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文档简介

第37讲圆锥曲线综合应用

(知识清单+12典例精讲+方法技巧+分层训练)

近3年考查情况题型分值

双曲线几何性质、离心率计算单选/填空题5分

抛物线定义、焦点弦、直线与抛物线位置关系多选题6分

椭圆标准方程、直线与椭圆联立、韦达定理、定点定值、面积最值单选/解答题5分/12分

双曲线定义、焦点三角形计算单选题5分

平面轨迹方程、直线与抛物线相交、弦长公式、函数最值求解单选/解答题5分/12分

【知识点01】直线与圆锥曲线的位置判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,则直线与圆锥曲线相交Δ>0;

直线与圆锥曲线相切Δ=0;直线与圆锥曲线相离Δ<0.⇔

⇔⇔

特别地,①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交,有且只有一个交点.

②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交,有且只有一个交点.

【例】判断直线与椭圆的位置关系。

122

��

解:步骤1:联立直�线:�与=椭�圆+1方程�:4+3=1

联立方程组:

�2=�2+1

{��

步骤2:代入消4元+,3整=理1一元二次方程

将代入椭圆方程:

22

�(�+1)

两边�同=乘�+121通分去分母:4+3=1

22

展开整理:3�+4(�+1)=12

22

3�+4(�+2�+1)=12

2

7步�骤+38:�计−算8=判0别式

2

步骤4:判定结论Δ=8−4×7×(−8)=64+224=288>0

直线与椭圆相交∵,Δ有>两0个不同公共点。

【∴知识点02】弦长公式

已知A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k(k≠0),

则|AB|=+

22

(�1−�2)(�1−�2)

=+

2

1��1−�2

=++,

22

1�(�1�2)−4�1�2

或|AB|=+

1

2

1��1−�2

=++.

1

22

1�(�1�2)−4�1�2

【例】已知直线与椭圆交于、两点,求弦长。

222

��

解:步骤1:沿用前文�:�联=立�结+果1�:4+3=1��|��|

联立化简得方程:

2

可得参数:7�+8�−8=0

步骤2:利用�韦=达7,定�=理8求,�根=系−关8系

88

�1+�2=−,�1�2=−

步骤3:确定7直线斜率7

直线,斜率

步骤4�:=代�入+弦1长公式计�算=1

22

1212

代|��入|数=值1:+�⋅(�+�)−4��

2828

|��|=1+1⋅(−7)−4×(−7)

分步计算:

643264+22428812224

=2⋅49+7=2⋅49=2⋅49=2⋅7=7

最终结论:弦长

𝟐

|��|=�

【题型一】直线与椭圆的位置关系

【例】(山东模拟预测)已知直线:,椭圆:,则是与相切的()

12024··2“”“”

�2

��=��+1�4+�=1�=0��

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】利用“数形结合”的思想结合“一元二次方程根有一解求解的判别式等于零”求解即可.

【详解】当时,直线:,直线与椭圆相切,当“与相切”时,

�=0��=1��

联立有,令有,

�2=��+12222

�24�+1�+8��=0Δ=8�−4×4�+1×0=0,�=0

4+�=1

所以是直线与椭圆相切的充要条件.

�=0

故选:C.

【变式】已知直线与椭圆,点,则下列说法正确的是()

122

�0��0���

2222

�:�+�=1�:�+�=1��0,�0

A.若点A在椭圆C外,则直线l与椭圆C相离

B.若点A在椭圆C上,则直线l与椭圆C相切

C.若点A在椭圆C内,则直线l与椭圆C相交

D.若点A在直线l上,则直线l与椭圆C的位置关系不确定

【答案】B

【分析】考虑和两种情况,联立方程,得到,根据点与椭圆的关系依次验证直

22

2�0�0

6222

线和椭圆的关系�0得=到0答案�0.≠0Δ=4���0�+�−1

【详解】当,则,则直线,

2

�

�0=0�0≠0�:�=�0

①若点在椭圆外,则,则,直线与椭圆相交;

AC2lC

�

�0>�|�|=�0<�

②若点在椭圆上,则,则,直线与椭圆相切;

AC2lC

�

�0=�|�|=�0=�

③若点在椭圆内,则,则,直线与椭圆相离;

AC2lC

�

�0<�|�|=�0>�

当时,联立方程�0��0�,消去得:

22y

��

2+2=1

0��

�≠022

�+�=1

,

22222224242

��0+��0�−2���0�+��−��0=0

所以,

22

22222�0�0

44224246222

Δ=4���0−4��0+��0��−��0=4���0�+�−1

①若点在椭圆外,则,则,直线与椭圆相交;

AC22lC

�0�0

22

�+�>1Δ>0

②若点在椭圆上,则手,则,直线与椭圆相切;

AC22lC

�0�0

22

�+�=1Δ=0

③若点在椭圆内,则,则,直线与椭圆相离;

AC22lC

�0�0

22

�+�<1Δ<0

若点在直线上,则满足,即点在椭圆上,由以上讨论可知直线与椭圆相切,错误

Al22AClCD.

