2026-2027学年九上浙教版（新教材）第四章相似三角形单元测试

第1页（共1页）第4章相似三角形单元测试卷（时间：120分钟满分：120分）一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．如果四条线段a、b、c、d满足ab=cA．ad=bC．a−cb−d=a2．下列相似图形不是位似图形的是（）A． B．C． D．3．如图，两条直线被三条平行线所截，若DE=4，EF=8，BC=6，则AC=（

）A．3 B．9 C．12 D．184．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为AC的黄金分割点（AB>BC），若AC=50，则BC长为（

）A．75−255 B．505−50 C．255．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，连接AE交对角线BD于点F，则BDDF=（A．4 B．3 C．2 D．16．如图，小明在A时测得某树的影长为5m，B时又测得该树的影长为3m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（

）A．32 B．35 C．35 7．如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则ABBC的值为（

A．13 B．12 C．338．如图，在5×3的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，B，C，D都在格点上，线段AB与CD相交于点E，AE：A．2：1 B．3：3 C．3：2 D．9．如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P，Q分别是△BCE和△BCD的重心，PQ长为1.5．则BC的长为（

）A．6 B．8 C．9 D．1210．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E，F分别是BC，AB上的动点，且BE=AF,AE与CF交于点G，连接DG，则下列说法中不正确的是（A．S四边形ADCG=C．∠EGF为定值 D．GD平分∠AGC二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．已知ab=12，则12．已知线段AB=2，C是线段AB上一点，且BC是AC与AB的比例中项，那么线段BC的长等于_____．13．如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB:OE=2:3，若△ABC的周长为4，则△DEF的周长为________．14．如图，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，AB=4，CD=6，BC=14，P为直线BC上一点，若以A、B、P为顶点的三角形与以P、C、D为顶点的三角形相似，则这样的P点有______个．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，点E、F分别在AB、BC上，连接EF，将△BEF沿EF翻折，使点B的对应点D落在AC的延长线上，若DE平分∠ADF，则EB长为______16．如图，△ABC是等边三角形，AB=6，AD是边BC上的高，点E在边AD上，连接BE，以BE为边在其下方作等边△BEF，连接DF、CF，则DF的最小值为_____．三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）已知a3=b4=c5，满足a+b+c=6018．（6分）如图，AD∥CB，E，F分别在AB,CD上，且EF∥CB，若AEBE=219．（8分）如图，D是△ABC的边AB上的一点，∠A=∠BCD．(1)△BCD与△BAC相似吗？请说明理由．(2)若BD=43，AB=3，求20．（8分）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．(1)证明：四边形ADHE是正方形；(2)若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD=1．求CD的长．21．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，连接DE，且DE∥AB，点F在DC上，且(1)试说明CEAE(2)若CF=4,DF=8,AC=123，求证：△DCE∽△ACD22．（10分）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽AB．如图，从B处沿与AB垂直的直线方向走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走20m到达D处，再右转90°走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得(1)求证：△ABC∽△EDC．(2)求河宽AB的长．23．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，M是BC中点，点D在线段CM上，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转180°−2α得线段AE，连接BE，DE．(1)比较∠ABC与∠ABE大小，用等式表示线段BE，BM，DM之间的数量关系，并证明；(2)过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．24．（14分）探究活动：类比直角三角形全等判定的经验，开展对直角三角形相似判定的探索．探究过程：(1)如图，在△ABC中，D,E分别在边AB,BC上，且BDBA①若∠B=90°，求证：△DBE∽△ABC；②若90°<∠B<180°，求证：∠BDE=∠BAC；结论应用：(2)如图，在矩形ABCD中，点E的运动轨迹为直线BC上的一部分，为线段BC（不与点C重合），作EF⊥AC于点F．若G为边CD右侧一点，且DG=EF，∠CGD=∠AEC．请用无刻度的直尺与圆规，画出点G的运动轨迹，并参照题干中点E运动轨迹的表述方式对点G进行描述（保留作图痕迹，不写作法）．第四章相似三角形单元测试卷一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．如果四条线段a、b、c、d满足ab=cA．ad=bC．a−cb−d=a【答案】D【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，逐一进行判断即可．【详解】解：ab=cd，则ab=cd，则ab=cd，且当ab=c故选D．2．下列相似图形不是位似图形的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】识别位似图形需注意以下几点：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线），据此逐项判断即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：根据位似图形的定义，选项A，B，C是位似图形，位似中心是交点，不符合题意；选项D中，对应边AB、DE不平行，故不是位似图形，符合题意．3．如图，两条直线被三条平行线所截，若DE=4，EF=8，BC=6，则AC=（

