30.1 直线与圆 课后过关练（含解析）2026-2027学年人教版九年级数学上册

试卷第=page11页，共=sectionpages22页试卷第=page11页，共=sectionpages22页30.1直线与圆课后过关练2026-2027学年人教版九年级数学上册一、单选题1．已知⊙O的半径为4，OP=3，P为直线l上一点，则直线l与⊙O的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定2．平面内，⊙O的半径为5，若直线l与⊙O相离，则圆心O到直线l的距离可能是（

）A．6 B．5 C．4 D．33．如图，直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的值可以是（

）A．4 B．5 C．6 D．84．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与过点A且垂直于该切线的直线AD相交于点D，连接OC、AC，若∠AOC=80°，则∠DAC的度数为（

）A．49° B．80° C．62° D．50°5．如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C．若AD=6，则△ABC的周长是（）A．6 B．8 C．10 D．126．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=13cm，PA=12cm，则⊙O的半径为（A．3cm B．4cm C．4.5cm7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若ABCD=13，则A．53 B．63 C．348．如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=15，AC=9，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（

）A．π6 B．π8 C．π59．如图，CD为等边三角形ABC的高，点O在DC的延长线上，且OD=7，CD=4，⊙O的半径为1，若将⊙O绕点C按顺时针方向旋转210°，在旋转过程中，⊙O与等边三角形ABC的边只有一个公共点的情况一共出现（

）A．3次 B．4次 C．5次 D．6次10．下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三角形三条边的距离相等；④垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点O在△ABC内部，以O为圆心，OC长为半径的圆与直线12．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为2，点P的坐标为−3,0，若将⊙P沿x轴向右平移，使得⊙P与y轴相切，则⊙P向右平移的距离为_____．13．如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上点，以点O为圆心，12BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转_____度时与⊙O14．一动点P在二次函数y=14x2−15．二次函数y=12x2−2与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点C0,3为圆心半径为1的三、解答题16．已知点A在⊙O上，用尺规按下列要求画图：(1)在图①中画出点P，使AP是⊙O的直径；(2)在图②中画出点Q，使AQ是⊙O的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）17．如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．18．如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.4m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒(1)浮出水面2.5秒后，盛水筒P距离水面约多高？(2)若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，已知MO=8m，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽MN中（即点P恰好在直线MN上）？（参考数据sin37.5°≈0.6，cos37.5°≈0.8，sin19．下面是小霞设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，P是⊙O上一点．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①作射线PO交⊙O于点A；②以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点B（点B在直线AO的上方）；③连接BP，分别以B，P为圆心，线段BP的长为半径画弧，两弧相交于点C（点B，C在直线PO的同侧）；④作直线PC；则直线PC即为所求．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)根据小霞设计的尺规作图过程，完成下面的证明：证明：连接AB，BO，BC，∵AB=AO=①，∴△ABO是等边三角形，∴∠AOB=60°，同理可证∠BPC=60°，∴∠BPO=12∠AOB=30°（∴∠OPC=∠BPO+∠BPC=90°，∴OP⊥PC，∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（③）（填推理的依据）．20．如图，点A的坐标为−5,0，点B的坐标为−3,0，点C在y轴的正半轴上，且∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°．点P从点Q4,0出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．当以点P为圆心、PC为半径的⊙P答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案题号12345678910答案AADDDDAABB1．【答案】A【知识点】判断直线和圆的位置关系、垂线段最短【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，垂线段最短，通过OP=3判断出圆心到直线的距离是解题的关键．根据垂线段最短，圆心到直线的距离d≤OP=3<4，因此d<r，据此即可判断．【详解】解：∵P为直线l上一点，OP=3，∴圆心O到直线l的距离d≤OP=3（垂线段最短），∵⊙O的半径r=4，∴d<r，∴直线l与⊙O相交．故选：A．2．【答案】A【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离【分析】本题考查直线与圆相离的判定，根据相离的判定逐项验证即可得到答案，熟记直线l与⊙O相离，得到圆心O到直线l的距离大于⊙O半径是解决问题关键．【详解】解：∵⊙O的半径为5，若直线l与⊙O相离，∴由相离定义可知圆心O到直线l的距离大于半径5，∴根据四个选项中的距离可知，只有6符合要求，故选：A．3．【答案】D【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d=6，按照r>d=6即可得到问题的答案．【详解】解：∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，∴r>6，比较四个选项中的数，只有D选项中的8>6，满足题意，故选：D．4．【答案】D【知识点】多边形内角和问题、圆周角定理、切线的性质定理【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和，由题意可得∠BOC=100°，再根据圆周角定理可得∠BAC=50°，由切线的性质得到∠OCD=90°，利用四边形内角和求出∠DAB=100°，由∠DAC=∠DAB−∠BAC即可求解．【详解】解：∵∠AOC=80°，∴∠BOC=100°，∵BC⏜∴∠BAC=50°，∵DC是⊙O的切线，CD⊥AD，∴∠OCD=90°，∠ADC=90°，∴∠DAB=360°−∠OCD−∠AOC−∠ADC=100°，∴∠DAC=∠DAB−∠BAC=50°．故选：D．5．【答案】D【知识点】应用切线长定理求解【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键．经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．利用切线长定理，可以得到：AD=AE,BD=BF,CF=CE，据此即可求解．【详解】解：∵AD，AE分别是⊙O的切线，∴AD=AE同理，BD=BF,CF=CE．∴三角形ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BF+CF+AC=AB+BD+AC+CE=AD+AE=2AD=12．故选：D．6．【答案】D【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理【分析】本题考查了切线的性质和勾股定理，熟练运用切线的性质是解题的关键．连接OA，根据AP与⊙O相切于点A可得OA⊥AP，由勾股定理求出OA．【详解】解：如图，连接AO，∵OP与⊙O相切于点A，∴OA⊥AP，∵PO=13cm，AP=12∴在Rt△OPAOA=O故选：D．7．【答案】A【知识点】求角的正弦值、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用【分析】作CF⊥AB延长线于F点，连接DE，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在Rt△DEC和Rt△BFC，最终得到【详解】解：如图所示，作CF⊥AB延长线于F点，连接DE，

