较式(2.18)和式(2.19)可知，电压u和电流i有如下大小和相位关系:u和i的相位差为即电阻元件上电压和电流同相。u和i的幅值关系为Um=RImu和i的有效值关系为U=RI上一页下一页返回2.3电阻、电感、电容元件的特性电压电流的上述关系也可用相量形式表示。若电流相量为，由于u、i同相，则，而电压有效值U=RI，所以电压相量为因此

(2.20)

式(2.20)就是电阻元件电压电流相量关系式。由于电阻R为常数，式(2.20)既表明相量和的，即电压和电流同相位;又通过两边的模相等U=RI表明了它们的有效值大小关系，体现了相量形式的欧姆定律。上一页下一页返回2.3电阻、电感、电容元件的特性2.功率电路任一瞬时所吸收的功率称为瞬时功率，用小写字母p表示。它等于该瞬时电压u和电流i的乘积。电阻电路所吸收的瞬时功率为

由此可见，电阻从电源吸收的瞬时功率是由两部分组成的:第一部分是恒定值UI;第二部分是幅值为UI、并以的角频率随时间变化的交变量。功率的变化曲线如图2-8所示，从曲线可以看出，电阻所吸收的功率在任一瞬时总是大于或等于零的，即电阻是耗能元件。上一页下一页返回2.3电阻、电感、电容元件的特性瞬时功率无实用意义，通常计算一个周期内吸收功率的平均值，称为平均功率或有功功率，用大写字母P表示。电阻元件的平均功率等于电压和电流的乘积，由于电压有效值U=RI，所以

P=UI=RI2=U2/R (2.21)电阻电路实际消耗的电能等于平均功率乘以通电时间。2.3.2电感电路1.电压电流关系电感电路如图2-9(a)所示。上一页下一页返回2.3电阻、电感、电容元件的特性在关联参考方向下，电感元件的电压电流关系为

u=-e=Ldi/dt若设电流i为参考正弦量，即

(2.22)则

(2.23)

由式(2.22)和式(2.23)可知，电压和电流同频率，其波形图和相量图分别如图2-9(b),(c)所示。比较这两个式子，可知电压u和电流i有如下大小和相位关系:上一页下一页返回2.3电阻、电感、电容元件的特性u和i的相位差为即电感元件上电流i比电压u滞后90o。U、i的幅值关系为u、i的有效值关系为式中XL称为感抗，单位为欧姆(Ω)，且

上一页下一页返回2.3电阻、电感、电容元件的特性上式表明，同一个电感线圈的电感值为定值，它对不同频率的正弦电流体现出不同的感抗，频率越高，感抗越大。因此，电感元件对高频电流有较大的阻碍作用。在极端情况下f=0，则XL=0，因此电感在直流电下相当于短路线;当时，，即通入交流电的频率越高，电感所呈现的感抗越大。u,i的相量关系如下:若电流相量为，根据前面的关系式可得电压相量为即

(2.24)

上一页下一页返回2.3电阻、电感、电容元件的特性式(2-24)既表明了u、i的相位关系，又表明了u、i的有效值关系，是欧姆定律对电感元件的相量表示形式。

2.功率电感电路所吸收的瞬时功率为

由此可见，电感从电源吸收的瞬时功率是幅值为UI、以的角频率随时间变化的正弦量。电感元件的功率变化曲线如图2-10所示。从功率曲线可以看出，曲线所包围的正、负面积相等，故平均功率(有功功率)为上一页下一页返回2.3电阻、电感、电容元件的特性这就说明纯电感元件不消耗有功功率，但是电感与电源之间存在着能量交换。在第一个1/4周期内，随着电感中电流的增长，磁场建立，电感从电源中吸取能量，且此时电压和电流方向一致，所以p>0，这一过程中电感将电能转换为磁场能;在第二个1/4周期内，电感中电流减小，磁场逐渐消失，此时电感将储存的能量释放出来反馈给电源，且电压和电流方向相反，所以p<0，这一过程中电感将磁场能转换为电能;在第三个1/4周期内，电感又有一个储能过程;在第四个1/4周期内，电感又有一个放能过程。电感中的能量转换就这样交替进行，在一个周期内吸收和放出的能量相等，因而平均值为零。这一事实说明，电感不消耗能量，是一种储能元件，它在电路中起着能量的“吞吐”作用。上一页下一页返回2.3电阻、电感、电容元件的特性电感虽然不消耗功率，但与电源之间有能量的交换，电源要给电感提供电流，而实际电源的额定电流是有限的，所以电感元件对电源来说仍是一种负载，它要占用电源设备的容量。电感与电源之间功率交换的最大值用QL表示，有

QL=UI=I2XL=U2/XL (2.25)

式(2.25)与电阻电路中的P=UI=RI2=U2/R在形式上相似且有相同的量纲，但在本质上是有区别的。尸是电路中消耗的功率，称为有功功率，其单位是瓦(W);而QL只反映电感中能量互换的速率，不是消耗的功率，为了与有功功率区别，称之为无功功率，单位是乏尔(var)，简称乏。上一页下一页返回2.3电阻、电感、电容元件的特性2.3.3电容电路1.电压电流关系电容元件的交流电路如图2-11所示。在关联参考方向下，电容元件的电压电流关系为i=dQ/dt=Cdu/dt在如图2-11(a)所示电路中，设电压为参考正弦量，即