�0�0

22

�+�=1

综上所述:B正确

故选:B

【变式】(河南模拟预测)已知为椭圆上一点,且直线与有且仅

22025··22

��

22

有一个交点,则的焦距为__________.�−2,−1�:�+�=1�>�>0�=2�

�

【答案】

43

3

【分析】将代入椭圆方程,结合题意及关系及焦距定义即可求解.

�−2,−1�,�,�

【详解】将代入椭圆方程,得到,

41

22

�−2,−1�+�=1

又因为直线与仅有一个交点,所以,

�=2��=2

进而解得,所以的焦距为.

2162162443

�=3,�=3−2=3�2�=3

故答案为:.

43

3

【变式】已知椭圆的长轴长为,过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为

32241.

��

22

�:�+�=1(�>�>0)��

(1)求椭圆的方程;

�

(2)若点,点,在椭圆上,轴,垂足为,直线交轴于点,线段的

中点为坐标�原(0点,2),试判�(断�1直线�1)(�与1�椭1圆≠0的)位置关�系.��⊥��𝐴⊥����𝐴

���

【答案】();()直线与椭圆相切

122.

�2

4+�=1���

【解析】()根据题意得,得,,解得,进而得椭圆的方程;

12

2�

2�=4�=2�=1�=1

(2)根据题意可得,,求出、,得到直线方程和点坐标,又线段的中点为坐标原点,得到坐

标和直线的方程,�代(�入1椭0)圆的方程��得�化简��得�𝐴�,又因�为�点,在椭圆上,所�以

22

11

2��42

2211

整理得,代��入得,由判别式得�直+线4(�1与−4)椭(�1圆−4)相(�切−.�1)=4�(��)

22

�−2�1�+�1=0���

【详解】(1)因为长轴长为4,

所以,得,

2�=4�=2

又因为过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.

��

所以,解得,所以椭圆的方程为:

22.

2��2

�=1�=14+�=1

(2)直线和椭圆相切,理由如下:

根据题意可得,,,又直线,所以,

2�1

�(�10)���=−�1𝐴⊥���𝐴=2

所以直线方程为:,即,

�1�1

𝐴�−2=2(�−0)�=2�+2

令得,,即,,

−44

�=0�=�1�(−�10)

又线段的中点为坐标原点,所以,,

4

𝐴�(�10)

所以直线的方程为:,即,

�14�1�14

42

1�1�1−4�1

���−0=�−�1(�−)�=(�−)

代入椭圆的方程得,

11

2��42

2

�+4[�1−4(�−�1)]=4

化简得,

22

11

2��42

22

�+4(�1−4)(�1−4)(�−�1)=4

又因为点,在椭圆上,所以,

2

�11

2

�(�1�1)�1−4=−4

代入得,即,

22

2�11422�142

22

�+4�1−4·(−4)(�−�1)=4�−�1−4(�−�1)=4

,

222422

(�1−4)�−�1(�−�1)=4(�1−4)

,,

2222222

(�1−4)�−�1�+8�1�−16=4�1−16−4�+8�1�−4�1=0

,

22

�−2�1�+�1=0

△,

22

=(2�1)−4�1=0

所以直线与椭圆相切.

���

【点睛】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的相交问题,属于中档题.

【题型二】椭圆的弦长、焦点弦

【例】(山东淄博一模)已知椭圆:的左、右焦点分别为和,过且倾斜角为的直线与

12026··2

�2π

交于,两点,则()�2+�=1�1�2�24��

����=

A.B.C.D.

442222

3333

【答案】B

【详解】椭圆:的右焦点,

2

�2

∵�2+�=1�21,0

过且倾斜角为的直线的方程为,即,

ππ

∴�24��=tan4�−1�=�−1

将代入,得到,

22

�2�2

�=�−12+�=12+�−1=1

即,

2

3�−4�=0

设,

��1,�1,��2,�2

则,

4

�1+�2=3

�1�2=0

则,故选项B正确.