∵AD⊥AB，AB∥∴∠FAD=∠ADC=∠F=90°，∴四边形ADCF为矩形，AF=DC，AD=FC，∴AB为⊙D的切线，由题意，BE为⊙D的切线，∴DE⊥BC，AB=BE，∵ABCD∴设AB=BE=a，CD=3a，CE=x，则BF=AF−AB=CD−AB=2a，BC=BE+CE=a+x，在Rt△DEC中，D在Rt△BFC中，F∵DE=DA=FC，∴9a解得：x=2a或x=−3a（不合题意，舍去），∴CE=2a，∴DE=C∴sinC=故选：A．8．【答案】A【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、几何概率、图形上与已知两点构成直角三角形的点【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、几何概率等知识点，根据三角形内切圆的性质求出圆的半径是解题关键．先根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积公式、三角形内切圆的性质求出圆的半径，然后根据圆的面积公式求出阴影部分的面积，最后利用概率公式计算即可．【详解】解：∵AB=15，AC=9，BC=12，∴AC∴△ABC是直角三角形，如图，设内切圆的半径为r，则S△ABC∴12∴12×9×12=1∴△ABC的面积为12AC⋅BC=1∴小鸟落在花圃上的概率为P=9π故选A．9．【答案】B【知识点】判断直线和圆的位置关系【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．延长CO交⊙O于点E，根据线段的和差关系求出CD=CE=4，根据等边三角形的性质，得到∠OCA=∠OCD+∠ACD=210°，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：如图，延长CO交⊙O于点E，∵OD=7，CD=4，∴OC=7−4=3，∵⊙O的半径为1，∴CE=3+1=4，∴CD=CE，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，又∵CD为等边三角形ABC的高，∴∠ACD=1∴∠OCA=∠OCD+∠ACD=180°+30°=210°，∴⊙O与BC边只有一个公共点的情况有2次，与AB边有1次，与AC边有1次，共4次，故选：B．10．【答案】B【知识点】利用垂径定理求值、圆的基本概念辨析、判断确定圆的条件、有关切线的概念辨析【分析】根据三角形内心的概念和性质、垂径定理、切线的判定定理、确定圆的条件判断即可．本题考查了三角形的内切圆与内心，垂径定理，确定圆的条件，切线的判定，掌握基本的概念是解题关键．【详解】∵①不在同一直线上的三点确定一个圆，三点共线，无法确定圆，∴①错误；∵②根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦是正确的，∴②正确；∵③三角形的内心是角平分线交点，到三边距离相等，∴③正确；∵④垂直于半径且过半径外端的直线才是切线，∴④错误；∴正确说法有②和③，共2个．故选：B．11．【答案】0<OC<【知识点】用勾股定理解三角形、已知直线和圆的位置关系求半径的取值、相似三角形的判定与性质综合【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，勾股定理，设⊙O恰好与直线AB相切时，切点为E，过点C作CD⊥AB于D，连接CE，可由勾股定理得到AB的长，利用等面积法可得CD的长，再求出⊙O恰好与直线AB相切时OC的长的最小值即可得到答案．【详解】解：设⊙O恰好与直线AB相切时，切点为E，过点C作CD⊥AB于D，连接CE，∵△ABC中，∠C=90°，∴AB=A∵CD⊥AB，∴S△ABC∴CD=AC⋅BC∵OC+OE=2OC≥CE≥CD，∴当点E为点D重合，且O、C、D三点共线时，OC有最小值，最小值为25∴当⊙O与直线AB相离，OC的取值范围是0<OC<2故答案为：0<OC<212．【答案】1或5【知识点】切线的性质定理、利用平移的性质求解【分析】本题考查圆的切线性质、平移性质，分类讨论是解答的关键．分圆在y轴左侧相切和y轴右侧相切求解即可．【详解】解：∵点P的坐标为−3,0，∴OP=3，如图，当圆在y轴左侧相切时，OP1=2当圆在y轴右侧相切时，OP2=2故⊙P向右平移的距离为1或5，故答案为：1或5．13．【答案】60或120/120或60【知识点】含30度角的直角三角形、证明某直线是圆的切线【分析】由于半径是12BO，因此只需要过O作旋转后的直线的垂线，只要保证旋转后的射线与BC的夹角是30度，则O与垂足的连线就是【详解】解：射线BA绕点B顺时针旋转60度时，记为射线BE，作OD⊥BE于D，∵在直角三角形BOD中，∠DBO=∠ABD-∠ABE=30°，∴OD=12BO，即OD∴BE与圆O相切，同理将射线BA绕点B顺时针旋转120度时，记为射线B，同理可证BF是圆O的切线，故答案为：60或120．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，切线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握切线的判定条件．14．