(2.26) (2.27)上一页下一页返回2.3电阻、电感、电容元件的特性由此可知，通过电容的电流L与它的端电压u是同频率的正弦量，两者的波形图与相量图分别如图2-11(b),(c)所示。比较式(2.26)和式(2.27)可知，电压u和电流i有如下大小和相位关系:u和i的相位差为即电容元件上电流比电压超前90o。u和i的幅值关系为u和i的有效值关系为上一页下一页返回2.3电阻、电感、电容元件的特性其中:XC称为容抗，单位为欧姆(Ω)，且

(2.28)

式(2.28)表明，对一定容量的电容器，通入不同频率的交流电时，电容会表现出不同的容抗，频率越高，容抗越小。在极端情况下，若，则，此时电容可视为短路;若f=0(直流)，则，此时电容可视为开路;这说明了电容元件的“隔直通交”作用。

u和i的相量关系如下:由式(2.27)和式(2.28)可知或

上一页下一页返回2.3电阻、电感、电容元件的特性这是电容电路中欧姆定律的相量表示形式，它既表达了纯电容元件电压和电流有效值之间的关系，又表达了它们的相位关系()。

2.电容电路中的功率电容电路所吸收的瞬时功率为

(2.29)功率瞬时值曲线如图2-12所示。

由式(2.29)可知，电容从电源吸取的瞬时功率是幅值为UI并以角频率随时间变化的正弦量，其曲线如图2-12所示。从功率曲线可以看出其平均功率仍为0，这说明电容不消耗有功功率，但电容与电源之间仍存在着能量交换。上一页下一页返回2.3电阻、电感、电容元件的特性在第一个1/4周期内，随着电容中端电压增长，电场逐渐增强，电容从电源吸取能量，此时p>0，这一过程中电容将电能转换为电场能(充电);在第二个1/4周期内，电容将储存的能量释放出来反馈给电源，此时p<0，这一过程中电容释放能量(放电);在第三个1/4周期内，电容反方向充电;在第四个1/4周期内，电容反方向放电。在一个周期内充放电能量相等，平均值为零。这一事实说明，电容不消耗能量，但可储存能量，是一个储能元件，在电路中也起着能量的“吞吐”作用。与电感相似，电容与电源功率交换的最大值也称为无功功率，用QC表示，有QC=UI=I2XC=U2/XC综上所述，电容电路中电压与电源的关系可用欧姆定律来表示，电容不消耗功率，其占用的无功功率是QC=UI=I2XC=U2/XC。上一页返回2.4正弦交流电路中元件的串并联

上节讨论的是由理想电阻、理想电感和理想电容元件分别组成的单一参数交流电路。实际的电路模型都是几种单一参数元件电路的某种组合。如电阻电感和电容串联的电路(RLC串联电路)，这是一种典型电路，下面用相量模型来讨论这种电路的特性。下一页返回2.4正弦交流电路中元件的串并联2.4.1RLC串联电路

1.电流电压的时域关系电阻R、电感L和电容C组成的串联电路如图2-13(a)所示。图中标出了电流和各元件电压的参考方向。由于流过各元件的电流是相同的，设电流的表达式为

(2.30)于是电阻、电感和电容的端电压的表达式则为

(2.31)上一页下一页返回2.4正弦交流电路中元件的串并联根据基尔霍夫电压定律，总电压应为u=uR+uL+uC(2.32)

式(2.32)是同频率的正弦量相加，所得的仍为同频率的正弦量。故总电压的表达式可写作

(2.33)其幅值为Um与电流之间的相位差为。2.基尔霍夫电压定律的相量形式在RLC串联电路中的应用以电流作为参考相量画出RLC串联交流电路的相量图，如图2-13(a)所示。上一页下一页返回2.4正弦交流电路中元件的串并联此图十分直观地表明与同相，超前90o,则滞后于90o。此运算过程是复数相加，各相量表示如下

(2.34)总电压等于三个电压的相量和

(2.35)上一页下一页返回2.4正弦交流电路中元件的串并联利用式(2.35)，就能得出各电压有效值之间的关系

(2.36)

可见这几个电压之间的关系可以用直角三角形三个边之间的关系来描述，如图2-14所示。其中。此三角形称正弦串联电路的电压三角形。

3.端口上的电压电流关系将电阻、电感和电容的电压与电流关系代入式(2.35)中，可得

(2.37)则有

(2.38)上一页下一页返回2.4正弦交流电路中元件的串并联式(2.38)称为交流电路欧姆定律的相量形式。式中Z称为交流电路的复阻抗，单位为Ω。复阻抗的实部是电阻R，它的虚部X=XL-XC称为电路的阻抗。复阻抗还可以写作

(2.39)

