30.1 直线与圆 课后进阶练（含解析）2026-2027学年人教版九年级数学上册

试卷第=page11页，共=sectionpages22页试卷第=page11页，共=sectionpages22页30.1直线与圆课后进阶练2026-2027学年人教版九年级数学上册一、单选题1．已知⊙O的半径为9cm，圆心O到直线AB的距离为10cm，则直线AB与⊙O的位置关系是（A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定2．如图，直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的值可以是（

）A．4 B．5 C．6 D．83．已知⊙O的直径是6，直线l是⊙O的切线，则圆心O到直线l的距离是（

）．A．3 B．4 C．6 D．124．如图，AB,AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BDC上的点，若∠BAC=80°，则∠BDC=（

）A．70° B．60° C．50° D．40°5．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F．若CF=8,AB=10，则△ABC的周长为（

）A．8 B．10 C．20 D．366．下列说法中错误的是（

）A．切线与圆有唯一的公共点 B．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线C．垂直于切线的直线必经过切点 D．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若ABCD=13，则A．53 B．63 C．348．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（

A．30−4π B．30−16π C．3039．如图，CD为等边三角形ABC的高，点O在DC的延长线上，且OD=7，CD=4，⊙O的半径为1，若将⊙O绕点C按顺时针方向旋转210°，在旋转过程中，⊙O与等边三角形ABC的边只有一个公共点的情况一共出现（

）A．3次 B．4次 C．5次 D．6次10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴正半轴上，已知点B6,3，P为BC边上一动点，以点A为圆心，AP长为半径作圆，过点P作⊙A的切线，交线段OC于点F，将△CPF沿PF翻折得到△C′PF．当点C′恰好落在⊙AA．3 B．23 C．4 D．二、填空题11．如图，已知∠ACB=30°，CM=2，AM=5，以M为圆心，r为半径作⊙M，⊙M与线段AC有交点时，则r的取值范围是______．12．中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．问题：若正方形的边长为10丈，⊙O的半径为2丈，则点D到⊙O的最短距离为______丈．13．如图，已知⊙P的半径是2，圆心P在抛物线y=12x2−x−1214．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的弦，且AE⊥BC，垂足为D．若cos∠EAC＝31010，CE＝2，则△15．已知：如图，三角形ABC内接于⊙O，AB为直径，过点A作直线EF，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种）：①________或②________或③________．三、解答题16．弗朗索瓦•韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用．(1)作图（保留作图痕迹）：已知AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上的一点．①作线段OP的垂直平分线MN交OP于点Q；②以点Q为圆心，PQ长为半径作圆，交圆O于点E，F；③连接PE和PF．(2)试说明PE是圆O切线的理由．17．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，过点D作⊙O的切线，交AC边于点E，且DE⊥AC．求证：AB=AC．18．如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y=12x2−1上运动，当⊙P

19．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点(1)求OC的长．(2)将图1中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动，如图2．半圆的中点为Q，OE垂直于GH且点E在圆上，OE交MN于点D，滚动后水面高度下降了多少？20．下面是小霞设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，P是⊙O上一点．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①作射线PO交⊙O于点A；②以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点B（点B在直线AO的上方）；③连接BP，分别以B，P为圆心，线段BP的长为半径画弧，两弧相交于点C（点B，C在直线PO的同侧）；④作直线PC；则直线PC即为所求．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)根据小霞设计的尺规作图过程，完成下面的证明：证明：连接AB，BO，BC，∵AB=AO=①，∴△ABO是等边三角形，∴∠AOB=60°，同理可证∠BPC=60°，∴∠BPO=12∠AOB=30°（∴∠OPC=∠BPO+∠BPC=90°，∴OP⊥PC，∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（③）（填推理的依据）．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案题号12345678910答案ADACDCAABC1．【答案】A【知识点】判断直线和圆的位置关系【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则当d>r时，直线与圆的位置关系为相离；当d=r时，直线与圆的位置关系为相切；当d<r时，直线与圆的位置关系为相交，据此可得答案．【详解】解：∵圆心O到直线AB的距离为10cm，⊙O的半径为9cm，且∴直线AB与⊙O的位置关系是相离，故选：A．2．【答案】D【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d=6，按照r>d=6即可得到问题的答案．【详解】解：∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，∴r>6，比较四个选项中的数，只有D选项中的8>6，满足题意，故选：D．3．【答案】A【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离【分析】根据圆与直线的位置关系可得：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径．【详解】解∶由⊙O的直径是6，可知⊙O的半径是3，直线l是⊙O的切线，那么点O到直线l的距离是3．故选：A【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，记忆理解判定条件是解题的关键．4．【答案】C【知识点】圆周角定理、切线的性质定理【分析】此题考查了切线的性质定理、圆周角定理等知识．连接OB,OC，根据切线性质得到∠ABO=∠ACO=90°，由四边形内角和求出∠BOC=100°，由圆周角定理即可求出答案．【详解】解：连接OB,OC，∵AB,AC是⊙O的两条切线，∴OB⊥AB,OC⊥AC，∴∠ABO=∠ACO=90°，根据四边形内角和得到∠BOC=360°−∠ABO−∠ACO−∠BAC=360°−90°−90°−80°=100°，根据圆周角定理得出∠BDC=1故选：C5．【答案】D【知识点】应用切线长定理求解【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可得AD=AE，【详解】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，∴AD=AE，∵CF=8,AB=10，∴AD+BD=10，∴△ABC的周长=AD+BD+AE+BF+CE+CF=10+10+8+8=36，故选：D．6．【答案】C【知识点】应用切线长定理求证、有关切线的概念辨析、切线的性质定理【分析】根据圆的切线相关的概念辨析即可．【详解】A、B、D说法均正确；C、垂直于切线的直径必定过切点，但是垂直于切线的直线不一定过切点，故错误；故选：C．【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，及切线长定理，熟记基本概念并准确判断是解题关键．7．【答案】A【知识点】求角的正弦值、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用【分析】作CF⊥AB延长线于F点，连接DE，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在Rt△DEC和Rt△BFC，最终得到【详解】解：如图所示，作CF⊥AB延长线于F点，连接DE，

