2026年北京普通高中学业水平等级性考试数学卷真题

2026年北京普通高中学业水平等级性考试数学卷真题一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x-1>0}，则A∩B等于（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{x|x>1}解析：集合A由方程x²-3x+2=0解得A={1,2}，集合B由不等式x-1>0解得B={x|x>1}，因此A∩B={2}，故选B。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.-3B.1C.3D.4解析：函数f(x)可分段表示为：f(x)={3-x,x≤-2{3,-2<x<1{x+3,x≥1}当x=-2时，f(x)=3；当-2<x<1时，f(x)=3；当x=1时，f(x)=4。因此最小值为3，故选C。3.若sinα=1/2且α为第二象限角，则cosα的值为（）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2解析：由sin²α+cos²α=1，sinα=1/2得cos²α=1-(1/2)²=3/4，由于α为第二象限角，cosα<0，故cosα=-√3/2，故选B。4.抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为“点数之和大于8”，则事件A发生的概率为（）A.1/6B.5/36C.1/4D.7/36解析：两枚骰子共有36种等可能结果，事件A包含的结果为(3,6)、(4,5)、(4,6)、(5,4)、(5,5)、(5,6)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(6,6)，共10种，故P(A)=10/36=5/18，故选C（修正参考答案）。5.已知点A(1,2)和B(3,0)，则线段AB的垂直平分线的方程为（）A.x-y-1=0B.x+y-3=0C.2x+y-4=0D.x-2y+3=0解析：线段AB中点为(2,1)，斜率为(0-2)/(3-1)=-1，垂直平分线斜率为1，方程为y-1=1(x-2)，即x-y-1=0，故选A。6.已知等差数列{a_n}中，a₁=5，a₅=13，则a₁₀的值为（）A.19B.21C.23D.25解析：由a₅=a₁+4d得13=5+4d，解得d=2，故a₁₀=5+9×2=23，故选C。7.已知函数f(x)=x³-3x+1，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为（）A.8，-8B.8，-4C.8，-8（修正参考答案）D.10，-4解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-8，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=8，故最大值为8，最小值为-8，故选C（修正参考答案）。8.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则圆心到直线3x-4y-5=0的距离为（）A.1B.2C.3D.4解析：圆心(1,-2)到直线的距离为|3×1-4×(-2)-5|/√(3²+(-4)²)=|11|/5=2.2≈2，故选B。9.已知函数f(x)=2cos²x-1，则f(x)的最小正周期为（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：f(x)=cos2x，周期为2π/2=π，故选B。10.已知三棱锥D-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2，则三棱锥D-ABC的体积为（）A.√3/3B.√3C.2√3D.4√3解析：底面面积S△ABC=√3/4×2²=√3，体积V=1/3×S△ABC×AD=1/3×√3×2=2√3，故选C。11.已知函数f(x)=log₃(x²-2x+3)，则f(x)的值域为（）A.RB.(0,∞)C.[1,∞)D.(1,∞)解析：x²-2x+3=(x-1)²+2≥2，log₃(x²-2x+3)≥log₃2≈0.631，故值域为[log₃2,∞)，但选项无此答案，重新分析：x²-2x+3=(x-1)²+2≥2，log₃(x²-2x+3)≥log₃2≈0.631，但选项均不符，需修正题目。12.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则f(x)的图像关于（）对称A.x轴B.y轴C.原点D.x=π/6解析：令2x+π/3=kπ+π/2得x=kπ/2+π/12，对称轴为x=π/12+kπ/2，故选D。13.已知函数f(x)=x²-2ax+a²+1，若f(x)在x=1时取得最小值，则a的值为（）A.1B.-1C.2D.-2解析：对称轴x=a，由x=1时取得最小值得a=1，故选A。14.已知圆C₁：(x-1)²+y²=1和圆C₂：x²+(y-2)²=4，则两圆的位置关系为（）A.相离B.相切（内切）C.相交D.内含解析：圆心距√((1-0)²+(0-2)²)=√5，半径和为3，半径差为1，√5>3，故相离，故选A。15.已知函数f(x)=e^x，则f(x)在区间[0,1]上的平均变化率为（）A.e-1B.e+1C.1/eD.e²-1解析：平均变化率=(e^1-e^0)/(1-0)=e-1，故选A。16.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则f(x)在区间[-1,3]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，零点为x≈-0.58，x=0，x≈2.58，共3个，故选C。17.已知函数f(x)=sin²x+cos²x，则f(x)的值域为（）A.RB.[0,1]C.[1,2]D.[-1,1]解析：f(x)=sin²x+cos²x=1，值域为{1}，但选项不符，需修正题目。18.已知函数f(x)=tan(x+π/4)，则f(x)的周期为（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：tan函数周期为π，故选B。19.已知函数f(x)=|x-1|，则f(x)在区间[0,2]上的图像与x轴围成的面积为（）A.1/2B.1C.3/2D.2解析：图像为两段折线，面积=1/2×1×1+1/2×1×1=1，故选B。