可见复阻抗各量之间的关系可用直角三角形三个边的关系来描述，如图2-15所示，中角又称为阻抗角，它决定于上述阻抗三角形三个边的关系。

电压三角形与阻抗三角形是相似的。至于电压U与电流I的相位差，可以根据电压三角形或阻抗三角形得出，即

(2.40)上一页下一页返回2.4正弦交流电路中元件的串并联从式(2.40)可以看出，电压U与电流I的相位差小角的大小和正负完全由负载的电路参数来决定。如果XL>XC，即UL>UC，则>0，电压U的相位超前于电流I，这时电路呈电感性。与此相反，当XL<XC

，即UL<UC

时，<0，电压U的相位滞后与电流I，这时电路呈电容性。当然也可能XL=XC

，即UL>UC，=0，电压U与电流I同相，这时电路就是电阻性的。在分析和计算交流电路时，必须特别注意相位关系。上述串联电路的总电压应该等于三个分电压的相量和，如果写成U=UR+UL+UC，那就是概念性错误。应为上述三个有相位差的分电压，它们的最大值不会在同一瞬间出现，因此，，也就不可能有U=UR+UL+UC这样的关系。上一页下一页返回2.4正弦交流电路中元件的串并联应当指出，虽然复阻抗与相量的形式相同，但它不代表正弦量，所以不能叫相量，为了区别，复阻抗用不加点的大写字母Z来表示。2.4.2RLC并联电路如图2-16(a)所示电路是RLC并联的电路，在正弦电压U的作用下，各支路的电流IR、IL、IC为同频率的正弦量。设电压为

(2.41)上一页下一页返回2.4正弦交流电路中元件的串并联则各支路电流为

(2.42)根据根据基尔霍夫电流定律，并联电路总电流为

(2.43)上一页下一页返回2.4正弦交流电路中元件的串并联其相量关系式为

(2.44)

(2.45)

在并联电路中，各支路端电压相同，若选择端电压为参考相量，可得RLC并联电路相量图，如图2-17所示。在图中可见，电流相量间构成直角三角形，即总电流有效值为 上一页下一页返回2.4正弦交流电路中元件的串并联 (2.46)电路中的电压相量与总电流相量之间的相位差为

(2.47)当时，为正，总电流滞后于电压，电路呈电感性。当时，为负，总电流超前于总电压，电路呈电容性。当时，=0，总电流与总电压同相，电路呈电阻性。上一页返回2.5正弦交流电路的功率2.5.1瞬时功率一般负载的交流电路如图2-18所示，负载电路的端电压和总电流之间存在相位差。的大小、正负由负载的具体情况决定。因此，负载的端电压和总电流的关系可表示为

(2.48)负载取用的瞬间功率P为

下一页返回2.5正弦交流电路的功率瞬时功率是随时间变化的。变化曲线如图2-19所示，可以看出瞬时功率有时为正，有时为负。正值为负载从电源吸收功率，负值为从负载中的储能元件(电感和电容)释放出能量送回电源。上述瞬时功率的平均值(即有功功率)为

(2.49)

可见，有功功率等于负载端口上电压电流有效值的乘积再乘以。式(2.49)中的称为功率因数，一般用表示，称为功率因数角。因为，所以有功功率总小于电源提供的功率，另外，负载中存在无功功率，这一点与直流电路不同。上一页下一页返回2.5正弦交流电路的功率2.5.2无功功率在前面单一参数交流电路中，讨论过无功功率是储能元件与电源进行能量交换的规模。在RLC串联电路中，由于电容端电压与电感端电压始终反相，所以如图2-19所示储能元件的总电压为

(2.50)所以

(2.51)上一页下一页返回2.5正弦交流电路的功率由式(2.51)可知，电感元件的无功功率和电容元件的无功功率可以互相抵消一部分。这是因为在RLC串联电路中，UL与UC总是反相的，所以瞬时功率pL=ULI与pC=UCI的数值也是相反的。当pL>0时电感吸收能量，而此时pC<0，电容正释放能量，两者互相补偿。因此它们在电路中对电源进行能量交换的总规模就减小了。若电路是RL串联电路，则无功功率同理，RC串联电路中，无功功率上一页下一页返回2.5正弦交流电路的功率2.5.3视在功率和功率三角形在交流电路中，端电压的有效值和电流的有效值乘积称为视在功率，用S表示，即

S=UI (2.52)

视在功率的单位为V·A(伏安)或kV·A(千伏安)。虽然视在功率S具有功率的量纲，但它与有功功率和无功功率是有区别的。视在功率的实际意义在于，它表明了交流电气设备能提供或取用功率的能力。交流电气设备的这种能力是按照预先设计的额定电压和额定电流来确定的。电气设备的这种能力也称为容量，用额定视在功率SN来表示，即上一页下一页返回2.5正弦交流电路的功率 SN=UNIN (2.53)交流电气设备应在额定电压UN条件下工作，所以电气设备允许提供或允许取用的电流为

IN=SN/UN (2.54)设备的运行要受到UN和IN的限制。因为所以

S2=P2+Q2 (2.55)或

(2.56)上一页下一页返回2.5正弦交流电路的功率视在功率S有功功率P和无功功率Q之间可用图2-20中的直角三角形来表示。这个三角形称为功率三角形。在功率三角形中显然有

