2027届贵州遵义市高三上学期卷库试卷数学试题（含答案解析）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）遵义市2027届高三年级卷库试卷（二）数学（满分：150分，时间：120分钟）注意事项：1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码.2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上.1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．（

）A． B．C． D．3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．4．已知为等比数列的前n项和，，，则（

）A． B．C． D．5．已知函数的定义域为，，当时，，则（

）A．2 B．1C．0 D．6．在正三棱台中，，，，则该棱台的体积为（

）A． B．C． D．7．年世界人工智能大会在上海举办．现将甲、乙等名志愿者分配到浦东世博中心、上海世博展览馆、浦东张江科学会堂、徐汇西岸国际会展中心四个展馆开展志愿者服务，每名志愿者只分配到个场馆，每个场馆至少安排名志愿者，若甲不安排至上海世博展览馆，乙必须安排至浦东世博中心展馆，则不同的安排方法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种8．已知函数，若存在正实数，，使得，，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．已知，，则下列各式中恒成立的是（

）A． B．C． D．10．函数的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．C．当时，的值域为D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数11．已知为坐标原点，过的直线与双曲线相交于，两点，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的离心率为B．直线斜率的取值范围为C．若是双曲线上的动点，则的最小值为D．过作的垂线，垂足为，则点的轨迹与直线有且只有1个公共点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．函数的所有极值点之和为__________.13．已知角的终边过点，则__________.14．已知数列满足：，，，记数列的前项和为.若，则正整数的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．在中，内角，，的对边分别是，，，已知.(1)求；(2)若，，求.16．某快递公司为了提升配送服务质量，对旗下站点的每日投诉率进行统计分析．公司从该站点中随机抽取了个工作日，得到的日投诉率记为，统计数据如下：序号123456782.13.52.84.22.92.53.83.3公司规定：单日投诉率低于3.0‰时，该日记为“优质服务日”．(1)从A站点这8个工作日中随机选取2天，记X为抽到的“优质服务日”天数，求X的分布列和数学期望．(2)为了降低投诉率，公司对该站点开展为期一个月的服务整改.整改后，该站点的日投诉率记为，变量服从正态分布．用样本估计总体，从该站点随机抽取个工作日，试估计“优质服务日”的天数．（结果四舍五入，取整数）参考数据：，，．17．如图，在四棱锥中，，，，是边长为4的等边三角形，平面平面.

