4.2《分数的应用（二）》教案 2026-2027学年六年级上册数学北师大版

《分数的应用（二）》教学设计学科数学年级五年级课型新授课单元第四单元课题《分数的应用（二）》课时二课时课标要求依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，能在真实情境中，理解分数的意义，会解决与分数相关的实际问题；能找准单位“1”，分析数量关系，能利用线段图直观表征数量之间的关系；感悟两个量比较时，参照标准（单位“1”）不同，结果不同；发展几何直观、数感与应用意识，体会数学知识之间的内在联系，能运用运算律进行分数简便运算。教材分析本节课是北师大版六年级上册分数混合运算单元《分数的应用（二）》，属于分数实际应用的核心课时。教材以水结成冰体积变化的生活情境引入，通过画线段图，对比两个问题：冰的体积比水增加几分之几、水的体积比冰少几分之几，重点让学生理解单位“1”发生改变，对应分率不一样，突破易错认知。随后安排“试一试”，已知水的体积，冰比水增加，求冰的体积，学习“求比一个数多几分之几的数是多少”的解题思路。最后通过分数算式，说明整数运算律在分数运算中同样适用。本节课是学生已经掌握分数意义、分数乘法、分数除法、简单分数应用题基础上的延伸，是后续复杂分数应用题学习的基础，重在培养学生画图分析、辨析单位“1”的能力。学情分析六年级学生已经理解分数的意义，会画线段图表示数量关系，能解决简单分数乘除实际问题，知道找单位“1”。认知难点：学生容易形成思维定式，认为“冰比水增加，水就比冰少”，忽略对比的基准（单位“1”）发生变化。学生习惯直接用两个量的差直接写分率，不会先判断以谁作为标准量。同时，部分学生对于“比一个数多几分之几”的应用题，很难理解1+分率的含义。学生具备一定自主探究、小组讨论的能力，适合借助画图、对比辨析开展探究学习。核心素养目标1.几何直观：能画线段图表示水和冰的体积关系，借助图形分析数量关系。2.数感与运算能力：掌握求比一个数多几分之几的实际问题解法，理解整数运算律适用于分数运算，能正确计算。3.推理意识：通过对比两道对比题，推理发现：比较两个量，单位“1”不同，得到的分率不同。4.应用意识：能用分数知识解决体积变化的生活问题，感受数学与生活的联系。教学重点1.理解“比一个数多几分之几”的含义，掌握求比一个数多几分之几的数是多少的解题方法。2.借助线段图分析数量关系，找准单位“1”。教学难点理解两个量相比较，单位“1”改变，增减的分率不相同；理解1+增加的分率的数量含义。教学准备多媒体课件教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图一、温故复习提问，温故孕新1.算一算。25×35×481×42+81×582.山上有150棵苹果树，梨树比苹果树少，梨树比苹果树少多少棵？学生独自完成，然后集体订正。通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识做准备。一、引新创设情境，引入课题师：同学们，冬天大家有没有见过，放在室外的水冻成冰块？谁来说说，水变成冰会发生什么变化？师：你的观察真仔细！没错，水结成冰，体积会增加。其实在这一现象中还藏着有关分数应用的知识！大家想不想知道？师：今天我们就从这个生活现象入手，去探究水与冰中的分数应用问题。板书课题：分数的应用（二）学生：我见过！水结成冰之后，冰块的体积变大了。学生：想。依托水结冰体积变大这一真实生活现象导入，唤醒学生生活经验，激发好奇心。从直观的体积变化引出本节课较难的“比一个数多几分之几”分数问题，制造认知冲突，自然引出课题，让学生感受分数在生活中的应用价值，为后续借助画图分析数量关系、找准单位“1”做好铺垫。二、探究合作探究，活动领悟探究1：冰的体积比原来水的体积增加了几分之几师：下面是淘气在冬天做了一个结冰实验。课件出示：师：从图中你知道了什么数学信息？师：看到这两个信息，你能提出什么数学问题？师：大家提的问题非常有价值！前面两个问题我们以前学过，今天我们重点研究：冰的体积比原来水的体积约增加了几分之几？想要弄清楚这个问题，我们先画线段图，把水和冰的体积关系直观表示出来。