(2.57)所以，阻抗三角形、电压三角形和功率三角形都是相似三角形。上一页下一页返回2.5正弦交流电路的功率2.5.4功率因数的提高在交流供电电路中，接有各种类型的负载，而电路中的功率因数仅仅取决于负载本身的参数。例如，生产中大量使用交流异步电动机，可以看成是电阻和电感的串联，它既消耗电能带动机械转动，又要与电源进行能量交换。异步电动机的功率因数较低，在0.5~0.85之间。电阻炉和白炽灯可以看成是电阻负载，只消耗能量，功率因数。上一页下一页返回2.5正弦交流电路的功率负载的功率因数太低，将使发电设备发出的视在功率得不到充分利用，浪费了发电厂潜在能量。例如，一台额定电压为220V、额定容量为100kV.A的单相变压器，如果向电阻负载供电，当变压器满负荷运行时，供给电阻负载的有功功率为100kW，即将全部额定视在功率作为有功功率提供给负载。此时，输出电流达到额定值，即IN=SN/UN=100x103V·A/220V=454.5A。若变压器向功率因数仅为0.1的负载满负荷供电时，有功功率P=SN=100x0.1=10kW。输出电流IN=SN/UN=454.5A。两种负载情况，变压器输出了同样的电压和电流，而有功功率相差了9倍。显然功率因数低，发电设备发出的电力就不能较多地转换成有用功。另外，在交流电路中，电流有效值I=P/，在电压U和有功功率尸相同的条件下，功率因数越低，则所需要的电流越大。上一页下一页返回2.5正弦交流电路的功率电流增大，一方面供电线路的功率损耗增大，另一方面，发电设备的负担也增大，使发电设备没有能力为更多的负载供电，发电设备的使用效率下降，这是一种很大的浪费。在实际供电线路中，功率因数低的根本原因是线路上接有大量的感性负载。

所谓提高功率因数，就是在不改变感性负载原有的电压、电流和功率的前提下，通过在感性负载两端并联电容来减小输电线路电流，提高输电网的功率因数。如图2-21(a)所示。上一页下一页返回2.5正弦交流电路的功率在并联电容前，线路中的电流就是负载电流、这时功率因数是，并联电容后，由于增加了一个超前于端电压90o的电容电流，线路中的电流不再是，而是与的相量和滞后于电压角。从图2-21(b)可知线路中总电流减少了，线路中的电流与电压之间的相位差减少了，所以功率因数提高了。而对于原负载来说，端电压、电流和功率因数仍然不变，有功功率也不变。与原来不同的是感性负载所需的一部分能量交换是在电感与电容之间完成的，减少了电源与负载间的能量交换，即减小了线路中的电流，因而提高了线路的功率因数。由于电容是不消耗能量的，所以并联电容后，有功功率并不改变。上一页下一页返回2.5正弦交流电路的功率由图2-21(b)可得将代入上式，得

(2.58)

式(2.58)说明了将原有功率因数提高到新的功率因数所需并联的电容值C的计算方法。如果电容选择适当，还可以使功率因数接近1。但是电容太大，也会造成过补偿。过补偿，又可以使功率因数变低。因此，必须合理地选择补偿电容的电容大小。上一页返回2.6谐振电路

由电阻、电感、电容组成的电路中，当端口电压与通过电路的电流同相，电路呈电阻性时，电路就处于谐振状态。电路出现谐振是由于电路中电容的无功功率和电感的无功功率完全补偿的结果，即QL=QC。发生在串联电路中的谐振称作串联谐振;发生在并联电路中的谐振称作并联谐振。2.6.1串联谐振在如图2-22(a)所示的RLC串联电路中，电路的复阻抗为

Z=R+j(XL-XC),下一页返回2.6谐振电路当电路产生谐振时，电路的阻抗Z呈电阻性，即XL-XC=0，所以

(2.59)

这时电路中的阻抗Z=R，电路与电压同相位。可见，调整f(即调整)、C和L三个数值中的任意一个均可满足上式，从而使电路发生谐振。谐振时的角频率用表示，称为谐振角频率，即

(2.60)对应的谐振频率为

(2.61)上一页下一页返回2.6谐振电路发生串联谐振时，数量具有以下几个主要特征。

(1)由于XL=XC，阻抗Z=R+j(XL-XC)=R，具有最小值。因此在一定的电压下，电流值最大，为I0=V/R，I0称为串联谐振电流。

(2)由于XL=XC

，所以UL+UC=0，即UL=-UC，电感上的电压与电容上的电压大小相等，相位相反，互相抵消，相量图如图2-22(b)所示。若，则,即电感或电容上的电压可以大大超过电路两端电压U。通常把串联谐振时UL或UC与U之比，称为串联谐振电路的品质因数或Q值，即