【答案】(−1,1)或(3,1)或(1,0)【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、切线的应用【分析】根据题意可分两种情况讨论：①当⊙P与x轴相切时，则点P的纵坐标为1，则得一元二次方程，解方程即可；②当⊙P与y轴相切时，点P的横坐标为1或-1，则可得点P的坐标，综上即可求解．【详解】解：如图所示：则可分两种情况：①当⊙P与x轴相切时，则点P的纵坐标为1，令14解得x1=−1，此时点P的坐标为：(−1,1)或(3,1)，②当⊙P与y轴相切时，点P的横坐标为1或-1，则此时点P的坐标为：(−1,1)或(1,0)，综上所述：点P的坐标为：(−1,1)或(3,1)或(1,0)，故答案为：(−1,1)或(3,1)或(1,0)．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质和圆的切线的应用，掌握切线的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．15．【答案】5−【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、用勾股定理解三角形、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离【分析】本题考查了二次函数的性质，三角形的面积公式，直线和圆的位置关系，求出圆心C到AB的距离是解的关键．连接AC，过点C作CE⊥AB于E，先求出A,B的坐标，根据面积桥S△ABC=12BC⋅OA=12AB⋅CE求出C到AB的距离【详解】解：如图，连接AC，过点C作CE⊥AB于E，对于抛物线y=12x2−2解得x=±2，∴A2,0令x=0，y=−2，则B0,−2∴AB=2∵点C0,3∴BC=3−−2∵∴CE=BC⋅OAAB=5×222=∵CD=1，∴点D到AB的最小距离为55∴△ABD的面积的最小值=1故答案为：5−216．【答案】(1)解：点P即为所求．(2)解：点Q即为所求．【知识点】作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、有关切线的概念辨析【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键．（1）根据直径经过圆心，作直线AO，交⊙O于点P即可；（2）根据切线的定义，连接AO，过点A作AO⊥AQ于点A，交点就是点Q解答即可．【详解】（1）略（2）略17．【答案】解：DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，如图所示：∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴AC∥∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切．【知识点】证明某直线是圆的切线【分析】本题考查了证明某直线是圆的切线，连接OD，由OD=OA得∠ODA=∠OAD，由AD平分∠BAC得∠OAD=∠CAD，推出∠ODA=∠CAD，AC∥【详解】略18．【答案】(1)此时盛水简P距离水面的高度0.6(2)从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒P恰好在直线MN上【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算【分析】本题考查了切线的性质、锐角三角函数、矩形的判定与性质、旋转等知识，灵活运用题目所给数量关系以及特殊角的三角函数值是解题的关键．（1）先根据时间和速度求出∠AOP，进而得出∠POC，最后利用三角函数计算出OD，从而得到盛水筒P距离水面的高度；（2）先确定当P在直线MN上时，此时P是切点，再利用三角函数得到∠POM=68°，∠COM=73°，从而计算出∠POH=39°，最后再计算出时间即可．【详解】（1）解：连接OA，OP，过点P作PD⊥OC，PH⊥CA，垂足为D、则∠PDC=∠DCH=∠PHC=90°，∴四边形CDPH是矩形，∴PH=CD，由题意得，筒车每秒转360°÷60=6°，盛水简P浮出水面2.5秒后，此时∠AOP=2.5×6°=15°，∵cos∠AOC=∴∠AOC≈37.5°，∴∠POC=∠AOC+∠AOP=37.5°+15°=52.5°，∴∠OPD=37.5°，在Rt△POD中，OD=OP⋅∴PH=CD=2.4−1.8=0.6m答：此时盛水简P距离水面的高度0.6m（2）解：如图，因为点P在⊙O上，且MN与⊙O相切，所以当P在直线MN上时，此时P是切点，连接OP，所以OP⊥MN，在Rt△OPM中，cos∴∠POM=68°．在Rt△OCM中，cos∴∠COM=73°，∴∠POH=180°−∠POM−∠COM=180−68°−73°=39°，∴需要的时间为39°6°答：从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒P恰好在直线MN上．19．【答案】(1)见解析；(2)①BO；②在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；③经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．【知识点】作线段(尺