课件出示：请你画图表示“结成冰后的体积与原来水的体积”的关系。师：请大家独立思考，画线段图表示“结成冰后的体积与原来水的体积”的关系。先想一想，我们把谁看作单位“1”？师巡视指导。师：好，停。谁愿意上台展示你的线段图，说一说你是怎么画的？展示：展示：师：非常棒！那增加的这一部分，是和谁对比的？师：所以说增加的部分占谁的几分之几？师：你抓住了关键！求“增加了几分之几”，就是求增加的部分占单位“1”（水的体积）的几分之几。课件出示：冰的体积比原来水的体积约增加了几分之几？请列式解决问题。师：现在请小组合作，想一想，可以用什么方法列式解决这个问题，小组内互相说说你的思路，时间3分钟。师巡视指导。师：时间到！哪个小组先来分享你们的解法？展示：（50－45）÷45＝5÷45＝师追问：第一步算什么？师：那为什么除以45，不是除以50？师：思路清晰，说理完整！还有不同的方法吗？展示：50÷45=－1=师：大家听懂了吗？表示冰的体积是水的。减去水自己的1倍，多出来的部分就是增加的分率。两种方法都得到，冰的体积比原来水的体积增加。师小结：求A比B多几分之几，先找单位“1”是B。方法①：相差量÷单位“1”；方法②：A÷B−1。学生独自观察，然后自由说说：有45cm³的水，结成冰之后体积大约是50cm³。学生1：冰的体积比水的体积多多少立方厘米？学生2：冰的体积是水的体积的几分之几？学生3：冰的体积比原来水的体积增加了几分之几？……学生独立画线段图。学生：我先画一条线段，表示水的体积45cm³，这是单位“1”。冰的体积比水多，所以线段要画得更长，多出来一小段，就是结成冰后的体积增加了5cm3。学生：我是这样画的，水的体积少的一小段表示水的体积比冰的体积少5cm3。学生：是和原来水的体积对比。学生：增加的部分占水体积的几分之几。学生4人小组讨论，交流解题思路。学生：先算增加了多少立方厘米，再用增加的体积除以水的体积。学生：50−45=5cm³，这是增加的体积。学生：因为问题是比水增加几分之几，水是单位“1”，所以除以水的体积45。学生：我们先算冰的体积是水的几分之几，再减去水本身的单位“1”。学生认真倾听。本环节以水结冰实验数据为载体，聚焦本节课核心难点——求一个数比另一个数多几分之几。先引导学生读取信息、自主提问，培养收集信息与提出问题的能力。借助画线段图的数形结合策略，引导学生先确定单位“1”，直观区分原有体积、增加部分的体积，帮助学生理解：增加的分率，是增加量和单位“1”（水的体积）相比。组织小组合作探究，呈现两种解题思路：相差量÷单位“1”；或者先求出冰是水的几分之几再减1。对比两种解法，构建基础解题模型，让学生不仅会列式，还能讲清为什么用45做除数，突破学生容易直接用相差量除以比较量的易错点，发展几何直观与数学说理能力。探究2：水的体积比冰的体积少几分之几师：刚刚我们算出冰比水增加，老师这里有个疑问：那反过来，水的体积比冰的体积少几分之几呢？课件出示：水的体积比冰的体积少几分之几？师：关于这个问题，大家有什么猜想？师：这个猜想对吗？我们先画线段图。大家想一想这道题的单位“1”是谁？先自己动笔画一画。师巡视指导。展示：师：谁来说一说，这道题里，谁是单位“1”？师追问：和上一题对比，单位“1”变了吗？师：太敏锐了！单位“1”发生改变，最后的结果就不一样。那我们怎么列式？同桌互相说一说思路。师：谁来说说你是怎么解答的？展示：（50－45）÷50=5÷50=师：为什么这里除以50，不再除以45？师：太棒了！还可以怎么解决这个问题？展示：45÷50=1－=师：非常棒！现在，我们一起来对比两道题：冰比水多，水比冰少。同样相差5立方厘米，为什么分率不一样？师：看来求“一个数比另一个数增加百分之几”或“一个数比另一个数减少百分之几”，要找准单位“1”。学生：也是少吗？学生独立画图，然后展示：学生：题目说水比冰少几分之几，是拿水和冰对比，所以冰的体积是单位“1”。学生：变了！刚才是水为单位“1”，现在冰是单位“1”。学生同桌交流。学生：先算体积相差多少，50−45=5cm³。因为单位“1”是冰，所以用相差量除以冰的体积。学生：因为问题是比冰少几分之几，单位“1”是冰的体积，所以除以冰的体积50cm³。