(2.62)上一页下一页返回2.6谐振电路2.6.2并联谐振在如图2-23(a)所示电路中，用电阻R和电感L串联来表示实际线圈，与电容器组成并联谐振电路。线圈和电容的复阻抗分别为ZL=R+jXL,ZC=-jXC,电阻的复阻抗为在一般情况下，线圈本身的电阻很小，特别是在频率较高时，，则有上一页下一页返回2.6谐振电路电路产生谐振时，电路的阻抗Z呈电阻性，即谐振角频率与谐振频率为

(2.63)显然，并联谐振频率与串联谐振频率一致。

并联谐振时电路具有以下几个主要特征。上一页下一页返回2.6谐振电路(1)电流I与电压U同相位，电路呈电阻性，阻抗最大。阻抗为Z0=L/RC电流最小，其值为

(2)电感电路IL与电容电流IC几乎大小相等，相位相反，总电流I很小，相量图如图2-23(b)所示。通过电感或电容的电流远远大于电路的总电流之比称为电路的品质因数，其值为

谐振广泛应用在无线电工程中，但在电力工程中，往往又要避免谐振给电气设备带来的危害。上一页返回2.7非正弦周期电流电路

在实践中，还会遇到这样的电压和电流，它们虽然是周期性变化的，但不是正弦量。例如:实验室常用的信号发生器，除能给出正弦波信号外，还有矩形波电压、锯齿波电压等信号;在晶体管交流放大电路中，各部分的电压和电流是直流分量的叠加，也不是正弦量;由于电路中有非线性元件，即使在正弦电压作用下，电路中也要产生非正弦电压和电流，如二极管整流等;在无线电工程中，由语言、音乐、图像等转化过来的电信号，都不是正弦信号;在自动控制和电子计算机中使用的脉冲信号也不是正弦信号;在非电测量技术中，由非电量的变化变换而得到的随时间变化的电信号，也可能是非正弦信号，这些统称为非正弦量。下一页返回2.7非正弦周期电流电路2.7.1非正弦周期信号的分解非正弦周期量的分解在数学中，一切满足狄利克雷条件的周期函数(电工技术中的非周期正弦量都能满足)都可以展开为傅里叶级数。即一个非周期正弦量可以分解为恒定分量和一些频率不同的正弦分量。设周期函数为f(t)，那么它可以分解为下列傅里叶级数: (2.64)上一页下一页返回2.7非正弦周期电流电路其中:A0是不随时间而变的常数，称为恒定分量，在电路中为直流分量;第二项的频率与非正弦周期函数的频率相同，称为基波或一次谐波;其余各项的频率为周期函数频率的整数倍，称为高次谐波;例如k=2,3,…的各项称为二次谐波、三次谐波，等等。如图2-24所示的是矩形波电压、锯齿波电压、三角形波电压及全波整流输出电压，它们都可以用数学方法分解成傅里叶级数。上一页下一页返回2.7非正弦周期电流电路其展开结果是:(a)矩形波电压

(2.65)(b)锯齿波电压

(2.66)(c)三角形波电压

(2.67)(d)全波整流电压

(2.68)

上一页下一页返回2.7非正弦周期电流电路从上述4种波形的展开式中可以看出，各次谐波的幅值是不相等的，频率越高，则幅值越小。这说明傅里叶级数具有收敛性。恒定分量、基波及接近基波的高次谐波是非正弦周期量的主要组成部分。另外还可以看出，谐波的成分及有无平均值均取决于波形的具体情况。2.7.2非正弦量的有效值、平均值和平均功率1.非正弦周期量的有效值在2.1节中得出的有效值公式上一页下一页返回2.7非正弦周期电流电路不仅适用于正弦量，也适用于非正弦周期量。设某一非正弦周期量电流已分解成傅里叶级数则其有效值为

(2.69)将式(2.70)中根号内的积分展开，可得到总有效值与各项谐波有效值的关系

(2.70)

上一页下一页返回2.7非正弦周期电流电路可见，用有效值的定义式能够算出准确的有效值，用式(2.71)只能抓住主要的谐波成分进行近似计算。同理，非正弦周期电压的有效值为

(2.71)2.非正弦周期电流电路中的平均功率计算非正弦周期电流电路中的平均功率，和在正弦交流电路中一样，也可以应用下式

(2.72)设非正弦周期电压和非正弦周期电流为上一页下一页返回2.7非正弦周期电流电路将U和I代入式(2.73)，可得到

(2.73)

可见，非正弦周期电流电路中的平均功率等于恒定分量和各次正弦谐波分量的平均功率之和。2.7.3非正弦量周期电流电路的分析前面已介绍过，非正弦周期电压U(或电流I)可以分解成傅里叶级数，那么在电路分析计算时就可以利用叠加定理把这个非正弦电源视为一个直流电压与一系列不同频率的正弦电压串联起来共同作用在该电路中。因此，非正弦周期性电流的线性电路的计算可归纳为下列三个步骤。上一页下一页返回2.7非正弦周期电流电路(1)将非正弦周期电源电压分解成傅里叶级数，看作由恒定分量和各次正弦谐波分量串联的结果。这一步往往是查手册，免去烦琐的计算。