∵AD⊥AB，AB∥∴∠FAD=∠ADC=∠F=90°，∴四边形ADCF为矩形，AF=DC，AD=FC，∴AB为⊙D的切线，由题意，BE为⊙D的切线，∴DE⊥BC，AB=BE，∵ABCD∴设AB=BE=a，CD=3a，CE=x，则BF=AF−AB=CD−AB=2a，BC=BE+CE=a+x，在Rt△DEC中，D在Rt△BFC中，F∵DE=DA=FC，∴9a解得：x=2a或x=−3a（不合题意，舍去），∴CE=2a，∴DE=C∴sinC=故选：A．8．【答案】A【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了切线长定理、勾股定理算，首先过点O作OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB，设BD=BF=x，AE=AF=y，利用切线长定理可得：y+2=5，从而解出y=3，利用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，可得三角形另外两边的长，再根据S阴影【详解】解：如下图所示，过点O作OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB，又∵∠C=90°，∴四边形ODCE是矩形，又∵OD=OE=OF=2，∴四边形ODCE是正方形，∴OD=DC=CE=OE=2，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴设BD=BF=x，AE=AF=y，则有BC=BD+CD=x+2，AB=BF+AF=x+y，AC=AE+CE=y+2，∵AC=5，∴y+2=5，解得：y=3，∴AB=x+3，在Rt△ABC中，A52解得：x=10，∴BC=x+2=12，AB=10+3=13，∴S△ABC=∴S故选：A．9．【答案】B【知识点】等边三角形的性质、判断直线和圆的位置关系、根据旋转的性质求解【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，延长CO交⊙O于点E，根据线段的和差关系求出CD=CE=4，根据等边三角形的性质，得到∠OCA=∠OCD+∠ACD=210°，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可，掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．【详解】解：如图，延长CO交⊙O于点E，∵OD=7，CD=4，∴OC=7−4=3，∵⊙O的半径为1，∴CE=3+1=4，∴CD=CE，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°又∵CD为等边三角形ABC的高，∴∠ACD=1∴∠OCA=∠OCD+∠ACD=180°+30°=210°，∴⊙O与BC边只有一个公共点的情况有2次，与AB边有1次，与AC边有1次，共4次，故选：B．10．【答案】C【知识点】矩形与折叠问题、切线的性质定理【分析】本题主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．过点A作AM⊥C′P于点M，则PC′=2PM，证明△APB≌△APM，求出【详解】解：∵四边形OABC是矩形，且B6,3∴OA=BC=6,AB=OC=3,∠B=∠BCO=90°，∵PF是⊙A的切线，∴PF⊥PA．连接AC′，如解图，则过点A作AM⊥C′P于点M∵∠APB=90°−∠CPF，∠APM=90°−∠C又∵∠CPF=∠C∴∠APB=∠APM．∴△APB≌△APM．∴PB=PM．∴PC又∵PC=PC∴PC=2PB．∴PB=2，CP=4，即点P的横坐标为4，故选C．11．【答案】1≤r≤5【知识点】含30度角的直角三角形、已知直线和圆的位置关系求半径的取值【分析】过M作MH⊥AC于H，根据直角三角形的性质得到HM=1【详解】解：过M作MH⊥AC于H，如图所示：∵CM=2，∠ACB=30°，∴HM=1∵AM=5，⊙M与线段AC有交点，∴r的取值范围是1≤r≤5，故答案为：1≤r≤5．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d>r．12．【答案】8【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、切线的性质定理【分析】本题考查正方形的性质，圆的切线的定义，勾股定理等．如图，先根据正方形的性质得出B，O，D在同一直线上，得到DG的长是点【详解】解：如图，设⊙O与正方形的边的切点为点E，F，连接∴OE⊥AB，由正方形的性质知∠ABC=90°，∠DBC=45°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠OBF=45°，∴B，设⊙O与BD的交点G，DG的长是点D到⊙O的最短距离，则OF=2（丈），OF⊥BC，∴BO=2OF=22∴DG=BD−BO−OG=102故答案为：8213．