）A．3 B．9 C．12 D．18【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”可得DEDF=ABAC，设【详解】解：根据题意可知l1∴DEDF∵DE=4，EF=8，BC=6∴DF=DE+EF=12，设AB=x，则AC=AB+BC=x+6，∴412=x解得x=3，经检验，x=3是方程的解，∴AC=3+6=9．4．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为AC的黄金分割点（AB>BC），若AC=50，则BC长为（

）A．75−255 B．505−50 C．25【答案】A【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为5−1【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点B为AC的黄金分割点（AB>BC）时，∴ABAC∵AC=50，∴AB50∴AB=255∵AB+BC=AC，∴BC=AC−AB，∴BC=50−255∴BC=75−2555．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，连接AE交对角线BD于点F，则BDDF=（A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】利用矩形对边平行且相等的性质证明△ABF∽△EDF，结合中点定义得出相似比，进而推导线段BD与DF的数量关系．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△ABF∽△EDF，∴BF∵点E是边CD的中点，∴DE=1∴AB∴BFDF=2∵BD=BF+DF，∴BD=2DF+DF=3DF，∴BDDF6．如图，小明在A时测得某树的影长为5m，B时又测得该树的影长为3m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（

）A．32 B．35 C．35 【答案】D【分析】证明两个直角三角形相似，根据对应边成比例列式计算即可．【详解】解：如图，由题意可知NQ=5m，NP=3m，MN⊥PQ，∵PM⊥MQ，∴∠PMQ=90°，∴∠PMN+∠QMN=90°，∵MN⊥PQ，∴∠PNM=∠QNM=90°，∴∠PMN+∠MPN=90°，∴∠QMN=∠MPN，又∵∠PNM=∠QNM=90°，∴△PMN∽△MQN，∴MN∴MN∴MN=15即树的高度为15m7．如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则ABBC的值为（

A．13 B．12 C．33【答案】B【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据全等矩形的性质，得出小矩形的长和宽，从而求出ABBC【详解】解：已知矩形ABCD划分成四个全等的矩形，∵矩形ABCD的宽为AB，长为BC，∴小矩形的宽为14BC，长为∵矩形ABCD与四个小矩形相似，∴AB1∴A∵AB>0，BC>0，∴AB8．如图，在5×3的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，B，C，D都在格点上，线段AB与CD相交于点E，AE：A．2：1 B．3：3 C．3：2 D．【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是构造辅助线，通过平行线得到相似三角形，再利用相似比求解线段比例．【详解】解：设每个小方格的边长为1，连接AC，DB．由网格可知，AC与DB平行且AC=2D易证△AEC∽△BED，因此AEBE即AE:BE=2:1；故选：A．9．如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P，Q分别是△BCE和△BCD的重心，PQ长为1.5．则BC的长为（