2

22442

��=�1+�2−4�1�2⋅�+1=3−4×0⋅1+1=3

【变式】(湖南邵阳一模)经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线,直线与椭圆相交于,

12025··2

�2

两点,则()2+�=1�60°���

�|��|=

A.B.C.D.

822022132

7777

【答案】A

【分析】由椭圆方程求得焦点坐标,从而写出直线方程,联立方程组得一元二次方程,由韦达定理得到两个的和与

差,利用交点弦长公式即可求得结果.

【详解】,,∴,即,

2222

�=2�=1�=�−�=1�1,0

,∴,

��=tan60°=3�:�=3�−1

联立方程组得,整理得,

�=23�−12

�27�−12�+4=0

2+�=1

设,,∴,,

124

��1,�1��2,�2�1+�2=7�1�2=7

.

22

22212482

|��|=1+��1−�2=1+��1+�2−4�1�2=1+37−4×7=7

故选:A.

【变式】若直线:(其中)与圆相切,与椭圆:交于点,

22

22�2

,为其右焦�点�,=则��+�的周长��为_<__0___.�+�=1�4+�=1��1,�1

��2,�2�△���

【答案】4

【分析】先根据直线与圆相切求得的关系,设切点为,利用勾股定理分别求出,再根据两点间的距离

公式分别求出,从而可得�出,�答案.���,��

��,��

【详解】解:由直线与圆相切,

22

��+�=1

可得,则,

�22

2

�+1=1�=�+1

联立,消得,

�2=��+�222

�2�4�+1�+8���+4�−4=0

4+�=1

则,故,

2222222

Δ=64��−44�+14�−4=164�−�+1=48�>0�≠0

,

22

8��4�−44�

222

�1+�2=−4�+1,�1�2=4�+1=4�+1

因为,所以,

2

8��4�

22

��<0�1+�2=−4�+1>0,�1�2=4�+1>0

所以,

�1>0,�2>0

设切点为,则,,

���=1�3,0

,

2222323

��=��−��=�1+�1−1=4�1=2�1

同理,

3

��=2�2

,

22323

��=�1−3+�1=4�1−23�1+4=2�1−2

因为,所以,

3

−2≤�1≤2��=2−2�1

同理,

3

��=2−2�2

则的周长为.

△�����+��+��=��+��+��+��=4

故答案为:4.

【变式】(上海嘉定二模)已知椭圆:.为椭圆的右焦点,过椭圆上一点的直线交椭

32025··C2F

�2

圆于另一点Q,点M为椭圆上任意一点.9+�=1�3,0�1

(1)求的最小值;

��

(2)当直线的斜率为1时,求面积的最大值及此时点M的坐标;

�1△���

(3)若直线与直线:交于点D,点D不在x轴上,Q关于原点的对称点为点R,直线与交于点E,求

线段的��取值范围�2.�=−3𝑃�2

��

【答案】(1),

3−22

(2),

9+31091

10�−10,10

(3)

4,+∞

【详解】(1)

由椭圆方程知,,所以右焦点,

2

�222222

9+�=1�=9,�=1,�=�−�=9−1=8�22,0

设,则,由代入得:

22

2

2�22�

��,���=�−22+�9+�=1⇒�=1−9

222

2�

��=�−22+�=�−22+1−

9

,

22

8�8�−362�+81

=9−42�+9=3

由于,对称轴,

92

�∈−3,3�=4>3

所以,

8×9−362×3+81

��≥3=17−122=9−2×3×8+8=3−22

即的最小值为,此时点为椭圆的右顶点.

��3−22�

(2)

由直线的斜率为1且经过,可得直线方程,

�1�3,0�=�−3

与椭圆联立方程组,消元得:,

22

�2�22

9+�=19+�−3=1⇒10�−54�+72=0

解得,则代入得:,所以,

1212123123

�=3,�=5�=5�=5−3=−5�5,−5

则,

1223232

��=5−3+−5−0=5

设平行于直线的直线方程为,则与椭圆联立方程组,消元得:

2

�2

�1�=�+�9+�=1

,当此直线与椭圆相切时,满足判别式为,

2

�222

9+�+�=1⇒10�+18��+9�−9=00

即,解得,

222

Δ=18�−4×10×9�−9=0�=±10

根据数形结合可得时,满足切点取到面积最大值,

�=10�△���

此时方程为,

229

10�+1810�+81=0⇒10�+9=0⇒�=−10

代入直线得,则,

9191

�=−10+10=10�−10,10

由点到直线的距离公式得:

91

�−10,10�=�−3

91,

−10−10−33+10

�=2=2

所以面积的最大值为,

1323+109+310

△����=2×5×2=10

此时点;

91

�−10,10

(3)

设过点直线为:,与椭圆联立方程组,消元得:

2

�2

�3,0�=��−39+�=1

,

2

�222222

9+��−3=1⇒1+9��−54��+81�−9=0

由,

2222

Δ=−54�−41+9�81�−9=36>0

再由于交点D不在x轴上,即,

�≠0

设交点,则有,

22

54�27�−3

22

��1,�1�1+3=1+9�⇒�1=1+9�

代入得:,

22

27�−327�−3−6�

222

�1=1+9��1=�1+9�−3=1+9�

由于关于原点的对称点为点,所以,

QR2

27�−36�

22

�−1+9�,1+9�

则直线方程为6�,与直线相交得:

1+9�2

27�2−3

𝑃�=−1+9�2−3�−3�=−3

点纵坐标为6�,

1+9�22

27�2−3

3�

��=−6−1+9�2−3=

而直线与直线相交得:

�=��−3�=−3

点纵坐标为,

��=−6�

所以可得

222

��=3�+6�=3�+6�≥23�⋅6�=4

当且仅当,即时,取到最小值.

21

3�=6��=±3��4

即的取值范围是

��[4,+∞)

【题型三】椭圆中的参数范围及最值

【例】(辽宁三模)已知椭圆的焦点分别为,,点为上任意一点,则的最大

32026··22

��

值为()�:25+16=1�1�2����1⋅��2

A.B.C.D.

4125109

【答案】B

【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式即可求解.

【详解】已知椭圆的焦点分别为,,点为上任意一点,所以,

22

��

�:25+16=1�1�2���=5

则根据椭圆的定义可知,

��1+��2=2�=10

由基本不等式得,当且仅当时取等号,此时点在椭圆的短轴的

��1+��22102

端点处,符合题意��,1·��2≤2=2=25��1=��2�

因此的最大值是.

��1·��225

【变式】已知椭圆的左、右焦点分别为,,直线与交于,两点,若面积

12CAB

�2

121

是面积的2倍,�:则3+�(=1).���=�+�△���

△�2���=

A.B.C.D.

2222

33−3−3

【答案】C

【分析】首先联立直线方程与椭圆方程,利用,求出范围,再根据三角形面积比得到关于的方程,解出即

可.Δ>0��

【详解】将直线与椭圆联立,消去可得,

�2=�+�22

�

�=�+�2�4�+6��+3�−3=0

3+�=1

因为直线与椭圆相交于点,则,解得,

22

�,�Δ=36�−4×43�−3>0−2<�<2

设到的距离到距离,易知,

�1���1,�2���2�1−2,0,�22,0

则,,

|−2+�||2+�|

�1=2�2=2

|−2+�|,解得或(舍去),

�△�1��2|−2+�|2

|2+�|

�△�2��|2+�|3

=2==2�=−−32

故选:C.

【变式】(多选)已知点是椭圆上的动点,点且,则最小时,的值

222|PQ|m

��

可能是()�(�,�)3+2=1��,0(�>0�≠3)

A.-1B.C.aD.3a

3

【答案】BD

【分析】由,结合距离公式、二次函数的单调性得出m的可能值.

222

�=2−3�

【详解】因为点在椭圆上,所以,

2222

����222

��,��:3+2=13+2=1−3≤�≤3,�=2−3�

所以

22222122

��=(�−�)+�=(�−�)+2−3�=3�−2��+�+2

,若,当时,最小,

1223

=3(�−3�)+2−2�0<�≤3�=3���

若,当时,最小.

3

�>3�=3��

故选:BD.

【变式】(全国模拟预测)已知椭圆,则在椭圆短轴的右侧与短轴相切且在椭圆内部(包括

32025··22

��

边界)的最大圆的方程为______.�:25+9=1��

【答案】

2224

�+�−5�=0

【分析】根据圆的位置及圆的对称性,设圆心的坐标为,圆的方程为,显然.设

2225

椭圆右半侧上点的坐标为,,则��,0.结合�椭圆右半(�侧−上�)点+只�能=在�圆外或者0<圆�上<,2有

ππ

���.(5对cos�3sin及�)−2≤�恒≤成2立.令���,在�

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