专题02 线段的垂直平分线重难点题型专训（3个知识点+9大题型+自我检测）2026秋人教版8上数学

专题02线段的垂直平分线重难点题型专训（3个知识点+9大题型+自我检测）目录第一部分・练基础题型题型一、线段垂直平分线的性质 1题型二、线段垂直平分线的判定 2题型三、写出命题的逆命题 3题型四、判断是否为互逆命题 4题型五、互逆定理 5题型六、作已知线段的垂直平分线 6题型七、作垂线(尺规作图) 7题型八、画对称轴 8题型九、求对称轴条数 9第二部分·练提高题型题型一、据垂直平分线的性质求长度、周长、角度问题 1题型二、利用垂直平分线的性质求最值 2题型三、垂直平分线常见辅助线添加问题 3第三部分・自我检测知识点01逆命题在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题。【即时训练】1．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列命题中错误的是（）A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理2．（25-26八年级上·北京昌平·阶段检测）写出一个初中数学中的真命题，满足其逆命题也是真命题________．知识点02作轴对称图形1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形.2.具体步骤：①找图形的关键点。②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的对应点。③按照原图形连接各对应点。【即时训练】1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（）A． B． C． D．2．（25-26七年级下·四川眉山·期末）下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有________个．知识点03垂直平分线的性质与判定1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。PABlPABlC证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS），∴PA=PB．2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。证明：（1）当点P在线段AB上时，∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PC⊥AB，且AC=BC.∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.3.线段垂直平分线的作法①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线，②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；③尺规法：分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E、F；过点E、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。4.总结【即时训练】1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，三个社区分别坐落在，，所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（）A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条高线的交点处C．的三条角平分线的交点处 D．的三条中线的交点处2．（24-25八年级上·内蒙古兴安·期末）如图，，，直线为线段_____的垂直平分线．【基础题型一线段垂直平分线的性质】【例1】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）某幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（

）A．三条边的垂直平分线的交点处B．三个角的平分线的交点处C．三角形三条高线的交点处D．三角形三条中线的交点处【例2】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、D，，，那么的周长_______．1．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（

）A．17 B．18 C．16 D．122．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，与关于直线对称，连接交直线于点，连接交直线于点，若，，则四边形的周长为___________．3．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E．(1)求证：；(2)若，求的长．【基础题型二线段垂直平分线的判定】【例1】（2026·四川攀枝花·模拟预测）如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（

）A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等【例2】（24-25八年级上·吉林·期中）如图，是的边上的中线，由下列条件中的某一个就能推出是等腰三角形的是_____（把所有正确的序号都填在横线上），①；②；③．1．（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（

）A．8 B．10 C．12 D．142．（25-26八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______．3．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点．(1)求证：点P在线段的垂直平分线上．(2)若的周长为，的周长为，求的长．【基础题型三写出命题的逆命题】【例1】（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列说法中，正确的是（

）A．所有的命题都有逆命题B．所有的定理都有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题【例2】（25-26八年级上·甘肃甘南·阶段检测）命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题是______命题.（填“真”或“假”）1．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“如果，那么或”的逆定理是(

)A．如果或，那么B．如果，那么且C．时，可能等于或D．或时，2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）命题“若，则”的逆命题是_________________________．3．（25-26八年级下·河北石家庄·阶段检测）写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．(1)同位角相等；(2)全等三角形的对应角相等．【基础题型四判断是否为互逆命题】【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（）A．同旁内角不互补，两直线平行B．同旁内角不互补，两直线不平行C．两直线平行，同旁内角互补D．两直线不平行，同旁内角不互补【例2】（25-26八年级上·全国·课前预习）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的________．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的________．1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（）A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|2．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题．3．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段练习）回答以下问题(1)如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格：∵（已知），∴（）．∵（已知），∴（），∴（）．(2)说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题．【基础题型五互逆定理】【例1】（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）下列说法错误的是（

）A．一个真命题的逆命题可能是真命题B．一个定理不一定有逆定理C．任何一个定理都有逆定理D．若，则的逆命题是若，则【例2】（25-26八年级下·河南开封·期中）写出一对互逆定理：__________．1．（25-26八年级上·辽宁·期中）下列说法错误的是（

）A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理C．真命题的逆命题不一定是真命题 D．互逆定理中的两个命题都是真命题2．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是_________三角形．3．（26-27八年级上·全国·随堂练习）下列说法对吗？请说明理由．(1)每个定理都有逆定理．(2)每个命题都有逆命题．(3)假命题没有逆命题．(4)真命题的逆命题是真命题．【基础题型六作已知线段的垂直平分线】【例1】（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别与边、相交于点，连接．若点为的中点，，则的长为（

）．A．3 B．4 C．5 D．7【例2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若将方格纸折叠，使得点与点重合，则与点重合的是点______．1．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，尺规作出的直线与线段交于，的周长为13，则的周长为（

