2026年天津竞赛试题及答案

2026年天津竞赛试题及答案一、填空题（每小题6分，共60分）已知集合A={x∈R∣|已知复数z满足|z−2−3现有6名志愿者分配到天津科技馆、天津自然博物馆、天津博物馆三个场馆开展志愿讲解服务，要求每个场馆至少分配1人，且志愿者甲不能分配到天津科技馆，不同的分配方案共有______种。在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a已知一个直三棱柱的底面是斜边长为4的等腰直角三角形，若该直三棱柱的所有顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为24π已知数列{an}满足a1=1，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A,B两点，点已知函数f(x)=x3−从1到20这20个正整数中随机抽取3个不同的数，这3个数恰好构成等差数列的概率为______。已知正整数满足，且存在整数，使得，那么满足条件的所有正整数的个数为______。二、解答题（共4小题，共60分）11.（12分）在中，角的对边分别为，已知，且成等差数列，面积为，求边的长度。12.（14分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形，且平面平面，点为中点。（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值。13.（16分）已知椭圆（）的离心率为，且过点，点分别为椭圆的左、右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点。（1）求椭圆的标准方程；（2）若以为直径的圆与轴交于两点，求的取值范围。14.（18分）已知函数。（1）求函数的单调区间和最大值；（2）求证：对任意正整数，有；（3）设数列满足，，求证：对所有正整数成立。—参考答案一、填空题答案：解析：首先求解集合，不等式的定义域为即，绝对值内因式分解得。分三类讨论：①当时，不等式化为，即，解得，结合区间得；②当时，不等式化为，即，解得或，结合区间得；③当时，不等式化为，即，解得，结合区间得。合并得。由得，由于恒成立，故非空。左边区间为负区间，，故只能包含于右边区间，即，解得。答案：解析：复数对应复平面上的点，则表示点到、的距离之和为。计算，故的轨迹为以为焦点的椭圆，，，，，椭圆中心为中点。原点到椭圆中心的距离为，椭圆长半轴为，原点在椭圆内部，故最小值为。答案：360解析：不考虑甲的限制时，6人分配到3个场馆每馆至少1人的方案数为容斥原理计算：种。甲固定分配到天津科技馆时，剩余5人需满足三个场馆至少各1人（科技馆已有甲），方案数为种。故符合条件的方案数为。4.答案：解析：化简，由二倍角公式得，即，。由于，故，。由余弦定理，由基本不等式，当且仅当时取等号，故，。又三角形两边之和大于第三边，故，即，周长为。5.答案：解析：设球半径为，由表面积得。底面等腰直角三角形斜边长为4，其外接圆半径。直三棱柱外接球的球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，设直三棱柱的高为，则，代入得，解得。底面三角形面积，故体积。6.答案：解析：分式递推用不动点法，令，解得不动点和。构造数列，则，故是公比为的等比数列，，故，解得。前10项和。7.答案：解析：抛物线焦点，设直线，联立抛物线方程得，设，则，弦长。点到直线的距离。面积，化简得，解得。8.答案：解析：求导得，，故在递增，递减，递增。极大值，极小值。恰好有2个零点，故极小值，即，解得（）。9.答案：解析：总取法为。等差数列按公差分类：公差时，共18组；时，共16组；…时，共2组，总共有组。故概率为。10.答案：1073解析：，即，左边为模17的平方剩余，模17的平方剩余共9个，故每17个连续正整数中满足条件的有9个。，前2023个数有个符合条件，剩余对应模17余1,2,3，其中2,3为符合条件的余数，故加2，总共有个。二、解答题11.解答：由已知，又，故，代入得，展开得，即。成等差数列，故，面积，由正弦定理，得，代入得。又（由填空题第4题同理解得），故，，代入，化简得，即，解得，故为等边三角形，面积，解得。12.解答：（1）取中点，连接，为中点，故且。底面为菱形，且，故且，四边形为平行四边形，故，又平面，平面，故平面。（2）取中点，连接，为等边三角形，故，平面平面，交线为，故平面。，，故为等边三角形，。以为原点，为轴，为轴，为轴建系：。向量，，，设平面的法向量为，则，解得，取。直线与平面所成角的正弦值为。13.解答：（1）离心率，故，，椭圆方程为，代入点得，解得，故椭圆标准方程为。（2），设，，。直线的方程为，交得；直线的方程为，交得。以为直径的圆的圆心为，半径。圆与轴相交的弦长，为圆心纵坐标的绝对值，代入化简得。由于，故。14.解答：（1）定义域为，，当时，递增；当时，递减，最大值为。（2）由（1）知，当时，构造，，