(2)利用叠加原理计算电压的恒定分量和各次正弦谐波分量单独存在时所产生的电流或电压分量。

(3)将所得的各分量叠加起来，即为所需的结果。应该注意，不同频率的正弦量相加，必须用三角函数式来进行，不能用相量法。因为相量法只适用于同频率的正弦量的计算。更不能将各分量的有效值直接相加来求非正弦周期量的有效值。上一页返回2.8三相电路2.8.1三相交流电源三相交流电是由三相交流发电机产生的。在三相交流发电机中，有三个相同的绕组(即线圈)，三个绕组的始端分别用U1,V1,W1表示，末端分别用U2,V2,W2来表示。U1U2,V1V2,W1W2三个绕组分别称为U相、V相、W相绕组。由于发电机结构的原因，这三相绕组所发出的三相电动势幅值相等，频率相同，相位互差120o。这样的三相电动势称为对称的三相电动势，可以表示为下一页返回2.8三相电路如果以相量形式来表示，则有

(2.74)它们的波形图及相量图如图2-25(b)所示。

三相交流电在相位上的先后次序称为相序。如上述的三相电动势依次滞后120o

，其相序为U->V->W。上一页下一页返回2.8三相电路通常把发电机三相绕组的末端U2,V2,W2连接成一点N，而把始端U1,V1,W1作为与外电路相连接的端点。这种连接方式称为电源的星形连接，如图2-26(a)所示。N点称为中点或零点，从中点引出的导线称为中线或零线，有时中线接地又称为地线。从始端(U1,V1,W1)引出的三根导线称为端线或相线，俗称火线，常用L1,L2,L3表示。裸导线上可涂以黄、绿、红和淡蓝颜色标记以区分各导线，如图2-26(b)所示。走线采用的导线颜色必须符合国家标准。

由三条相线和一条中线构成的供电系统称为三相四线制供电系统。通常低压供电网均采用三相四线制。常见的只有两条导线的供电电路一般只包括三相中的一相，由一条相线和一条中线组成。上一页下一页返回2.8三相电路三相四线制供电系统可输送两种电压:一种是相线与中线之间的电压，称为相电压，用UU,UV,UW表示;另一种是相线与相线之间的电压，称为线电压，用UUV，UVW，UWU表示。通常规定各相电动势的参考方向为从绕组的末端指向始端，相电压的参考方向为从始端指向末端(从相线指向中线);线电压的参考方向，例如UUV，则是从U端指向V端。由图2-26可知，各线电压与相电压之间的关系为

(2.75)上一页下一页返回2.8三相电路线电压与相电压的相量图如图2-27所示。由于三相电动势是对称的，故相电压也是对称的。由图可知，线电压也是对称的，在相位上比相应的相电压超前30o。线电压的有效值用U1表示，相电压的有效值用UP表示。由相量图可知它们的关系为

(2.76)

一般低压供电系统的线电压是380V，它的相电压是380/=220V。可根据额定电压决定负载的接法:若负载的额定电压是380V，就接在两条相线之间;若负载的额定电压是220V，就接在相线和中线之间。必须注意，不加说明的三相电源和三相负载的额定电压都是指线电压。上一页下一页返回2.8三相电路2.8.2负载的星形连接三相交流电路中，负载的连接方式有两种:星形连接和三角形连接。分析三相电路和分析单相电路一样，首先画出电路图，并标出电压和电流的参考方向，然后应用欧姆定律和基尔霍夫定律找出电压和电流之间的关系。

负载星形连接的三相四线制电路如图2-28所示。若不计中线阻抗(ZN=0)，则电源中点N与负载中点N’等电位。若端线阻抗可以忽略不计(Z1=0)，则负载的相电压与电源的相电压相等，即负载的线电压与电源的线电压相等，即上一页下一页返回2.8三相电路负载星形连接时，电路有以下几种基本关系

(1)三相电路中的电流有相电流与线电流之分，每相负载中的电流称为相电流，每条端线中的电流称为线电流，很显然，相电流等于线电流，即如果用IP表示相电流，用I1表示线电流，一般可写成IP=I1(2)三相四线制电路中，各相电流可分成三个单相电路分别计算，即

(2.77)上一页下一页返回2.8三相电路其中：若三相负载对称，即时，有

(2.78)

上一页下一页返回2.8三相电路因而相电流或线电流也是对称的，三相负载对称星形连接时，相量图如图2-29所示。显然，在三相负载对称的情况下，三相电路可归结到一相来计算。

(3)负载的线电压就是电源的线电压。在对称条件下，线电压是相电压的3倍，且超前于相应的相电压30o。

(4)中线电流等于三个线(相)电流的相量和。根据图2-28，由基尔霍夫电流定律有如果负载对称，即则有上一页下一页返回2.8三相电路由于中线无电流，故可将中线除去，从而成为三相三线制电路系统。工业生产上所用的三相负载(比如三相电动机和三相电炉等)通常情况下都是对称的，可用三相三线制电路供电。但是，如果三相负载不对称，中线中就会有电流通过，此时中线不能除去，否则会造成负载上三相电压严重不对称，使用电设备不能正常工作。2.8.3负载的三角形连接如果将三相负载的首尾相连，再将三个连接点与三相电源端线U,V,W连接，就构成了负载三角形连接的三相三线制电路，如图2-30所示。上一页下一页返回2.8三相电路在图2-30中，ZUV、ZVW、ZWU分别是三相负载的复阻抗，各电量的参考方向按习惯标出。若忽略端线阻抗(Z1=0)，则电路具有以下几种基本关系。(1)由于各相负载都直接接在电源的线电压上，所以负载的相电压与电源的线电压相等。因此，无论负载对称与否，其相电压总是对称的，即有效值关系为