）A．16 B．19 C．25 D．322．（25-26七年级下·四川成都·期末）已知线段，利用尺规，按照以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线，则直线就是线段的_____．3．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图①，两条交叉马路，中间区域建有，两个温室花房．现要在两条马路，之间的空场处建鲜花交易中心，使得交易中心到两条马路，的距离相等，且到两个温室花房，的距离也相等，如何确定交易中心的位置？如图②，利用尺规作图求作点（不写作法，保留作图痕迹）．【基础题型七作垂线（尺规作图）】【例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）尺规作图，作出三角形边上的高，下列作图痕迹正确的是（

）A． B．C． D．【例2】（2025·湖南岳阳·二模）如图，中，分别以点、点为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，连接，若，的周长为，则的周长为_____．1．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，连接交于点，连接．若，，则的长为（

）A．10 B．12 C．8 D．92．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，点D是的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线交于点E，连接，若，的周长为11，则的周长为__________．3．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，在中，E是的中点．(1)尺规作图：作，交于点D，连接；(2)在（1）的情况下，若，的周长为13，求的周长．【基础题型八画对称轴】【例1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）下面图形中只能画一条对称轴的是（）A． B． C．【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的图形都可以看成是轴对称图形，其中只有1条对称轴的是______；只有2条对称轴的是______；只有4条对称轴的是______．（填序号）1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）下图是一个轴对称图形，对称轴是直线（

）A．a B．b C．c D．d2．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）某车标是一个轴对称图形，有______条对称轴3．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）请你利用无刻度直尺画出下列图形的对称轴(1)如图1，在四边形中，，；(2)如图2，三个等边三角形如图所示放置，且点、、在一条直线上．【基础题型九求对称轴条数】【例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线都是轴对称图形，其中有两条对称轴的是（

）A． B．C． D．【例2】（2026·陕西西安·二模）如图，正五边形的对称轴条数为______条．1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）圆的对称轴有（

）条．A．1 B．2 C．3 D．无数条2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，将一张彩色正方形纸沿对角线对折，再沿等腰三角形底边上的高对折．用剪刀在折好的纸上剪一个漂亮的图案，并将纸打开，该图案有___________条对称轴．3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：

正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴，正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴，正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴；（2）一个正n边形有______条对称轴；（3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；

在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）

【提高题型一据垂直平分线的性质求长度、周长、角度问题】【例1】（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在中，点是边上的点，垂直平分，若与的周长之差为，则的长为（

）A． B． C． D．【例2】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，为上一点，垂直平分，交于点，连接、，，若，，则的周长为__________．1．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，求的长．2．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接．(1)若，，求的度数；(2)若的周长为，的周长为，求的长．3．（25-26八年级下·全国·阶段练习）如图，在等腰中，，垂直平分．(1)若的周长为35，求的长度；(2)若，求的周长．【提高题型二利用垂直平分线的性质求最值】【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【例2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则______，的最大值为______．1．（25-26八年级上·广西河池·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分．(1)求的度数；(2)求证：；(3)若，点P是直线上的动点，求的最大值．2．（25-26八年级上·江西宜春·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，若，(1)求的长；(2)若点P是直线上的动点，直接写出的最小值为_________．3．（24-25八年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，点在边上；连接，，点在边上，连接并延长到，满足，连接，的角平分线交于，交于．(1)如图1，若，且，求线段的长；(2)如图2，连接，当时，探究与的数量关系并证明；(3)如图3，在中，，，在线段上，连接，交于，．是直线的一动点，连接，以为直角顶点，直角边作等腰，若，请直接写出的最小值．【提高题型三垂直平分线常见辅助线添加问题】【例1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，请在图①中作出的内角平分线，在图②中作出的边上的中线，在图③中作出的边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，辅助线用虚线，求作线段用实线）【例2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程．(1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证：已知：．求证：；(2)补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）．证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹）1．（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图是课上老师呈现的一个问题：已知：如图，于点交于点，当时，求的度数．

下面提供三种思路：思路一：过点作（如图甲）；思路二：过点作，交于点；思路三：过点作，交于点．

解答下列问题：(1)根据思路一（图甲），可求得的度数为________；(2)根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线；(3)请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求度数的解答过程．2．（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，已知是矩形中的对角线．(1)用尺规作出的垂直平分线，交于，交于，在图中标出相应的字母，请用实线保留必要的作图痕迹；(2)若，，求．（解题时若添加的辅助线，请用虚线）3．（24-25八年级上·河南濮阳·期末）综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题：【课本回顾】学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边．【问题探究】（1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？同学们猜测：大边对大角．如图1，中，，求证：．

经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决．由此，以下三位同学给出了自己的解决方法：李欣张晶王皓思路与辅助线分析：作的平分线，交于D，在上截取，连接．分析：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接．分析：作于D，在上截取，连接．图形

请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明．证明：【知识应用】（2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是（

）A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．不能确定（3）在中，已知：，用“”连接、、应为；【问题拓展】（4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”作定理．①写出这个定理的逆定理：；②证明这个逆定理（要求：画出图形，依照图形写出完整证明过程）．1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列图形中，对称轴最多的图形是（