【答案】1+6,2【知识点】公式法解一元二次方程、切线的应用【分析】设Px,y，根据相切的定义由题意可得：点P到x轴的距离为2时相切，即y=2，代入解析式可求点【详解】解：设Px,y，y=∵⊙P与与x轴相切，∴y∴y=±2，①当y=2时，2=1解得：x1=1+6②当y=−2时，−2=1∴点P1+6,2故答案为：1+6,2或【点睛】本题考查了二次函数图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得出y=2，求出x14．【答案】3【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形、已知余弦求边长、圆与三角形的综合(圆的综合问题)【分析】如图，延长AO，交⊙O于F，连接BF，FE，由AF是直径，可得∠AEF＝90°，可证BC∥FE,可证CE＝BF＝2，由cos∠EAC＝31010=ABAF，设AF＝10x，AB＝310x，由勾股定理AF2＝AB2+BF2，可求x＝105，利用面积公式△OAB【详解】解：如图，延长AO，交⊙O于F，连接BF，FE,∵AF是直径，∴∠AEF＝90°，又∵AE⊥BC，∴BC∥FE，∴BF=∴∠EAC＝∠BAF，∴CE＝BF＝2，∵cos∠EAC＝310∴cos∠BAF＝310设AF＝10x，AB＝310x∵AF2＝AB2+BF2，∴100x2＝4+90x2，∴x＝105∴AB＝6，∴△OAB的面积＝12S△ABF＝12×12×AB故答案为3．【点睛】本题考查圆中平行弦的性质，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积，掌握圆中平行弦的性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键．15．【答案】OA⊥EF∠FAC=∠B∠BAC+∠FAC=【知识点】证明某直线是圆的切线【分析】添加条件是：①OA⊥EF或∠FAC=∠B或∠BAC+∠FAC=90°，根据切线的判定和圆周角定理推出即可．【详解】①OA⊥EF或∠FAC=∠B或∠BAC+∠FAC=90°，理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，∴EF是⊙O切线，②∵AB是⊙0直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，③∵∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，故答案为OA⊥EF，∠FAC=∠B，∠BAC+∠FAC=90°．【点睛】本题考查了切线的判定和圆周角定理的应用，主要考查学生的推理能力．16．【答案】(1)作图如下：(2)证明：连接OE，∵以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F，∴QE=QP，∵MN是OP的中垂线，∴OQ=QP，点O在圆Q上，∴OQ=EQ=PQ，∴∠EOQ=∠OEQ，∠PEQ=∠EPQ，∵∠EOP+∠OEQ+∠QEP+∠EPQ=180°，∴2∠OEQ+∠QEP∴∠OEQ+∠QEP=90°，即∠OEP=90°，OE垂直EP，∴PE是圆O的切线．【知识点】三角形内角和定理的证明、作垂线(尺规作图)、等边对等角、证明某直线是圆的切线【分析】本题考查了基本作图垂线，以及圆的切线的判定，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．（1）按要求作图即可；（2）根据MN是OP的中垂线，得到OQ=OP，点O在圆Q上，OQ=EQ=PQ，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得∠OEP=90°，即可证明．【详解】（1）略（2）略17．【答案】证明：如图，连接OD，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE.∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C.∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠OBD=∠C，∴AB=AC.【知识点】等腰三角形的性质和判定、切线的性质定理【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键，根据切线的性质得到OD⊥DE，从而推出OD∥AC，进而推出∠OBD=∠C，即可证得AB=AC．【详解】略18．【答案】0,−1，2,1或−2,1.【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离、其他问题(二次函数综合)【分析】本题主要考查了圆与直线的相切关系，及二次函数的概念；熟练掌握圆与坐标轴的位置关系是解本题的关键．⊙P与x轴相切，即圆心P到x轴的距离等于⊙P的半径，也就是圆心P的纵坐标y为±1，把y代入y=12x【详解】解：∵⊙P与x轴相切，设圆心P到x轴的距离为d，∴d=r=1，即点P的纵坐标y为±1；当y=1时，即12x2−1=1∴点P的坐标为2,1或−2,1；当y=−1时，即12x2∴点P的坐标为0,−1；综上，符合题意点P的坐标为0,−1，2,1或−2,1．1