）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】C【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定和性质．根据重心的特性作出辅助线是解决问题的关键．根据G为重心确定ED为中位线，再根据PQ为重心确定PQ∥ED，最后证明相似利用比例关系求线段的长度即可．【详解】解：∵P为△EBC重心，∴直线EP经过BC中点，∵Q为△BDC重心，∴直线DQ经过BC中点，∴直线EP和直线DQ交于BC中点处，连结EP，DQ并延长，交BC于一点F，连结ED，∵G是△ABC的重心，∴AE=BE，∴ED∥BC，∵P，Q分别是△BCE和△BCD的重心，∴EP∴∴∵∠EFD=∠EFD，∴△EFD∽△PFQ，∴∠DEP=∠QPF，∴PQ∥ED，PQ=1∴PQ=1∴BC=6PQ=9．故选：C．10．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E，F分别是BC，AB上的动点，且BE=AF,AE与CF交于点G，连接DG，则下列说法中不正确的是（A．S四边形ADCG=C．∠EGF为定值 D．GD平分∠AGC【答案】A【分析】先证明△ABE≌△CAFSAS，可得∠BAE=∠ACF，如图，过点D作DM⊥CG于M，DN⊥GA于N，可得△CDM≌△ADNAAS，证明【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∠B=60∴∠B=∠ADC=60°，AB=BC=CD=AD，△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠B=∠FAC=60°，∵BE=AF，∴△ABE≌∴∠BAE=∠ACF，∴∠CGE=∠CAG+∠ACF=∠BAE+∠CAG=60°=∠ADC，∴∠AGC=120°，∴∠GAD+∠GCD=180°=∠GAD+∠NAD，∴∠NAD=∠GCD，如图，过点D作DM⊥CG于M，DN⊥GA于N，则△CDM≌∴DM=DN，S四边形∵DG=DG，∴Rt△GDN≌∴∠NGD=∠MGD=60°，S四边形故D正确，不符合题意；∴GM=1∴S四边形CDAG故A错误，符合题意；∵∠BAE=∠ACF，∠AFG=∠AFC，∴△AFG∽△CFA，故B正确，不符合题意；∵∠AGC=120°，∴∠EGF=∠AGC=120°，故C正确，不符合题意；故选：A.二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．已知ab=12，则【答案】3【分析】本题考查比例的性质，解决本题的关键是熟练掌握比例的性质．根据比例的性质计算即可．【详解】解：∵ab∴a+bb故答案为：3212．已知线段AB=2，C是线段AB上一点，且BC是AC与AB的比例中项，那么线段BC的长等于_____．【答案】5【分析】此题考查了比例中项和解一元二次方程，设线段BC的长等于x，则AC=2−x，根据比例中项的概念列方程，并解方程即可．【详解】解：设线段BC的长等于x，则AC=2−x，∵BC是AC与AB的比例中项，∴22−x解得x=5即线段BC的长等于5−1故答案为：5−113．如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB:OE=2:3，若△ABC的周长为4，则△DEF的周长为________．【答案】6【分析】根据位似图形的性质得到△ABC∽△DEF，且相似比为OB:OE=2:3，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，∴△ABC∽△DEF，且相似比为OB:OE=2:3，∴△ABC的周长与△DEF的周长之比为2:3，∵△ABC的周长为4，∴△DEF的周长为6．14．如图，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，AB=4，CD=6，BC=14，P为直线BC上一点，若以A、B、P为顶点的三角形与以P、C、D为顶点的三角形相似，则这样的P点有______个．【答案】6【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．分3种情况求解即可：①当点P在线段BC上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时．【详解】解：∵AB⊥DB,CD⊥DB，∴∠C=∠B=90°，设BP=x，①当点P在线段BC上运动时，当PB:DC=AB:PC时，△PAB∽△DPC，∴x6∴x1=2，当PB:PC=AB:DC时，△PAB∽△PDC，∴x14−x解得：x=5.6；②当点P在B的左侧运动时，当PB:DC=AB:PC时，△PAB∽△DPC，∴x6∴x1=−7+73当PB:PC=AB:DC时，△PAB∽△PDC，∴x14+x解得：x=28；③当点P在点C的右侧运动时，当PB:DC=AB:PC时，△PAB∽△DPC，∴x6∴x1=7+73当PB:PC=AB:DC时，△PAB∽△PDC，∴xx−14解得：x=−28（舍去）；综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的P点有6个．故答案为：6．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，点E、F分别在AB、BC上，连接EF，将△BEF沿EF翻折，使点B的对应点D落在AC的延长线上，若DE平分∠ADF，则EB长为______【答案】2【分析】由折叠性质得ED=EB，∠EDF=∠B，结合DE平分∠ADF可得∠ADE=∠B，进而证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形对应边成比例列方程求解．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2由勾股定理得AB=A由折叠的性质可知ED=EB，∠EDF=∠B，∵DE平分∠ADF，∴∠ADE=∠EDF，∴∠ADE=∠B，又∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴DE设EB=x，则DE=x，AE=AB−EB=5∴x解得x=2∴EB的长为2516．如图，△ABC是等边三角形，AB=6，AD是边BC上的高，点E在边AD上，连接BE，以BE为边在其下方作等边△BEF，连接DF、CF，则DF的最小值为_____．【答案】3【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，准确添加辅助线，找出等量关系是解题的关键．取AB中点为M，连接ME，证明出△MBE≌△DBF，由此可得DF=ME，故需判断ME的最小值，当ME⊥AD时，ME最小，此时ME为△ABD中位线，可得出结果．