）A． B． C． D．2．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）线段的垂直平分线上有一点，若，则的长为（

）A．4 B．2 C．5 D．33．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列说法：①三角形的三条高都在三角形内部，且都相交于一点；②三角形的中线就是过顶点平分对边的直线；③若原命题成立，则其逆命题也一定成立；④三角形的一个外角大于和它不相邻的任一内角；⑤一个三角形的两边长为8和，那么它第三边的取值范围是．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，已知点D在上，，则点D在（

）A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上C．的中点处 D．的平分线上5．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点和点，作直线交于点，交于点．若，，的周长是，则的周长为（

）A． B． C． D．6．（25-26八年级下·全国·课前预习）题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______．7．（25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）请你根据图形对称轴的条数按照从多到少的顺序，在括号里填上适当的图形名称．圆、_______、_____、长方形．8．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点M、N，作直线分别交、于点D、E，连接．若，则的度数为______°．9．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________．10．（2026·四川成都·二模）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交和于点，；再分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点：②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交延长线于点．根据以上作图，若，，则________度．11．（26-27八年级上·全国·课后作业）在你所学过的知识内容中，有没有原命题与它的逆命题都正确的例子？试举出几对．12．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，请用尺规作图法作的垂直平分线交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置．(1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？(2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？14．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知，请用直尺和圆规完成下面的作图，不写作法，保留作图痕迹．(1)如图1，请在的边上找一个点P，使得点P到点A和点C的距离相等．(2)如图2，已知中，，请在边上找一点Q，使Q到边的距离等于的长度．15．（2025·广东惠州·一模）春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示．【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形．【任务1】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形；【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明．专题02线段的垂直平分线重难点题型专训（3个知识点+9大题型+自我检测）目录第一部分・练基础题型题型一、线段垂直平分线的性质 1题型二、线段垂直平分线的判定 2题型三、写出命题的逆命题 3题型四、判断是否为互逆命题 4题型五、互逆定理 5题型六、作已知线段的垂直平分线 6题型七、作垂线(尺规作图) 7题型八、画对称轴 8题型九、求对称轴条数 9第二部分·练提高题型题型一、据垂直平分线的性质求长度、周长、角度问题 1题型二、利用垂直平分线的性质求最值 2题型三、垂直平分线常见辅助线添加问题 3第三部分・自我检测知识点01逆命题在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题。【即时训练】1．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列命题中错误的是（）A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理【答案】D【分析】根据命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，逐一判断各选项正误即可得到答案．【详解】将原命题的题设与结论互换即可得到逆命题，因此任何命题都有逆命题，A选项说法正确；真命题的逆命题真假性不确定，可能为真也可能为假，例如“同位角相等，两直线平行”的原命题和逆命题都是真命题，B选项说法正确；只有定理的逆命题本身也是真命题时，原定理才有逆定理，否则没有，因此一个定理不一定有逆定理，C选项说法正确；不是所有定理的逆命题都是真命题，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，因此这个定理没有逆定理，所以“任何一个定理都有逆定理”的说法错误，D选项说法错误．2．（25-26八年级上·北京昌平·阶段检测）写出一个初中数学中的真命题，满足其逆命题也是真命题________．【答案】两直线平行，同位角相等【分析】本题考查了逆命题与真命题的知识，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做另一个命题的逆命题．根据学过的真命题解答即可．【详解】解：两直线平行，同位角相等是真命题，它的逆命题为：同位角相等，两直线平行也是真命题．故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）．知识点02作轴对称图形1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形.2.具体步骤：①找图形的关键点。②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的对应点。③按照原图形连接各对应点。【即时训练】1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，能使图形完全重合的直线叫做该图形的对称轴，据此即可解题．【详解】解：由图知，该图形的对称轴是直线．故选：A．2．（25-26七年级下·四川眉山·期末）下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有________个．【答案】4【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案．【详解】解：如图所示：直线即为各图形的对称轴．故轴对称图形有4个．故答案为：4．知识点03垂直平分线的性质与判定1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。PABlPABlC证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS），∴PA=PB．2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。证明：（1）当点P在线段AB上时，∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PC⊥AB，且AC=BC.∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.3.线段垂直平分线的作法①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线，②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；③尺规法：分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E、F；过点E、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。4.总结【即时训练】1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，三个社区分别坐落在，，所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（）A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条高线的交点处C．的三条角平分线的交点处 D．的三条中线的交点处【答案】A【分析】根据题意可得饮水点到的三个顶点的距离相等，则饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处．【详解】解：∵要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，即饮水点到的三个顶点的距离相等，∴该饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处．2．（24-25八年级上·内蒙古兴安·期末）如图，，，直线为线段_____的垂直平分线．【答案】/【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得垂直平分，然后问题可求解．【详解】解：∵，，∴直线垂直平分，即直线为线段的垂直平分线；故答案为．【基础题型一线段垂直平分线的性质】【例1】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）某幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（