学生：先算水的体积是冰的几分之几，再算减少几分之几。学生：因为单位“1”不一样！冰比水多是把水的体积看作单位“1”，水比冰少是把冰的体积看作单位“1”。设置逆向对比问题，制造认知冲突，引导学生猜想、验证，体会单位“1”发生变化，结果不同。再次让学生画线段图，对比两道题的单位“1”，让学生直观看到，相差量不变，对比标准改变，得到的分率不一样。通过追问“为什么这里除以50”，强化核心：求多（少）几分之几，除数永远是单位“1”的量。通过正反两道题对比辨析，打破思维定式，帮助学生厘清“比A多几分之几”和“比B少几分之几”不能直接抵消，深化对单位“1”的理解。四、变式师生互动，变式深化探究3：试一试师：同学们，刚才我们通过45cm³水结成冰变成50cm³的例子，学会了怎样求体积增加了几分之几。那如果题目直接告诉我们，水结成冰体积会增加，已知水的体积，你能直接算出冰的体积吗？我们一起来看课本上的试一试。课件出示：18dm3的水冻成冰后，体积增加，冰的体积是多少立方分米？师：请大家默读题目，找一找题里的数学信息，想一想，这道题的单位“1”是谁？学生默读题目，然后回答：单位“1”是水的体积，水是18立方分米。师：你是怎么快速找到单位“1”的？师：找得非常准！看到“比谁增加、比谁减少”，“比”后面的量就是我们要找的单位“1”。现在请大家独立思考，试着在练习本上列式解决。完成之后，前后4人为一个小组，互相说一说你的解题思路，想一想，你每一步算式求的是什么。给大家3分钟时间，开始。师巡视，观察学生两种不同解法。师：时间到！哪个小组愿意来分享第一种想法？师追问：那增加的体积怎么求？展示：18×+18=2+18=20（dm3）师：思路很清晰！先求增加的部分，再加原有量，这是分步思考的好办法。有没有同学用不一样的方法？师：那冰的体积是原来水的体积的几分之几怎么求？展示：18×（1+）=18×=20（dm3）师追问：这里的1+是什么意思？1代表什么？代表什么？师：太棒了！你直接找到了冰的体积对应的分率，一步计算，简洁高效。这两种方法，都是解决“已知单位1，求比单位‘1’多几分之几是多少”的问题。课件出示：“求比一个数多（少）几分之几的数是多少”的解题方法：方法一：单位“1”的量+单位“1”×增加的分率方法二：单位“1”的量×（1+增加的分率）师：两种思路都正确，大家可以选自己更容易理解的方法。所以我们的答句是……？师：同学们，我们已经学会分数应用题的解决方法。那在分数的计算当中，我们以前学过的整数运算定律，还能用吗？我们继续看下面“算一算，说一说”。课件出示：算一算，说一说。（1）（2）师：请大家独立计算左右两边算式，算完之后观察，每组两道算式结果怎么样，想一想用到了什么运算规律。师巡视。师：谁来汇报第一组？师追问：乘法结合律是什么？师：很好！第二组算式谁来说？师：通过这两组算式，大家发现了什么规律？同桌互相说一说。师总结：没错！整数的运算律在分数中同样适用。在分数计算的时候，我们可以灵活运用运算律进行简便计算，减少计算量，不容易出错。学生：题目说体积增加，是冰的体积比水增加，所以和水比，水的体积就是单位“1”。学生独立列式，小组内交流思路。学生：我先算出冰的体积比水增加了多少立方分米，再用原来水的体积加上增加的体积，就是冰的体积。学生：水的体积是单位“1”，增加的部分就是18的，所以用18×=2（dm³）。再加上原来水的18，18+2=20（dm³）。综合算式就是……学生：我的想法不一样。先算冰的体积是原来水的体积的几分之几，再用单位“1”的量乘这个分率算出冰的体积。学生：冰的体积比水增加，那冰的体积就相当于水的1+，也就是水的。直接用单位“1”的量乘这个分率，18×=20（dm³）。综合算式就是……学生：1代表原来水本身的体积，是多出来的部分。合在一起，冰的体积就是水的。学生：冰的体积是20立方分米。学生独立计算。学生：左边：；右边：，两边相等，这是乘法结合律。学生：三个数相乘，可以先把前两个相乘，也可以先把后两个相乘，积不变。学生5：左边：=17；右边：，结果一样，这是乘法分配律。同桌两人相互交流或汇报：整数的乘法结合律、乘法分配律，放到分数计算里面同样成立！由前面求分率，过渡到已知单位“1”和增加分率，求具体数量，实现题型迁移。