线性代数 第五章

线性代数1向量的内积与正交2方阵的特征值与特征向量3相似矩阵4对称矩阵的对角化5二次型及其标准形6用配方法化二次型为标准形第5章相似矩阵和二次型7正定二次型本章内容5.1向量的内积与正交1向量的内积2线性无关向量组的正交化方法3正交阵本节内容5.1向量的内积与正交定义1设n

维向量令称为向量的内积。向量的内积是一种运算。如果把向量看成列矩阵，那么向量的内积可以表示成矩阵的乘积形式设

都是n维向量，k

为实数,由定义1可以推出向量内积的运算规律:（1）（2）（3）且当且仅当（4）证仅证运算规律(3)。定义2设有n

维向量令向量的长度具有下列性质:

称为n

维向量α的长度(也称为模或范数)。且

当且仅当（1）（2）（3）性质(1)，(2)是显然的，性质(3)称为三角不等式，这里不予证明。当

时，称α为单位向量。设α

是n

维非零向量0，因为所以

是单位向量，称为单位化向量。例1把向量

单位化。因为

所以解定义3当时称为n

维向量α

与β

的夹角。当

时，称向量α

与β

正交。如果α=0，那么α

与任何向量都正交。两两正交的非零向量组称为正交向量组。设

是正交向量组，则性质正交向量组必是线性无关向量组。证由正交向量组的定义，当i≠j时，

。上式两边同时与

作内积，得设

是正交向量组,有数

使但由内积运算的性质，上式的左边等于

所以得又

由上式推知

这就证明了向量组

线性无关。从而5.1.2线性无关向量组的正交化方法正交向量组是线性无关向量组，但线性无关向量组却不一定是正交向量组。例如，因此它不是正交向量组。是线性无关向量组，但。对任意一个线性无关向量组,可以找到一个与其等价的正交单位向量组,具体做法如下:得