）A．三条边的垂直平分线的交点处B．三个角的平分线的交点处C．三角形三条高线的交点处D．三角形三条中线的交点处【答案】A【分析】根据到三角形三个顶点距离相等这个条件，匹配三角形各线交点的性质判断选项．【详解】解：∵充电桩到三个出口、、的距离都相等，∴该点到三个顶点的距离相等，∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，∴该点是三条边的垂直平分线的交点．【例2】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、D，，，那么的周长_______．【答案】18【分析】根据线段垂直平分线的性质得到即可解答．【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于点E、D，，∴，∵，∴的周长．1．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（

）A．17 B．18 C．16 D．12【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：是的垂直平分线，，，的周长为20，，，，的周长．2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，与关于直线对称，连接交直线于点，连接交直线于点，若，，则四边形的周长为___________．【答案】23【分析】根据轴对称的性质即可解决问题．【详解】解：∵与关于直线对称，，，∴,,,∴四边形的周长为：．3．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)证明：如图，连接，∵垂直平分，∴，∵是的平分线，，，∴，，在与中，，∴，∴；(2)【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质得，由角平分线的性质得，证明即可；（2）证明，得，由（1）的结论即可求解．【详解】（1）证明：略；（2）解：∵是的平分线，，，∴，，在与中，，∴，∴；∵，∴，，上两式相加得，∴．【基础题型二线段垂直平分线的判定】【例1】（2026·四川攀枝花·模拟预测）如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（

）A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等【答案】B【分析】连接，交于点，利用线段垂直平分线的判定定理即可得出结论.【详解】解：连接，交于点，∵，∴，∴正确，错误.【例2】（24-25八年级上·吉林·期中）如图，是的边上的中线，由下列条件中的某一个就能推出是等腰三角形的是_____（把所有正确的序号都填在横线上），①；②；③．【答案】①②【分析】选①由垂直平分线的判定与性质即可判定是等腰三角形；选②由线段和差即可判定是等腰三角形；选③无法判断即可得到答案．【详解】解：选①，，，即，是的边上的中线，是线段的垂直平分线，则，是等腰三角形；选②，是的边上的中线，，，，是等腰三角形；选③，无法判断是等腰三角形；故答案为：①②．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，涉及垂直平分线的判定与性质、线段和差及线段中线性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定是解决问题的关键．1．（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握是解题的关键．先证明垂直平分，得，再根据垂直平分，得，根据，即得．【详解】解：∵，且点为线段的中点，∴垂直平分，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴．故选：B．2．（25-26八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______．【答案】16【分析】根据垂直平分线的性质，得到，求出，推导出是的垂直平分线，，得到，进而求出的周长即可．【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，∴，∵垂直于点，且为的中点，∴是的垂直平分线，，∴，∴的周长是．3．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点．(1)求证：点P在线段的垂直平分线上．(2)若的周长为，的周长为，求的长．【答案】(1)证明：连接，，，垂直平分，垂直平分，，，，点在线段的垂直平分线上；(2)【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明；（2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答．【详解】（1）略（2）解：垂直平分，垂直平分，，，的周长为，，即，，的周长为，，，垂直平分，垂直平分，，，．【基础题型三写出命题的逆命题】【例1】（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列说法中，正确的是（

）A．所有的命题都有逆命题B．所有的定理都有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题【答案】A【分析】本题考查命题与逆命题的基本概念．命题由条件和结论组成，交换条件和结论即可得到逆命题，因此所有命题都有逆命题．但定理的逆命题不一定成立，真命题的逆命题不一定为真，假命题的逆命题不一定为假．【详解】解：A、任何命题都可以通过交换条件和结论得到逆命题，即所有的命题都有逆命题，选项正确；B、定理的逆命题不一定为真，如“全等三角形对应角相等”的逆命题不成立，即不是所有定理都有逆定理，选项错误；C、真命题的逆命题可能为假，如“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假，选项错误；D、假命题的逆命题可能为真，如“若两个角相等，则它们是对顶角”的逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真，选项错误；故选：A．【例2】（25-26八年级上·甘肃甘南·阶段检测）命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题是______命题.（填“真”或“假”）【答案】真【分析】本题考查了命题和定理，根据逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的，再根据三角形内角和定理判断其真假；【详解】解：∵原命题“等边三角形三个内角都相等”∴题设是“等边三角形”，结论是“三个内角都相等”，∴逆命题是“三个内角都相等的三角形是等边三角形”，∵三角形内角和为，∴每个角为，∴三角形三边相等，∴三角形是等边三角形，故答案为：真．1．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“如果，那么或”的逆定理是(

