线性代数 第四章

线性代数第4章线性方程组线性方程组的概念线性方程组解的求法线性方程组解的结构1234.1线性方程组的概念n

元线性方程组的一般形式为其中

为未知量，m

是方程的个数。分别称是方程组(4.1.1)的系数矩阵和常数项向量。(4.1.1)令

则方程组(4.1.1)可写成矩阵形式在方程组的系数矩阵最后加上一列常数项,记为称为方程组的增广矩阵。若令则方程组(4.1.1)可写成向量形式(4.1.2)方程组(4.1.1)的全部解称为它的解集合。若两个方程组的解集合相同,则称它们是同解方程组。如果用

代入方程组(4.1.1),使每个方程的左右两边恒等,则称

为方程组的解或解向量,记为4.2线性方程组解的求法消元法解线性方程组线性方程组的同解变换124.2.1线性方程组的同解变换定义1以下三种变换:(1)交换两个方程的位置;(2)用一个非零常数乘以某一个方程;(3)一个方程乘以某常数加到另一个方程上去,称为线性方程组的同解变换。为表述方便,对线性方程组的同解变换使用如下记号:(1)交换第i个方程与第j个方程的位置,记为

(2)用一个非零常数k乘以第i个方程,记为

(3)第j个方程乘以常数k加到第i个方程,记为

定理1线性方程组经同解变换后得另一线性方程组,则这两个线性方程组同解。4.2.2消元法解线性方程组例1求解线性方程组例题解析对方程组进行消元:解对方程组的增广矩阵作初等变换:得方程组的唯一解为例2求解线性方程组解对方程组的增广矩阵进行初等行变换上式最后一个矩阵的最后一行对应的方程为0=1,此为矛盾方程,故原方程组无解。例3求解线性方程组解对方程组的增广矩阵进行初等行变换原方程组的同解方程组为即其中,未知量

称为自由未知量，称为非自由未知量。令自由未知量

，则方程组的解可表示为其中，c1，c2

为任意常数。此形式表示的线性方程组的解习惯上称为一般解或通解。例4求解线性方程组解对方程组的增广矩阵进行初等行变换原方程组的同解方程组为令

方程组的解可表示为因此,该线性方程组有无穷多组解。综上所述,用消元法解线性方程线的一般步骤如下:(1)写出线性方程组(4.1.1)的增广矩阵

。(2)对增广矩阵A～施行初等行变换化成行最简形矩阵.不妨设的行最简形矩阵为此时,该增广矩阵对应的线性方程组为(4.2.1)方程组(4.2.1)与方程组(4.1.1)是同解方程组。由同解方程组(4.2.1)可得原方程组(4.1.1)的解具有以下三种情形:(1)如果方程组(4.2.1)中的dr+1≠0(如例2),则方程组(4.2.1)无解,从而方程组(4.1.1)无解。(2)如果方程组(4.2.1)中的dr+1=0,则当r=n时,方程组(4.2.1)可改写成此时方程组(4.2.1)有唯一解,从而方程组(4.1.1)也有唯一解。当r<n

时,方程组(4.2.1)可改写成其中

为自由未知量。此时方程组(4.2.1)有无穷多解,从而方程组(4.1.1)也有无穷多解。令自由未知量

则方程组(4.2.1)的通解为其中

为任意常数，这也是方程组(4.1.1)的通解。当dr+1≠0,方程组(4.1.1)系数矩阵的秩,增广矩阵的秩

此时方程组(4.1.1)无解。

当dr+1=0,方程组(4.1.1)系数矩阵的秩,增广矩阵的秩

此时方程组(4.1.1)有解,且当r=n时,方程组(4.1.1)有唯一解;当r<n时,方程组(4.1.1)有无穷多解。定理2线性方程组(4.1.1)有解的充分必要条件是并且(1)当

时,方程组有唯一解;(2)当

时,方程组有无穷多解,其中n

为未知量的个数。.推论线性方程组(4.1.1)无解的充分必要条件是

例5设有线性方程组问λ

取何值时,此方程组:(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多个解?并在有无穷多解时求其通解。解法1对增广矩阵