【详解】解：取AB中点为M，连接ME，如下图所示：∵△ABC与△BEF为等边三角形，∴AB=AC=6，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°，∵∠ABC=∠ABE+∠EBD，∠EBF=∠EBD+∠DBF，∴∠ABE=∠DBF，∵AB=AC=6，M为AB中点，AD是边BC上的高，∴BM=BD=3，又∵BE=BF，∴△MBE≌△DBF(SAS∴DF=ME，当ME⊥AD时，ME最小，即DF最小，∵ME⊥AD，AD⊥BC，∴ME∥BD，且M为AB中点，∴AMBM=AE∴ME为△ABD中位线，∴ME=1故答案为：32三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）已知a3=b4=c5，满足a+b+c=60【答案】a=15，b=20，c=25【分析】设a3=b4=c5=k，则a=3k，b=4k，c=5k，求出【详解】解：设a3=b4=c5∵a+b+c=60，∴3k+4k+5k=60，解得k=5，∴a=15，b=20，c=25．18．（6分）如图，AD∥CB，E，F分别在AB,CD上，且EF∥CB，若AEBE=2【答案】6【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；连接AC，延长FE交AC于点H，然后由题意易得AHHC【详解】解：连接AC，延长FE交AC于点H，如图所示：∵AD∥CB，∴AD∴AHHC∴DF∵CD=15，∴DF=219．（8分）如图，D是△ABC的边AB上的一点，∠A=∠BCD．(1)△BCD与△BAC相似吗？请说明理由．(2)若BD=43，AB=3，求【答案】(1)△BCD∽△BAC，理由如下：∵∠A=∠BCD，∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC．(2)BC=2【分析】（1）由∠A=∠BCD，∠B=∠B，即可证明△BCD∽△BAC；（2）由△BCD∽△BAC可得BDBC=BCAB，代入【详解】（1）略（2）解：由（1）可得△BCD∽△BAC，∴BDBC∴BC∴BC=2．20．（8分）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．(1)证明：四边形ADHE是正方形；(2)若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD=1．求CD的长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADH=90°，由折叠得：∠EHD=∠A=90°，DH=DA，∴四边形ADHE是矩形，∵DH=DA，∴矩形ADHE是正方形；(2)2【分析】（1）根据矩形的性质得到∠A=90°，∠ADH=90°，由折叠得∠EHD=∠A=90°，DH=DA，即可证得四边形ADHE是正方形；（2）先根据折叠的性质与矩形性质，求得DH=CG=1，设CD的长为x，则HG=x−2，再根据相似多边形性质得出EHCD=HG【详解】（1）略（2）解：由折叠可得：DH=AD=1，CG=BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∴DH=CG=1，设CD的长为x，则HG=CD−DH−CG=x−2，∵四边形ADHE是正方形，∴EH=AD=1，∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，∴EHCD=HG解得：x=2∴CD=2【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，正方形的性质和判定，折叠的性质，相似多边形的性质，熟练掌握折叠的性质和相似多边形的性质是解题的关键．21．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，连接DE，且DE∥AB，点F在DC上，且(1)试说明CEAE(2)若CF=4,DF=8,AC=123，求证：△DCE∽△ACD【答案】(1)证明：∵DE∥∴CD∵CF∴CE(2)证明：∵CF=4,DF=8，∴CD=CF+DF=12,CE∴CE∴CE=1∵CE∴CD又∵∠C=∠C，∴△DCE∽△ACD．【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键。（1）由平行线等分线段定理可得CDBD=CE（2）由CF=4,DF=8可得CD=12,CEAE=CFDF=12，即【详解】（1）略（2）略22．（10分）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽AB．如图，从B处沿与AB垂直的直线方向走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走20m到达D处，再右转90°走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得(1)求证：△ABC∽△EDC．(2)求河宽AB的长．【答案】(1)证明：由题可知∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠DCE，∴△ABC∽△EDC(2)72【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证；（2）根据相似三角形的性质，可得BCDC【详解】（1）证明略（2）解：由题可知，BC=45m，DC=20m，∵△ABC∽△EDC，∴BCDC=AB∴AB=72，答：河宽AB为72m23．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，M是BC中点，点D在线段CM上，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转180°−2α得线段AE，连接BE，DE．(1)比较∠ABC与∠ABE大小，用等式表示线段BE，BM，DM之间的数量关系，并证明；(2)过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．【答案】(1)∠ABC=∠ABE=α；BM=BE+DM，证明：∵∠ABC=∠ACB=α，∴AB=AC，由旋转的性质得AD=AE、∠DAE=∠BAC=180°−2α，∴∠CAD+∠DAB=∠EAB+∠DAB，∴∠CAD=∠BAE，在△CAD和△BAE中，AC=AB∠CAD=∠BAE∴△CAD≌△BAESAS∴∠ACD=∠ABE、CD=BE，∴∠ABE=∠ABC，∵M点是BC中点，∴BM=CM=CD+DM，∴BM=BE+DM；(2)NE=ND，证明：过点E作EH⊥AB，交BC于点H，由（1）可知∠ABE=∠ABC，∵EH⊥AB，∴∠BEH=∠BHE，∴BE=BH，∴CD=BH，∴MD=MH，∵MN⊥AB、EH⊥AB，∴MN∥EH，∴DN∴NE=ND．【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例，熟练掌握相关性质是解题的关键．（1）根据旋转的性质易证得△CAD≌△BAESAS，进而得到∠ACD=∠ABC、CD=BE，结合中点M的性质，从而得到∠ABC=∠ABE=α，BM=BE+DM（2）过点E作EH⊥AB，交BC于点H，结合（1）中的结论易证得BE=BH，进而得到MD=MH，再证得MN∥EH，最后利用