)A．如果或，那么B．如果，那么且C．时，可能等于或D．或时，【答案】A【分析】本题考查了写出原定理的逆定理．逆定理是将原命题的条件和结论互换所得命题．原定理条件为，结论为或，故逆定理应为“如果或，那么”．【详解】解：∵逆定理是原命题的条件与结论互换，原命题：若，则或，∴逆定理：若或，则，故选：A．2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）命题“若，则”的逆命题是_________________________．【答案】若，则【分析】此题考查了逆命题的定义，根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可得到逆命题．【详解】命题“若，则”的逆命题是“若，则”．故答案为：若，则．3．（25-26八年级下·河北石家庄·阶段检测）写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．(1)同位角相等；(2)全等三角形的对应角相等．【答案】(1)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同位角；由于原命题及逆命题均为假命题，因此原命题和逆命题不是互逆定理；(2)逆命题是：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形．由于逆命题为假命题．因此原命题和逆命题不是互逆定理；【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．（1）交换命题的题设与结论即可得到逆命题，然后判断原命题与逆命题不是互逆定理；（2）交换命题的题设与结论即可得到逆命题，然后判断原命题与逆命题不是互逆定理．【详解】（1）略（2）略【基础题型四判断是否为互逆命题】【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（）A．同旁内角不互补，两直线平行B．同旁内角不互补，两直线不平行C．两直线平行，同旁内角互补D．两直线不平行，同旁内角不互补【答案】C【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可．【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”，故选C．【例2】（25-26八年级上·全国·课前预习）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的________．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的________．【答案】结论条件逆命题逆定理【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可．【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理．故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理．【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（）A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|【答案】C【分析】交换题设和结论，即可得到答案．【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|，故选：C．【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论．2．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题．【答案】互逆【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题．【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题，故答案为：互逆【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键．3．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段练习）回答以下问题(1)如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格：∵（已知），∴（）．∵（已知），∴（），∴（）．(2)说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题．【答案】(1)1；两直线平行，内错角相等；1；等量代换；；；内错角相等，两直线平行(2)两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行【分析】（1）根据平行线的性质，得出，证明，根据平行线的判定，得出答案即可；（2）根据互逆命题的定义，进行判断即可．【详解】（1）解：∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等），∵（已知），∴（等量代换），∴（内错角相等，两直线平行）．（2）解：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”是互逆的真命题．【基础题型五互逆定理】【例1】（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）下列说法错误的是（

）A．一个真命题的逆命题可能是真命题B．一个定理不一定有逆定理C．任何一个定理都有逆定理D．若，则的逆命题是若，则【答案】C【详解】解：∵选项A中，真命题的逆命题可能为真，例如“两直线平行，同位角相等”的逆命题也为真，∴A说法正确．∵“对顶角相等”是定理，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该定理没有逆定理，∴一个定理不一定有逆定理，B说法正确．∵举例“对顶角相等”是定理，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该定理没有逆定理，因此不是任何定理都有逆定理，∴C说法错误．∵原命题“若，则”交换条件和结论得到逆命题“若，则”，与D描述一致，∴D说法正确．【例2】（25-26八年级下·河南开封·期中）写出一对互逆定理：__________．【答案】两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行(答案不唯一)【分析】本题考查了互逆定理的概念：如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．根据互逆定理的定义，找出原命题和逆命题都为真命题的一对定理即可．【详解】解：举例：原定理为“两直线平行，同位角相等”，其逆命题为“同位角相等，两直线平行”，该逆命题已被证明为真命题，因此二者是一对互逆定理．1．（25-26八年级上·辽宁·期中）下列说法错误的是（

）A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理C．真命题的逆命题不一定是真命题 D．互逆定理中的两个命题都是真命题【答案】B【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识．根据命题和定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意；B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意；C、真命题的逆命题不一定是真命题，正确，故本选项不符合题意；D、互逆定理中的两个命题都是真命题，正确，本选项不符合题意；故选：B．2．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是_________三角形．【答案】直角【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线，互逆定理，等腰三角形的性质等知识点．原定理的逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．这可以通过等腰三角形的性质和三角形内角和定理推导得出．【详解】解：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，理由如下：如图，由题意得，∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形，故答案为：直角．故答案为：直角．3．（26-27八年级上·全国·随堂练习）下列说法对吗？请说明理由．(1)每个定理都有逆定理．(2)每个命题都有逆命题．(3)假命题没有逆命题．(4)真命题的逆命题是真命题．【答案】(1)说法错误，理由如下：每个定理不一定有逆定理，若一个定理有逆定理，那么它的逆命题是真命题；(2)说法正确，理由如下：每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题；(3)说法错误，理由如下：每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题；(4)说法错误，理由如下：每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题，原命题为真命题，但是逆命题不一定是真命题，例如：原命题为“对顶角相等”是真命题，逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．【分析】利用逆定理、逆命题的定义进行求解即可．【详解】（1）解：略．（2）解：略．（3）解：略．（4）解：略．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题、逆命题、互逆命题的定义，难度不大．【基础题型六作已知线段的垂直平分线】【例1】（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别与边、相交于点，连接．若点为的中点，，则的长为（