是线性无关向量组。先取令

(k

待定),使

与

正交，即有于是得再令这样求得的两个向量

正交，且与向量

等价。(k1，k2

待定)使β3

与β1，β2

彼此正交，满足即有以及得于是得这样求得的三个向量

彼此两两正交,且与向量

等价。依此类推,一般有上面介绍的正交化过程称为施密特正交化过程。可以证明这样得到的正交向量组

与向量组

等价。如果再求与

等价的单位正交向量组，只需取例2试用施密特正交化过程，求与线性无关向量组等价的单位正交向量组。解取那么

与就是与等价的单位正交向量组。解它的基础解系为例3，求一组非零向量

使

两两正交。

应满足方程

即把基础解系正交化,即得所求,亦即取其中

于是得5.1.3正交阵那么称A为正交阵。定义4设n

阶方阵

满足性质1设A是正交阵，那么A

是可逆阵，且。证由定义4知，若A

是正交阵，则

，因此A是可逆阵，且。性质2证设A是n

阶正交阵，记

由定义4，A是正交阵的充分必要条件是A

的n个列向量是单位正交向量组因此，A

的n

个列向量应满足即A

的n

个列向量是单位正交向量组。设A

是正交阵，那么

。由性质1可知，必有

。所以有以下结论：性质3

A

是正交阵的充分必要条件是A

的n

个行向量是单位正交向量组。例如,方阵因为由定义4可知A

是正交阵。不是正交阵。而方阵性质4设A，B都是正交阵，那么AB

也是正交阵。证因为A，B都是正交阵，那么推得所以AB

也是正交阵。性质5若P

为正交矩阵，则线性变换

称为正交变换。设

为正交变换，则有由于

表示向量的长度，相当于线段的长度，因此

说明经正交变换,线段长度保持不变。5.2方阵的特征值与特征向量定义1设A

是n

阶矩阵，如果数λ

和n

维非零列向量x

使关系(5.2.1)成立，那么，这样的数λ称为矩阵A

的特征值，非零向量x称为A

对应于特征值λ

的特征向量。式(5.2.1)也可写成这是含n

个未知数、n

个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式即上式是以λ

为未知数的一元n次方程，称为矩阵A

的特征方程。其左端

是λ

的n次多项式，记作

。称为矩阵A

的特征多项式。可求得非零

，那么pi

便是A

的对应于特征值λi的特征向量。若λi为实数，则pi

可取实向量;若λi为复数，则pi为复向量。设n阶矩阵

的特征值为

不难证明:设

为矩阵A

的一个特征值，则由方程解矩阵A的特征多项式为例1求矩阵

的特征值与特征向量。所以

是矩阵A

的特征值。得同解方程组为当

时，解特征方程组

。由所以A

的对应于

的全部特征向量为

其中k1

为任意非零常数。取

得到方程组的基础解系，即A

的对应于

的特征向量为得同解方程组为当

解特征方程组

。由取

得到方程组的基础解系，即A

的对应于

的特征向量为所以A

的对应于

的全部特征向量为

其中k2

为任意非零常数。解矩阵A的特征多项式为所以

是矩阵A

的特征值，其中

是矩阵A的二重特征值。例2求矩阵

的全部特征值与特征向量。当

时，解特征方程组

。由于得同解方程组为取

得方程组的基础解系，即A

的对应于

的特征向量为所以A

的对应于

的全部特征向量为

其中k1

为任意非零常数。当

解特征方程组

。由于得同解方程组为取

得到方程组的基础解系，即A

的对应于

的特征向量为例3求矩阵的特征值和特征向量。解矩阵A的特征多项式为所以A

的对应于

的全部特征向量为

其中k2为任意非零常数。当

解特征方程组

。由于所以A

的特征值为

得方程组的基础解系为所以A

的对应于

的全部特征向量为

其中k1

为任意非零常数。当

解特征方程组

。由于得方程组的基础解系为所以对应于

的全部特征向量为

其中

为任意常数且

不同时为0。例4设λ

是方阵A

的特征值，证明:(1)λ2是A2

的特征值;(2)当A

可逆时，

是A-1的特征值。证(1)所以λ2

是A2

的特征值。因λ

是A的特征值，故有

使

于是(2)当A

可逆时，由

有

因

知

故所以

是A-1的特征值。按此例类推，不难证明:其中

是λ

的多项式，

是矩阵A

的多项式。若λ

是A的特征值，则

是

的特征值;是

的特征值。解例5设三阶矩阵A的特征值为1，-1，2，求

的特征值。由A

的特征值全不为0知，A可逆，故

。又由，所以把上式记作，有。

的特征值为定理1设

是方阵A

的m个特征值，

依次是与之对应的特征向量。如果

各不相等，则

线性无关。证用数学归纳法当m=1时，因特征向量

故只含一个向量的向量组p1

线性无关。用A

左乘上式，得假设当

时结论成立，要证当

时结论也成立，即假设向量组

线性无关，要证向量组

线性无关。为此，令(5.2.2)即(5.2.3)按归纳法假设

线性无关，故式(5.2.3)减去式(5.2.2)的

倍，得而

，于是得

代入式(5.2.2)得

而

得

。因此，向量组

线性无关。证按题设，有,故例6设λ1

和λ2

是矩阵A

的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为p1

和p2，证明

不是A

的特征向量。用反证法，假设

是A的特征向量,则应存在数λ，使

，于是即因

，按定理1知

线性无关，故由上式得

即

，与题设矛盾。因此

不是A

的特征向量。5.3相似矩阵方阵与对角阵相似的条件相似矩阵的概念125.3.1相似矩阵的概念定义1设A，B

都是n

阶方阵，如果存在n

阶可逆阵P，使则称B

是A

的相似矩阵，或称方阵A

与B

相似。相似矩阵具有以下性质：性质1如果n阶方阵A

与B

相似，则。证因为A

与B相似，即存在可逆阵P，使

，于是性质2如果n

阶方阵A

与B

相似，则A与B

的特征多项式相同，从而A

与B

的特征值也相同。证因为A

与B相似，即存在可逆阵P，使

，于是推论如果n

阶方阵A

与对角阵相似，则

就是A

的n

个特征值。证设方阵A与对角阵Λ

相似，存在可逆阵P，使

为对角阵，有因为

就是对角阵Λ

的n

个特征值,且A

与Λ相似,由性质2知

也就是A

的n

个特征值。从而A2

与Λ2

相似；同理，Ak

与Λk

相似，即。其中,从而得这样可以方便地求出。

5.3.2方阵与对角阵相似的条件假设已经找到可逆阵P，使

，下面讨论可逆阵P

应满足什么条件设因为P是可逆阵，所以P

的n

个列向量

线性无关，自然就有

。由

得

，即于是有如果方阵A

与对角阵Λ

相似，那么对角阵对角线上的n

个元素

是A

的n

个特征值，而且可逆阵P

的n

个列向量

分别是A

的属于特征值

的n个线性无关的特征向量。定理1

n阶方阵A

与对角阵相似的充分必要条件是A

有n个线性无关的特征向量。由方阵A

的特征值和特征向量的性质2，可得推论如果n阶方阵A

有n

个不同的特征值，那么A

一定可以相似于对角阵Λ。解例1设

，问x为何值时，方阵A

能对角化?得对应单根

，可求得线性无关的特征向量恰有1个，故方阵A

可对角化的充分必要条件是对应重根

有2个线性无关的特征向量，即方程

有2个线性无关的解，亦即系数矩阵

的秩

。由要使

，必须使x=0。因此，当x=0时，方阵A

能对角化。例2设矩阵，试求:(1)可逆矩阵P

及对角矩阵Λ，使得

;(2)