作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵,有(1)当

且

时,方程组有唯一解;(2)当

时,方程组无解;(3)当

时,方程组有无限多个解。这时由此便得通解即解法2因系数矩阵A为方阵,故方程有唯一解的充分必要条件是系数行列式

。而因此,当

且

时,方程组有唯一解。当λ=0时,知,故方程组无解。当

时,知

故方程组有无限多个解,且通解为对于一般形式的齐次线性方程组其矩阵形式为显然方程组(4.2.2)至少有零解(未知量全为零的解),因此易得以下结论。(4.2.2)定理3推论齐次线性方程组(4.2.2)有非零解的充分必要条件是R(A)<n。当m<n

时,齐次线性方程组(4.2.2)有非零解。例6求解线性方程组解原方程组的同解方程组为因为

所以自由变量有5-3=2个,若取

与

为自由变量,令

则原齐次线性方程组的通解为其中,c1,c2

为任意实数。例7已知齐次线性方程组

问当λ

为何值时,方程组仅有零解?当λ

为何值时,方程组有非零解?解当

或

时,方程组有无穷多组解,即有非零解。当

且

时,方程组仅有零解。4.3线性方程组解的结构本节内容4.3.1齐次线性方程组

解的结构非齐次线性方程组

解的结构4.3.24.3.1齐次线性方程组Ax=0解的结构齐次线性方程组

的解具有以下性质:性质1如果

是齐次线性方程组的解,则

也是齐次线性方程组的解证因为所以

是齐次线性方程组的解。性质2如果ξ1

是齐次线性方程组的解，λ

是数,则

也是齐次线性方程组的解。证因为所以

是齐次线性方程组的解。性质1和性质2说明,如果

是齐次线性方程组的解,则它们的线性组合仍是齐次线性方程组的解。定义1设

是齐次线性方程组Ax=0的t个解,如果(1)线性无关;(2)齐次线性方程组的任一解ξ都可由

线性表示,则称

是齐次线性方程组的一组基础解系。齐次线性方程组全体解向量组成的集合记作。

由定义1可知,齐次线性方程组的基础解系就是解集合S

的一个最大无关组,基础解系所含的向量个数就是解集合S的秩R(S).齐次线性方程组的任一解都可由其基础解系表示成它包含了齐次线性方程组的全部解,称为齐次线性方程组的通解。定理1设n元齐次线性方程组

系数矩阵的秩

。如果r<n，则齐次线性方程组存在基础解系，且基础解系中含有n-r

个线性无关的解向量;如果r=n，则齐次线性方程组只有零解，没有基础解系。证

不妨设A

的前r

个列向量线性无关，对A

施以初等行变换化为行最简形矩阵B

所对应的线性方程组为(4.3.1)可得齐次线性方程组的n-r

个解其中

是n-r

个自由未知数。特别取下面证明

是齐次线性方程组的一组基础解系。(1)先证

线性无关。这是因为

后n-r

个分量组成n-r个n-r

维基本单位向量线性无关，故

线性无关。是齐次线性方程组的任一解。作向量(2)再证齐次线性方程组的任一解ξ可由

线性表示。设由于

是方程组的解，故η

也是方程组的解。比较η

与ξ，它们的后n-r

个分量对应相等，可知它们的前r

个分量也对应相等(方程组(4.3.1)表明

的任一解的前r个分量由后n-r

个分量唯一确定)，因此

，即综合(1)，(2)知，

是齐次线性方程的一组基础解系，它所含线性无关的解向量的个数恰等于n-r(方程组中未知数个数减去系数矩阵的秩)。矩阵的秩是确定的，所以通解中所含任意常数的个数也是确定的。例1求齐次线性方程组的基础解系与通解。解对系数矩阵A

作初等行变换,变为行最简形矩阵,有得令则对应有并由此写出通解即得基础解系推论设m×n矩阵A

的秩

则n元齐次线性方程组

的解集S

的秩

。例2设n

元齐次线性方程组

与

同解,证明。

因此

证由于方程组

与

相同的解集，设为S，解集为秩为R(S)，则有即例3设

证明

。证记

则这表明矩阵B

的l个列向量都是齐次方程

的解。设方程

的解集为S，则

得证

。4.3.2非齐次线性方程组Ax=b

解的结构设有非齐次线性方程组称为由非齐次线性方程组导出的齐次线性方程组，简称导出组。非齐次线性方程组的解与其导出组的解之间有着密切的关系。当常数项

时,得齐次线性方程组性质3如果

都是非齐次线性方程组的解，则

是其导出