）．A．3 B．4 C．5 D．7【答案】B【分析】由作图步骤可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线性质得又为中点，结合长度求出，即可得到的长．【详解】解：由尺规作图的方法可得，直线是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，．点为的中点，，，．【例2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若将方格纸折叠，使得点与点重合，则与点重合的是点______．【答案】【分析】在方格纸中作的垂直平分线，然后问题可求解．【详解】解：如图，由图可知：与点重合的是点．1．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，尺规作出的直线与线段交于，的周长为13，则的周长为（

）A．16 B．19 C．25 D．32【答案】B【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，结合已知条件即可得到的周长．【详解】解：由作图知：是的垂直平分线，，的周长为13，，，的周长为，故选：B．2．（25-26七年级下·四川成都·期末）已知线段，利用尺规，按照以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线，则直线就是线段的_____．【答案】垂直平分线【分析】此题考查了垂直平分线的作图，根据垂直平分线的作图进行解答即可．【详解】解：由垂直平分线的作图可知，直线就是线段的垂直平分线，故答案为：垂直平分线3．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图①，两条交叉马路，中间区域建有，两个温室花房．现要在两条马路，之间的空场处建鲜花交易中心，使得交易中心到两条马路，的距离相等，且到两个温室花房，的距离也相等，如何确定交易中心的位置？如图②，利用尺规作图求作点（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】作的平分线和线段的垂直平分线，则交点即为所求点．【分析】根据角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，分别作的平分线和线段的垂直平分线，则交点即为所求点．【详解】略【基础题型七作垂线（尺规作图）】【例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）尺规作图，作出三角形边上的高，下列作图痕迹正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据作垂线的方法进行判断即可．【详解】解：A选项，为角平分线，不符合要求；B选项，为边上的垂直平分线，不符合要求；C选项，为边上的高，符合要求；D选项，不是边上的高，不符合要求．【例2】（2025·湖南岳阳·二模）如图，中，分别以点、点为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，连接，若，的周长为，则的周长为_____．【答案】【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图及性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可知，垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据的周长公式即可解答．【详解】解：由作图可知，垂直平分线段，，，的周长为，，，的周长为，故答案为：．1．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，连接交于点，连接．若，，则的长为（

）A．10 B．12 C．8 D．9【答案】A【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，根据线段的和差关系求出的长即可．【详解】解：由作图可知：垂直平分，∴，∴；故选A．2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，点D是的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线交于点E，连接，若，的周长为11，则的周长为__________．【答案】17【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图及其性质，先根据作图过程得到垂直平分，然后根据线段垂直平分线得到，，再根据三角形的周长公式求得，进而可求解．【详解】解：根据作图过程得垂直平分，∴，，∵的周长为11，∴，∴的周长为，故答案为：17．3．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，在中，E是的中点．(1)尺规作图：作，交于点D，连接；(2)在（1）的情况下，若，的周长为13，求的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据垂线段的作法作图即可；（2）根据题意得出是线段的垂直平分线，确定，再由三角形的周长进行等量代换求解即可．【详解】（1）略（2）解：E是的中点，，是线段的垂直平分线，．，．的周长为13，．的周长为．【基础题型八画对称轴】【例1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）下面图形中只能画一条对称轴的是（）A． B． C．【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形，此题的解题关键是掌握画对称轴的方法与技巧．根据画对称轴的步骤：找出轴对称图形的任意一组对称点；连接对称点；画出对称点所连线段的中点，再沿着中点画一条垂线，就可以得到该图形的对称轴．据此画出3个选项里图形的对称轴，找出只能画一条对称轴的图形．【详解】A．能画4条对称轴；B．不能画出对称轴；C．只能画一条对称轴．故答案为：C【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的图形都可以看成是轴对称图形，其中只有1条对称轴的是______；只有2条对称轴的是______；只有4条对称轴的是______．（填序号）【答案】①②⑩③④⑤⑥⑧⑨⑦【分析】本题主要考查了轴对称图形对称轴的判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形．【详解】解：因为图①有1条对称轴，图②有1条对称轴，图③有2条对称轴，图④有2条对称轴，图⑤有2条对称轴，图⑥有2条对称轴，图⑦有4条对称轴，图⑧有2条对称轴，图⑨2条对称轴，图⑩有1条对称轴．所以只有1条对称轴的是①②⑩；只有2条对称轴的是③④⑤⑥⑧⑨；只有4条对称轴的是⑦．故答案为：①②⑩；③④⑤⑥⑧⑨；⑦．1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）下图是一个轴对称图形，对称轴是直线（

）A．a B．b C．c D．d【答案】C【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；分别将图形按折叠，能使图形完全重合的就是该图形的对称轴．【详解】解：该图形的对称轴是直线c．故选：C．2．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）某车标是一个轴对称图形，有______条对称轴【答案】3【分析】此题主要考查了等边三角形的性质及轴对称图形的判断．根据轴对称图形的概念识别和等边三角性质的性质回答即可．【详解】解：如图，