(1)证明：；(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.18．已知椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，且点在上.(1)求的方程；(2)直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，且.（ⅰ）求；（ⅱ）若点满足，求面积的最大值.19．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若有三个零点、、，且.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：.答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．B【详解】由题意得集合，根据交集的定义得.2．C【详解】．3．D【详解】对数函数单调递增，，故，指数函数单调递增，，故，指数函数单调递减，，故，故．4．B【分析】根据等比数列的性质计算即可.【详解】因为，为等比数列，所以当时，，则，矛盾，舍，当时，，因为，所以，令，则，（舍），，故，因为，所以.5．C【分析】先由关系式推导出函数的周期，再利用周期性把转化到已知解析式的区间内，代入计算函数值.【详解】函数的定义域为，当时，，对，用“”代替“”得，所以，则的周期，所以.6．A【分析】先求上下底面正三角形面积与棱台的高，再代入棱台体积公式求解.正三棱台上下底面中心连线垂直底面，结合上下底面中心距与侧棱长，利用勾股定理求高.【详解】正三角形面积公式：.下底面边长，；上底面边长，.正三角形的重心（中心）到顶点距离：.下底面中心到顶点距离：；上底面中心到顶点距离：；上下底面中心在侧棱方向的水平距离：.已知侧棱，设棱台高为，由勾股定理：.代入棱台体积公式：.7．C【分析】利用分组模型，以乙所在两人组为分类标准，优先处理特殊元素甲、乙，结合分步乘法、分类加法计数原理计算．【详解】由题意，5人分配到4个展馆，每个展馆至少1人，故分组必为，记浦东世博中心、上海世博展览馆、浦东张江科学会堂、徐汇西岸国际会展中心四个展馆分别为展馆，展馆，展馆，展馆，乙固定安排在展馆，甲不能安排至展馆，分两类讨论：（1）两人组包含乙（乙与另一人同在展馆），①甲与乙同组在展馆，剩余人全排列分配到展馆，方法数为；②从除甲乙外的人中选人与乙同组在展馆，剩余人（甲+余下人）分配到展馆，每人一个展馆，甲不去，方法数为；本类方法数为；（2）两人组不包含乙，乙单独在展馆，剩余甲与另外人，共人分配到，且每个展馆至少人，甲不能去，①展馆安排人：从人中选人去，剩下人分为一组人、一组人分到，方法数为；②展馆安排人：从人中选人去，剩下甲与人分到方法数为，本类方法数为，由分类加法计数原理，总安排方法数为．8．D【分析】直接将原问题转化为函数的图像与直线有两个交点，再用导数研究函数的极值及变化趋势判断可得.【详解】设正实数，由题意，当时，，因此：，代入上式，得：，化简整理得，即.所以原问题等价于：方程​存在两个不同的正实根.即函数的图像与直线有两个交点.对函数求导，，令，得，即，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；所以是函数的极大值点，也是最大值点，且.当时，，所以；当时，的增长远慢于，所以.要使函数的图像与直线有两个交点，则.因此实数的取值范围为.9．BCD【分析】由指数函数的单调性判断；由不等式性质判断；利用作差法可判断.【详解】对于选项A，当时，在上单调递减，又，所以，故A错误；对于选项B，由可得，故B正确；对于选项C，由，可得，即，故C正确；对于选项D，由，，可得，所以，即，故D正确.10．AD【分析】借助余弦函数图象的对称性，先求出对称轴，从而得到周期与相位，求出解析式，然后依次求函数值、区间值域及图象平移与偶函数即可.【详解】对于A：因为轴，所以的一条对称轴为，所以，所以，故A正确；对于B：因为，所以，是的零点，且在单调递减区间内，所以，所以，因为，所以取，得，所以，则，故B错误；对于C：因为，当时，，所以，所以，故C错误；对于D：将的图象向左平移个单位长度后得到，因为，所以是偶函数，故D正确.11．ACD【分析】利用离心率公式求出离心率，假设直线的方程，联立双曲线方程，根据求出斜率取值范围，再判断斜率不存在时是否有两个交点，根据两点间距离公式及二次函数的性质即可求出的最小值，求出点的轨迹方程，通过圆与直线的位置关系即可判断有几个公共点.【详解】对于A，；对于B，假设斜率不存在，则直线，此时与双曲线没有交点，不符合题意，舍去，若斜率存在，设，联立得，因为直线与双曲线有两个交点，则且，解得或或；对于C，设，则，因为，所以，根据二次函数性质可得当时，，即；对于D，由上述证得，当斜率不存在时，不符题意，过点O作的垂线，此时，即点的轨迹是以线段为直径的圆的一部分，且圆心为，半径为1，这个圆的方程为，直线方程为，过点，即直线过圆心，则圆与直线可能有两个交点，联立得，解得，代入得或，即和，若为，则直线斜率，符合题意；若为，则直线斜率，不符题意，舍去，故点的轨迹与直线有一个交点，综上所述，ACD正确.12．0【详解】，令，解得，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以在取得极大值，在取得极小值，所以函数所有极值点之和为.13．##【详解】由题意可知：，所以原式.14．【分析】令，进而可得及①，迭代一次得②，由两式得，进而累加可得，再由两式可得，估计的范围，进而可得所求结果.【详解】已知当时，，即，令，则，所以.因此数列是公差为的等差数列，又，，则首项，所以.因此①，用替换得②，对变形得，所以，，，，，上述式子累加得：，所以.因为，所以.再由得，所以数列均为正项递增数列，因为，若，则，，所以，可得，即，又，所以，又，所以，所以，所以，所以由对勾函数的性质可得，所以，因为，所以正整数的最大值为.15．(1)(2)【详解】（1）因为，由余弦定理可得，且，所以.（2）由正弦定理可得，即，，可得，又因为，可得，即，所以.16．(1)的分布列为；(2)【分析】（1）先统计优质日数量，利用超几何分布求的分布列与期望；（2）根据正态分布性质，结合对称性求出的概率，进而估计天数．【详解】（1）由题意知，的可能取值为，，，，所以的分布列为；（2）由正态分布，得，，所以“优质服务日”的天数约为．17．(1)取中点为，连接，是边长为4的等边三角形，，又平面平面，平面平面，平面，又，，是平行四边形，.又，，又平面且，平面，又平面，.(2)存在，【分析】（1）利用面面垂直的性质得到线面垂直，再利用线面垂直定理和性质即可证明；（2）以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令，由二面角的向量公式求得，即可求解的值.【详解】（1）略（2）由题意知以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，则，令，,设平面的法向量为，则，取，得，又平面的一个法向量为，，化简得，又，故解得，故线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时.18．(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）【分析】（1）设出椭圆标准方程，根据及点在上列方程求解；（2）（ⅰ）联立方程，根据韦达定理写出结果，求出，再结合，列方程求解；（ⅱ）对向量条件化简，得到，联立方程，设的中点为，根据韦达定理求出的坐标，根据两直线垂直斜率的关系得到的关系，再利用弦长公式和三角形面积公式表示出的面积，最后根据均值不等式求出最大值.【详解】（1）由题可知，且椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆方程为：，因为点在上，所以，又，解得，，所以椭圆的方程为：；（2）（ⅰ）设，联立，整理并化简得：，所以，，所以，又，所以，所以，所以，即，因为，所以，则，所以，解得，又因为，所以；（ⅱ）由（1）可知，所以直线方程为：，设的中点为，因为，所以，即，所以，即，即，所以，又，所以，所以，则，即，又，，所以，当且仅当时，取得等号，所以面积的最大值为.19．(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）由（ⅰ）可知，，，，要证明，即证明，即证明，令，则，所以当时，，所以在上单调递减，所以，即成立，所以.【分析】（1）求导，根据点斜式方程求出切线方程；（2）（ⅰ）求导，根据有三个零点得到导数的分析有两个不同的正根，建立不等式组求出的取值范围，再进行验证：根据韦达定理得到两个正根的取值范围，根据导数的正负判断函数的单调性，结合及零点存在定理确定