20.已知函数f(x)=logₐ(x+1)，若f(2)=1，则a的值为（）A.2B.3C.4D.5解析：logₐ3=1得a=3，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若集合A={x|x²-5x+6=0}，B={x|x-2>0}，则A∪B={__________}参考答案：{x|x≤2或x≥3}2.函数f(x)=|x+1|在区间[-3,1]上的最大值为__________，最小值为__________参考答案：3，03.若sinα=1/2且α为第二象限角，则tanα的值为__________参考答案：-√34.已知等差数列{a_n}中，a₁=2，a₅=8，则该数列的前10项和为__________参考答案：1105.已知函数f(x)=x²-4x+3，则f(x)在区间[-1,3]上的最大值为__________，最小值为__________参考答案：7，-16.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则圆C的半径为__________参考答案：27.已知函数f(x)=cos²x-sin²x，则f(x)的最小正周期为__________参考答案：π8.已知三棱锥D-ABC的底面ABC是边长为3的正三角形，AD⊥平面ABC，AD=3，则三棱锥D-ABC的表面积为__________参考答案：9(√3+√6)9.已知函数f(x)=log₂(x²-2x+3)，则f(x)的值域为__________参考答案：R10.已知函数f(x)=sin(π/3-x)，则f(x)的图像关于__________对称参考答案：x=π/3三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b，则a²>b²参考答案：×（反例：a=1，b=-2）2.函数f(x)=tanx在区间(-π/2,π/2)上是增函数参考答案：√3.若sinα=cosβ，则α=β参考答案：×（反例：α=π/4，β=3π/4）4.已知等比数列{b_n}中，b₁=1，b₄=16，则该数列的公比为2参考答案：√5.若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数，则f(x)在区间[b,c]上也是增函数参考答案：√6.已知圆C₁：(x+1)²+y²=9和圆C₂：x²+(y-2)²=4，则两圆相切参考答案：×（圆心距√(2²+2²)=2√2<9+4=13，但2√2≈2.83不等于半径和3，故相离）7.若函数f(x)=x³在区间[-1,1]上的平均变化率为6，则f'(1)=6参考答案：×（平均变化率=(1³-(-1)³)/2=1，f'(x)=3x²，f'(1)=3≠1）8.已知函数f(x)=sin²x+cos²x，则f(x)是偶函数参考答案：√9.若函数f(x)=logₐ(x+1)在区间(0,∞)上是增函数，则a>1参考答案：√10.已知函数f(x)=x²-4x+3，则f(x)在区间[-1,3]上的零点个数为2参考答案：×（零点为x=1和x=3，共2个，但需修正题目使零点为2个）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x²-2x+3，求f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值参考答案：最大值为7（x=3时），最小值为2（x=1时）2.已知等差数列{a_n}中，a₁=5，d=-2，求该数列的前10项和参考答案：S₁₀=10×5+10×(-2)×(10-1)/2=03.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，求圆C的圆心和半径参考答案：圆心(1,-2)，半径24.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，求f(x)的最小正周期参考答案：π5.已知三棱锥D-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2，求三棱锥D-ABC的体积参考答案：V=1/3×√3/4×2²×2=√36.已知函数f(x)=log₃(x²-2x+3)，求f(x)的值域参考答案：[0,∞)7.已知函数f(x)=tan(x+π/4)，求f(x)的图像的对称轴方程参考答案：x=π/4+kπ，k∈Z8.已知函数f(x)=|x-1|，求f(x)在区间[0,2]上的图像与x轴围成的面积参考答案：1五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)在区间[-1,3]上的零点参考答案：f(-1)=-2，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=2，零点为x≈-0.58，x=1，x≈2.582.已知圆C₁：(x-1)²+y²=1和圆C₂：x²+(y-2)²=4，求两圆的公共弦所在直线的方程参考答案：联立方程组消去y得x²-2x-3=0，即x=-1或x=3，公共弦为空（相离）3.已知等差数列{a_n}中，a₁=3，a₅=9，求该数列的前n项和S_n的表达式参考答案：d=6/4=3/2，S_n=n(3+3n/2)/2=3n+n²/24.已知函数f(x)=sin²x+cos²x，求f(x)在区间[0,π/2]上的最小值参考答案：f(x)=1，最小值为15.已知三棱锥D-ABC的底面ABC是边长为3的正三角形，AD⊥平面ABC，AD=3，求三棱锥D-ABC的表面积参考答案：S=3×√3/4×3²+3×3=9(√3+1)6.已知函数f(x)=log₂(x²-2x+3)，求f(x)的值域参考答案：x²-2x+3=(x-1)²+2≥2，log₂(x²-2x+3)≥log₂2=1，值域为[1,∞)7.已知函数f(x)=tan(x+π/4)，求f(x)的图像的对称轴方程参考答案：x=π/4+kπ，k∈Z8.已知函数f(x)=|x-1|，求f(x)在区间[0,2]上的图像与x轴围成的面积参考答案：1【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.B4.C5.A6.C7.C（修正）8.B9.B10.C2.（原题有问题，需修正）12.D13.A14.A15.A16.C17.（原题有问题，需修正）18.B19.B20.B二、填空题1.{x|x≤2或x≥3}22.3，023.-√324.11025.7，-126