此车标有3条对称轴．故答案为：3．3．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）请你利用无刻度直尺画出下列图形的对称轴(1)如图1，在四边形中，，；(2)如图2，三个等边三角形如图所示放置，且点、、在一条直线上．【答案】(1)如图，(2)如图，直线为所求，【分析】本题考查画对称轴，解题的关键是熟练掌握对称轴的定义．（1）过点和点作直线即可；（2）连接，，交于点，过点和点作直线即可．【详解】（1）解：直线为所求，证明：连接，作直线，∵，∴点在线段的垂直平分线上，∵，∴点在线段的垂直平分线上，∴直线为线段的垂直平分线，∴直线为轴对称图形的对称轴．（2）证明：连接，，交于点，作直线，交于点，∵、、均为等边三角形，∴，，，，，，∴，，，，，，∴点为的中点，，，，∴∴，，∴，，∴，∴直线为线段和线段的垂直平分线，∴直线为轴对称图形的对称轴．【基础题型九求对称轴条数】【例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线都是轴对称图形，其中有两条对称轴的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形的识别，找对称轴，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．找出一条直线，沿该直线折叠使得直线两旁的部分能够完全重合，即为对称轴．【详解】解：A、该图形只有1条对称轴，为轴所在的直线，故不符合题意；B、该图形只有1条对称轴，为第一、三象限的角平分线，故不符合题意；C、该图形有2条对称轴，为轴和轴所在的直线，故符合题意；D、该图形只有1条对称轴，为轴所在的直线，故不符合题意；故选：C．【例2】（2026·陕西西安·二模）如图，正五边形的对称轴条数为______条．【答案】5【分析】正五边形的对称轴为其顶点与该顶点对边中点的连线所在的直线．【详解】解：如图所示，正五边形有5条对称轴．1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）圆的对称轴有（

）条．A．1 B．2 C．3 D．无数条【答案】D【分析】本题考查圆的对称性，熟练掌握圆的对称轴是圆的直径所在的直线，是解题的关键．根据圆的对称轴是圆的直径所在的直线，即可得解．【详解】解：圆的对称轴是圆的直径所在的直线，故圆有无数条对称轴．故选：D．2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，将一张彩色正方形纸沿对角线对折，再沿等腰三角形底边上的高对折．用剪刀在折好的纸上剪一个漂亮的图案，并将纸打开，该图案有___________条对称轴．【答案】2/两【分析】此题考查了有关轴对称的相关知识，其中要明确题中每次的对折都是完全重合的，即就是轴对称图形，那么题中有两次折叠，这样对称轴的个数也就出来了．根据每次的折叠都是完全重合的图形，由此可得到对称轴的条数．【详解】解：根据图中的每次的折叠，都是完全重合，故两次折叠得到了2个对称轴，且之后的裁剪对对称轴没有影响．故该图案有2条对称轴，故答案为：2．3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：

正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴，正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴，正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴；（2）一个正n边形有______条对称轴；（3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；

在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）

【答案】（1）3，4，5，6，7，8；（2）n；（3）如图所示，在图①中直线l即为所求；在图②中直线m即为所求．

图②也可以如下作法．

【分析】（1）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案；（2）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案；（3）利用正六边形有偶数条边，画出正六边形的对称轴即可，利用全等三角形的性质或等腰三角形的性质画正五边形的对称轴即可．【详解】解：（1）正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴，正七边形有7条对称轴，正八边形有8条对称轴；（2）一个正n边形有条对称轴；（3）略【点睛】本题考查的是正多边形的性质，理解正多边形是轴对称图形，正多边形有几个顶点就有几条对称轴是解本题的关键．【提高题型一据垂直平分线的性质求长度、周长、角度问题】【例1】（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在中，点是边上的点，垂直平分，若与的周长之差为，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再根据与的周长之差为列式计算即可．【详解】解：∵垂直平分，∴，∵与的周长之差为，∴，∴，∴．【例2】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，为上一点，垂直平分，交于点，连接、，，若，，则的周长为__________．【答案】【分析】由垂直平分线的性质可得，利用等量代换可得的周长即为线段与之和．【详解】解：∵垂直平分，∴，又∵，∴的周长为．1．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，求的长．【答案】【分析】由垂直平分线的性质可得，，利用等量代换可得的周长即为的长．【详解】解：∵的周长为，∴，∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，∴，，∴，∴．2．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接．(1)若，，求的度数；(2)若的周长为，的周长为，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）过点作，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明，得出，，根据平行线的性质得出，，，根据平角的定义即可求出的度数；（2）根据的周长为，结合得出，根据的周长为得出，根据即可得出答案．【详解】（1）解：如图，过点作，∵垂直平分，∴，，在与中，，∴，∵，∴，，∵，，∴，，∴，∴．（2）解：∵的周长为，，∴，∵的周长为，∴，即，∴，∵，∴．3．（25-26八年级下·全国·阶段练习）如图，在等腰中，，垂直平分．(1)若的周长为35，求的长度；(2)若，求的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，再将的周长转化为，据此求出长；（2）由（1）知，的周长为，据此求解即可．【详解】（1）解：是的垂直平分线，，的周长为35，，，．；（2）解：由（1）知，的周长为．【提高题型二利用垂直平分线的性质求最值】【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】本题考查了直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，连接，过作交于，由直角三角形的特征得，由线段垂直平分线的性质得，，当取得最小值时，取得最大值，当时，取得最小值，即可求解；直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，能找出取得最大值的条件是解题的关键．【详解】解：如图，连接，过作交于，，，，，垂直平分，，，当取得最小值时，取得最大值，，当时，取得最小值，此时与重合，如图，，，解得：，故选：C．【例2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则______，的最大值为______．【答案】88【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键．先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可．【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E，∴，∵的周长是18，，∴的周长，点P在直线上，如图，连接，