UP=U1 (2.79)上一页下一页返回2.8三相电路(2)各相电流可以分成三个单相电路分别计算，即

(2.80)其中：如果负载对称，即上一页下一页返回2.8三相电路则负载的相电流也是对称的，此时，相电流可归结到一相来计算，即负载三角形连接时的相量图如图2-31所示。(3)各线电流可利用基尔霍夫电流定律计算如下

(2.81)上一页下一页返回2.8三相电路如果负载对称，负载的相电流也是对称的，通过上式可做出线电流和相电流之间的相量关系如图2-32所示。从图中不难看出，有故 (2.82)即线电流是相电流的倍，且滞后于相应的相电流30o。2.8.4三相电路的功率三相电路总的有功功率等于各相有功功率之和。当负载为星形连接时，总功率为上一页下一页返回2.8三相电路其中:分别是各相相电压与相电流的相位差，亦即各相负载的阻抗角或功率因数角。如果三相负载对称，则有对于三角形连接，有则 (2.83)

上一页下一页返回2.8三相电路综上所述，无论负载是星形连接还是三角形连接，三相电路总的有功功率均可用来表达，式中的均指相电压与相电流的相位差角，即负载Z的阻抗角。三相电路总的无功功率也等于三相无功功率之和，在对称三相电路中，三相无功功率为

(2.84)而三相视在功率为

(2.85)总的有功功率为三角形连接时，UP=U1=380V，于是上一页下一页返回2.8三相电路总的有功功率为

计算表明，在电源电压不变的情况下，同一负载星形连接和三角形连接时所消耗的功率是不同的，三角形连接时的功率是星形连接时的3倍。这就告诉我们，若要使负载正常工作，负载的接法必须正确。如果将正常工作为星形连接的负载误接成三角形，则会因功率过大而烧毁负载;如果将正常工作为三角形连接的负载误接成星形时，则会因功率过小而不能使负载正常工作。上一页返回2.9动态电路的时域分析前面已经讨论过电阻电路、正弦交流电路的分析，这些电路的工作状态都是稳定状态，所谓稳定状态是指电路中电压、电流都是常数或与时间保持一定函数关系，又简称稳态。当电路中含有储能元件，且电路的结构、元件参数或电源发生变化时，电路将会从一种稳定状态转变到另一种稳定状态。这种转变不是瞬间完成的，需要经过一个短暂的过程，这一变换过程称为电路的过渡过程，又称瞬态过程。

电路的暂态分析，就是对处于过渡过程的电路中的电压和电流的变化规律进行分析，又称时域分析。当电路中含有储能元件电容或电感时，求解电路的方程不再是代数方程，而是微分方程。含有一个储能元件的电路，列出的是一阶微分方程，含有两个储能元件的电路，列出的是二阶微分方程。下一页返回2.9动态电路的时域分析本节介绍一阶电路的动态过程分析。2.9.1换路定律通常把引起过渡过程现象的电路变换称为换路，例如开关的突然接通或断开、电路结构的改变、电源或电路元件参数的改变等。设电路在t=0时进行换路，并以t=0-表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间，0-和0+在数值上都等于0，如图2-33所示。换路经历的时间从0-到0+。上一页下一页返回2.9动态电路的时域分析根据储能元件能量不能跃变的原理，在换路瞬间，电容元件中储存的电场能量WC=0.5LiCu2C和电感元件中储存的磁场能量WL=0.5Li2L不能跃变，所以电容元件两端的电压uC和电感元件中的电流IL不能跃变，只能逐渐变化。即

uC(0+)=uC(0-),iL(0+)=iL(0-) (2.86)

此结论称为换路定律。换路定律仅适用于换路瞬间，利用它可以确定暂态过程的初始值。所谓初始值就是指电路中的所求变量(任一处的电压或电流)在t=0+时的值。根据换路定律确定换路瞬间初始值方法称为。、等效法，包括以下几个步骤。上一页下一页返回2.9动态电路的时域分析(1)按换路前的电路求出换路前终了瞬间t=0-时的电容电压uC(0-)或电感电流iL(0-)的值。

(2)由换路定律确定换路后初始瞬间t=0+时的电容电压uC(0+)或电感电流iL(0+)的值。

(3)按t=0+时的等效电路，根据电路的基本定律求出换路后初始瞬间t=0+时各支路电流和各元件上的电压。2.9.2-阶电路的暂态响应电路中的电源通常被称为电路中的激励，而电路中各处的电流、电压被称为电路的响应。只含有一个储能元件(电容或电感)或可等效为一个储能元件的电路称为一阶电路。上一页下一页返回2.9动态电路的时域分析1.零输入响应所谓零输入响应就是在没有外加激励的情况下，仅靠储能元件的初始能量作用于电路而使电路产生的响应。