引导学生自主定位单位“1”，总结“比后面的量就是单位1”的判断技巧。展示两种解题路径：先算增加部分再加原量；或者先算目标量对应的总分率，再用单位“1”的量乘总分率。对比两种算式，梳理模型：单位“1”±单位“1”×分率；单位“1”×(1±分率)，帮助学生建立这类分数应用题的解题模型，允许学生自主选择适合自己理解的方法，尊重思维差异。紧接着安排分数算式对比计算，让学生自主发现整数运算律在分数中同样适用。体会简便运算的价值，实现运算知识迁移，提升分数运算能力，把解决问题和计算教学融合在一起。五、尝试尝试练习，巩固提高1.服装店以每套80元的价格购进一批服装。后来以每套110元的零售价出售。零售价比进价提高了几分之几?2.看图列式计算。3.先说出运算顺序，再计算。4.5.大熊猫属于我国国家一级保护动物。数据显示，2021年我国野生大熊猫的数量约1800只，大约分布在四川省内。分布在四川省外的野生大熊猫数量大约是多少?6.越野赛跑全程12km，其中环山路段占，海滨路段占，其余的是公路路段。（1）环山路段比海滨路段长多少千米?（2）如果明年赛跑全程延长，将是多少千米?学生独自完成，然后集体订正。引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。六、提升适时小结，兴趣延伸师：回顾这节课你学到了什么？师：今天我们借助水结成冰这个有趣的生活实验，一起探究了分数应用中“比一个数多、少几分之几”的问题。分数应用题的学习，最重要的不是死记硬背公式，而是读懂题目、找准单位“1”，学会画图分析数量之间的关系。希望同学们在之后遇到分数实际问题时，主动画图、认真审题，仔细分辨谁是对比标准。期待大家在后续学习中，能灵活运用今天学到的方法，解决更多生活里的分数问题，不断提升分析问题、严谨说理的数学能力。学生1：我会解决求一个量比另一个量多几分之几或者少几分之几，要用相差量除以单位“1”。学生2：我还会解答“求比一个数多(或少)几分之几的数是多少”的问题了。引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。板书设计分数的应用（二）（1）求A比B多（或少）几分之几，先找单位“1”是B。方法：相差量÷单位“1”（2）“求比一个数多（少）几分之几的数是多少”的解题方法：单位“1”的量×（1+增加的分率）（3）整数的运算律在分数中同样适用。利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。作业设计（课外练习）基础达标：1.根据给出的信息，填写等量关系式。（1）小华的体重比爸爸的体重轻。（2）男生人数比女生人数多。（3）现价比原价降低几分之几？2.看图列式计算。能力提升：1.把问题与对应的算式用线连起来。六（1）班有男生23人，女生22人。男生人数是女生人数的百分之几？23÷22女生人数是男生人数的百分之几？（23－22）÷22男生人数比女生人数多百分之几？22÷23女生人数比男生人数少百分之几？（23－22）÷232.红星乡计划造林9公顷，实际造林12公顷，实际造林比原计划多几分之几？（1）画图表示实际造林比原计划多几分之几。（2）列式解决问题。（3）原计划造林比实际造林少几分之几？画一画，算一算。拓展迁移：走进商场，算算促销的商品降低了几分之几。参考答案：基础达标：1.（1）小华的体重=爸爸的体重×（1－）（2）男生人数=女生人数×（1+）（3）（原价－现价）÷原价=降低几分之几2.168×（1+）=216(吨）能力提升：1.如图所示：2.（1）如图所示：（2）（12－9）÷9=（3）如图所示：（12－9）÷12=教学反思本节课是《分数的应用（二）》，围绕水结冰的真实实验情境，探究两类重难点题型：求一个数比另一个数多（少）几分之几；已知单位“1”，求比单位“1”多（少）几分之几的数。整体以线段图为抓手，层层递进，学生能够参与猜想、画图、说理、对比辨析，基本达成教学目标。亮点：1.情境连贯统一。整节课依托水结冰实验，前后问题一脉相承，学生不用频繁更换场景，更容易聚焦数量关系。从冰比水增加几分之几，逆向转到水比冰少几分之几，对比强烈，直击