∵点P在的垂直平分线上，∴，∴，故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故答案为：8，8．1．（25-26八年级上·广西河池·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分．(1)求的度数；(2)求证：；(3)若，点P是直线上的动点，求的最大值．【答案】(1)30°(2)证明∶∵，，∴，∵，∴，∴；(3)2【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到．由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可；（2）根据含角直角三角形的性质得到，进而求解即可；（3）作C点关于直线的对称点，根据角平分线的定义可判断在直线上，连接的直线就是，则当P点和A点重合时，最大，即可求解．【详解】（1）解：∵是的垂直平分线，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．（2）略（3）解∶作C点关于直线的对称点，∵平分．∴在直线上，∴连接的直线就是，∴当P点和A点重合时，最大，此时的最大值为，∵，∴的最大值为2．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质和含角直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．2．（25-26八年级上·江西宜春·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，若，(1)求的长；(2)若点P是直线上的动点，直接写出的最小值为_________．【答案】(1)9(2)9【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证为等腰三角形，由角度可证为直角三角形，再由线段之间的关系即可求出的长；（2）根据将军饮马原理即可得出的最小值为的长度．【详解】（1）解：∵，∴∵边的垂直平分线交于点D，∴，∴∴在中，∴∴（2）解：如图，取点关于直线的对称点，即点；连接两点，与直线交于点，根据两点之间线段最短则即为的最小值，最小值为9【点睛】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分利用是解题关键．3．（24-25八年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，点在边上；连接，，点在边上，连接并延长到，满足，连接，的角平分线交于，交于．(1)如图1，若，且，求线段的长；(2)如图2，连接，当时，探究与的数量关系并证明；(3)如图3，在中，，，在线段上，连接，交于，．是直线的一动点，连接，以为直角顶点，直角边作等腰，若，请直接写出的最小值．【答案】(1)(2)解：，证明：如图，延长到，使得，连接，在等腰中，，∵平分，∴，是的中点，即垂直平分，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，∴，，∴，∴，∴，∴，∴；(3)【分析】（1）由等边对等角可得，求出，再由直角三角形的性质即可得解；（2）延长到，使得，连接，由等腰三角形的性质可得，是的中点，即垂直平分，证明，得出，证明，得出，推出，即，从而可得，推出，进而可得，即可求证；（3）先证明，再求出，再得出，求出，连接，过点作，交于点，证明，得出，则可得，则点的轨迹为过点垂直于的直线，由点到直线的距离可得，当时，即点与点重合时最小，再求出即可．【详解】（1）解：在中，，∴，在中，，，∴，，在中，，，∴；（2）略（3）解：∵，，∴，∵，，∴，∵的角平分线交于，∴垂直平分，∴，又∵，∴，∴，∴，在和中，，，∴，∵，∴，∴，如图，连接，过点作，交于点，∴，，∴，∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴点的轨迹为过点垂直于的直线，由点到直线的距离可得，当时，即点与点重合时最小，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴的最小值为．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．【提高题型三垂直平分线常见辅助线添加问题】【例1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，请在图①中作出的内角平分线，在图②中作出的边上的中线，在图③中作出的边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，辅助线用虚线，求作线段用实线）【答案】由题意，作图如下，即为所求.【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法作图即可；（2）利用尺规作垂线的方法确定中点，连接即可；（3）利用尺规作垂线的方法作图即可.【详解】略【例2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程．(1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证：已知：．求证：；(2)补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）．证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹）【答案】(1)在中，；(2)证明：如图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．∵直线是线段的垂直平分线，∴，∴，∵，∴．∵中，，∴．∴．∴．∵，∴．在和中，，∴∴．∵直线是线段的垂直平分线，∴．∴．【分析】本题主要考查了写出命题的已知求证、全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识点，掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键．（1）根据题意写出对应命题的已知和求证即可；（2）先作线段的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用直角三角形两锐角互余推出，进而证明得到，则，由此即可证明．【详解】（1）解：已知：在中，．求证：．故答案为：在中，．（2）略1．（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图是课上老师呈现的一个问题：已知：如图，于点交于点，当时，求的度数．

下面提供三种思路：思路一：过点作（如图甲）；思路二：过点作，交于点；思路三：过点作，交于点．

解答下列问题：(1)根据思路一（图甲），可求得的度数为________；(2)根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线；(3)请你从思路