(1)一阶RC电路的零输入响应

RC串联电路如图2-34所示，设开关S原来在“1”位置，电路处于稳态，则电容C上充有电压US，即uC(0+)=US。在t=0时将开关换接到“2"位置，于是，换路后外部激励为零，只有电容C的初始储能的作用，电容C经电阻R开始放电。分析RC电路的零输入响应就是研究电容的放电规律。上一页下一页返回2.9动态电路的时域分析按如图2-34所示的电压、电流的参考方向，根据KVL，列出换路以后(t>=0)电路的方程式

iCR+uC=0将iC=CduC/dt代入，得

RCduC/dt+UC=0(2.87)式(2.87)是一个以电容电压uC为变量的一阶线性齐次常数微分方程。由高等数学知识可知，它的通解是指数函数，即

(2.88)其中:A是待求的积分常数;P是待求的特征根。上一页下一页返回2.9动态电路的时域分析从暂态分析角度讲，式(2.88)是暂态过程中的暂态分量。将式(2.88)代入式(2.87)得特征根为

p=-1/RC积分常数A可由初始值确定。由换路定则有

uC(0+)=uC(0-)=US积分常数A可由初始值确定。由换路定则有

uC(0+)=uC(0-)=US将t=0代入式(2.88)得uC(0+)=A所以积分常数 A=US,上一页下一页返回2.9动态电路的时域分析将P和A的结果代入式(2.88)，可求得电容放电时的电压为

(2.89)其中:T=RC具有时间量纲，当R的单位为几，C的单位为F时，二的单位为s，故称二为电路的时间常数。电容的放电电流为

(2.90)式(2.90)中的“-”表示放电电流的实际方向和图中的参考方向相反。上一页下一页返回2.9动态电路的时域分析通过以上分析可知，电容放电时，其电压从初始值uC(0+)=US开始，随时间按指数规律衰减。理论上讲，需要经过无限长的时间uC才能衰减到零值，即达到另一个稳定状态，稳态分量，即稳态值=0。但是，工程上一般认为，换路后经过(3~5)时间过渡过程即告结束，此时uC已接近零值。放电电流iC在t=0时发生跃变，从零跃变到US/R，然后再按指数规律衰减至趋于零。电压uC(t)和电流iC(t)衰减的快慢取决于时间常数，越大，衰减得越慢;越小，衰减得越快，所以是反映过渡过程特征的一个重要物理量。uC(t)和iC(t)的变化曲线如图2-35所示。上一页下一页返回2.9动态电路的时域分析(2)一阶RL电路的零输入响应

RL串联电路如图2-36所示。换路前，开关S合在“1”位置，电路已处于稳态，通过电感的电流iL(0+)=US/R=I0。在t=0将开关S合到“2”位置，电路脱离电源，在电感内部的储能激励下，电路将产生零输入响应。换路后，根据KVL，得iLR+uL=0将uL=LdiL/dt代入上式，得LdiL/dt+RiL=0这是一个以电流iL为变量的一阶线性常系数齐次微分方程，其通解为

iL=Aept上一页下一页返回2.9动态电路的时域分析特征根为p=-R/L由换路定则得iL(0+)=iL(0-)=I0积分常数A=iL(0+)=I0所以

(2.91) (2.92)其中:=L/R是RL电路的时间常数。当R的单位为Ω，L的单位为H时，的单位为s。

uL(t)和iL(t)的变化曲线如图2-37所示。上一页下一页返回2.9动态电路的时域分析可见，电感电流iL(t)的衰减规律与电容电压的衰减规律相同，也是从初始值开始随时间按指数规律逐渐衰减至趋于零。电感电压uL(t)在t=0时发生跃变，由零值跃变到US值，然后按指数规律衰减。电感电流和电感电压衰减的快慢也是由电路的时间常数二决定的。

2.零状态响应在一阶电路中，储能元件的初始状态(即初始值为零)仅在外加激励的作用下产生的响应，称为一阶电路的零状态响应。上一页下一页返回2.9动态电路的时域分析(1)一阶RC电路的零状态响应分析RC电路的零状态响应，实际上就是分析电容的充电过程。RC串联电路如图2-38所示。换路前电容未被充电，电压初始值为零，即uC(0_)=0。换路后，开关S闭合，电容开始充电。根据KVL，由变换的电路得RiC+uC=US,将iC=CduC/dt代入上式得电路的微分方程

RCduC/dt+uC=US上一页下一页返回2.9动态电路的时域分析这是一个以电容电压UC为变量的一阶线性常系数非齐次微分方程。由高等数学知识可知，其通解由它的任一特解U'和对应的齐次方程的通解U"组成，即

特解u'C很容易求解，特解u'C就等于换路后的稳态值。由换路后的电路可知，对于直流稳态，电容相当于开路，故由式(2.88)得通解?u"C=Aept特征根p为p=-1/RC上