。解(1)A

的特征多项式所以A

的特征值为。当，解特征方程组

，得基础解系为当

时，解特征方程组

，得基础解系为于是三阶矩阵A

有3个线性无关的特征向量，所以A

可以相似对角化。则令(2)因为

于是

有

又所以5.4对称矩阵的对角化对称阵的特征值为实数定理1证设复数λ为对称阵A

的特征值，复向量x为对应的特征向量，即。用λ

表示λ的共轭复数，x表示x

的共轭复向量，而A

为实矩阵，有

故

。于是有及两式相减但因为x≠0，所以故，即，这就说明λ

是实数。显然，当特征值λi

为实数时，齐次线性方程组是实系数方程组。由

知必有实的基础解系，所以对应的特征向量可以取实向量。定理2设

是对称阵A

的两个特征值，

是对应的特征向量。若

，则p1与p2

正交。证因A

对称，故,于是但因

故

，即p1与p2

正交。定理3设A为n

阶对称阵，则必有正交阵P，使

，其中Λ

是以A

的n个特征值为对角元的对角阵。推论设A

为n

阶对称阵，λ

是A的特征方程的k

重根，则矩阵

的

，从而对应特征值λ恰有k

个线性无关的特征向量。证按定理3知对称阵A

与对角阵

相似，从而

与

相似。当λ

是A的k

重特征根时，

这n

个特征值中有k

个等于λ，有n-k

个不等于λ，从而对角阵

的对角元恰有k

个等于0，于是

。而

，所以。依据定理3及其推论，有下述把对称阵A

对角化的步骤:(1)求出A的全部互不相等的特征值

，它们的重数依次为。(2)对每个ki

重特征值λi，求方程

的基础解系，得ki

个线性无关的特征向量。再把它们正交化、单位化，得ki

个两两正交的单位特征向量。因

，故总共可得n

个两两正交的单位特征向量。(3)把这n

个两两正交的单位特征向量构成正交阵P，便有

。注意Λ中对角元的排列次序应与P中列向量的排列次序相对应。解A

的特征多项式例1设求正交矩阵P，使得

为对角矩阵。得A

的特征值

。当

时，解特征方程组，得基础解系正交化，得单位化，得当

时，解特征方程组，得基础解系单位化，得令正交矩阵有例2三阶实对称矩阵A

的秩为2，

是A

的二重特征值。若都是A

的对应于特征值6的特征向量。求(1)A

的另一个特征值和对应的特征向量。

(2)矩阵A。解(1)设A

的另一个特征值为λ3，则。又

故

。有，所以

。因为

为A

的二重特征值，所以A的对应于特征值6的线性无关的特征向量只有两个。由得

为

的一个极大无关组，即

为对应于特征值6的线性无关的特征向量。设

对应的特征向量为

，则有此方程组的一组基础解系为

，从而A

的对应于

的全部特征向量可以表示为

，其中k

为任意非零常数。(2)解法1令则有即。又从而解法2将A

的对应于特征值

的线性无关的特征向量

正交化，得单位化,得将A

的对应于特征值

的特征向量ξ单位化，得令正交矩阵有则5.5二次型及其标准形

本节内容二次型及其矩阵的表示形式用正交变换化二次型为标准形12在解析几何中，为了便于研究二次曲线的几何性质，可选择直角坐标系的一个适当的旋转变换把二次曲线方程化为标准形

本节讨论含n

个变量的二次齐次多项式(即n元二次型)化为标准形的问题。5.5.1二次型及其矩阵的表示形式(5.5.1)定义1含有n

个变量

的二次齐次多项式称为n元二次型。其中系数

为实数时，称为实二次型，

为复数时称为复二次型。取，那么，因此，二次型

可以用矩阵形式来表示。式(5.5.1)可写成记得二次型的矩阵形式(5.5.2)其中，A

为对称阵。只含平方项的二次型(5.5.3)称为二次型的标准形。它的矩阵形式为其中,(5.5.4)因此，二次型与对称阵之间存在一一对应关系。称对称阵A

为二次型f

的矩阵，矩阵A的秩也称为二次型f

的秩。例1把二次型表示成矩阵形式。解二次型矩阵为于是得5.5.2用正交变换化二次型为标准形化二次型(5.5.1)为标准形(5.5.3)，用矩阵表示就是以

代入，得也就是寻求可逆阵C，使

为对角阵。定理1对于任给的二次型总存在正交变换

，把f

化成标准形其中，标准形中各平方项的系数为二次型f的矩阵A

的特征值，正交阵P

的n

个列向量

是对应特征值

的特征向量。化二次型为标准形的具体步骤如下:(1)把二次型写成矩阵形式(注意此处二次型的矩阵是对称阵)(2)对实对称阵A,求正交阵P,使得。(3)在正交变换

下，化二次型为标准形。标准形平方项的系数

即对称阵A

的特征值。解二次型的矩阵为A

的特征多项式例2设二次型

，求一个正交交换

，将二次型化为标准形。故A

的特征值为。对于

，解特征方程组

，得基础解系由于

已正交，故只需将它们单位化，有对于

，解特征方程组

，得基础解系将ξ3

单位化，得此时

已是一个标准正交向量组。记正交矩阵将二次型化为标准形。得所求正交变换

，即