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文档简介
第37讲圆锥曲线综合应用
(知识清单+12典例精讲+方法技巧+分层训练)
近3年考查情况题型分值
双曲线几何性质、离心率计算单选/填空题5分
抛物线定义、焦点弦、直线与抛物线位置关系多选题6分
椭圆标准方程、直线与椭圆联立、韦达定理、定点定值、面积最值单选/解答题5分/12分
双曲线定义、焦点三角形计算单选题5分
平面轨迹方程、直线与抛物线相交、弦长公式、函数最值求解单选/解答题5分/12分
【知识点01】直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,则直线与圆锥曲线相交Δ>0;
直线与圆锥曲线相切Δ=0;直线与圆锥曲线相离Δ<0.⇔
⇔⇔
特别地,①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交,有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交,有且只有一个交点.
【例】判断直线与椭圆的位置关系。
122
��
解:步骤1:联立直�线:�与=椭�圆+1方程�:4+3=1
联立方程组:
�2=�2+1
{��
步骤2:代入消4元+,3整=理1一元二次方程
将代入椭圆方程:
22
�(�+1)
两边�同=乘�+121通分去分母:4+3=1
22
展开整理:3�+4(�+1)=12
22
3�+4(�+2�+1)=12
2
7步�骤+38:�计−算8=判0别式
2
步骤4:判定结论Δ=8−4×7×(−8)=64+224=288>0
直线与椭圆相交∵,Δ有>两0个不同公共点。
【∴知识点02】弦长公式
已知A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k(k≠0),
则|AB|=+
22
(�1−�2)(�1−�2)
=+
2
1��1−�2
=++,
22
1�(�1�2)−4�1�2
或|AB|=+
1
2
1��1−�2
=++.
1
22
1�(�1�2)−4�1�2
【例】已知直线与椭圆交于、两点,求弦长。
222
��
解:步骤1:沿用前文�:�联=立�结+果1�:4+3=1��|��|
联立化简得方程:
2
可得参数:7�+8�−8=0
步骤2:利用�韦=达7,定�=理8求,�根=系−关8系
88
�1+�2=−,�1�2=−
步骤3:确定7直线斜率7
直线,斜率
步骤4�:=代�入+弦1长公式计�算=1
22
1212
代|��入|数=值1:+�⋅(�+�)−4��
2828
|��|=1+1⋅(−7)−4×(−7)
分步计算:
643264+22428812224
=2⋅49+7=2⋅49=2⋅49=2⋅7=7
最终结论:弦长
𝟐
|��|=�
【题型一】直线与椭圆的位置关系
【例】(山东模拟预测)已知直线:,椭圆:,则是与相切的()
12024··2“”“”
�2
��=��+1�4+�=1�=0��
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】利用“数形结合”的思想结合“一元二次方程根有一解求解的判别式等于零”求解即可.
【详解】当时,直线:,直线与椭圆相切,当“与相切”时,
�=0��=1��
联立有,令有,
�2=��+12222
�24�+1�+8��=0Δ=8�−4×4�+1×0=0,�=0
4+�=1
所以是直线与椭圆相切的充要条件.
�=0
故选:C.
【变式】已知直线与椭圆,点,则下列说法正确的是()
122
�0��0���
2222
�:�+�=1�:�+�=1��0,�0
A.若点A在椭圆C外,则直线l与椭圆C相离
B.若点A在椭圆C上,则直线l与椭圆C相切
C.若点A在椭圆C内,则直线l与椭圆C相交
D.若点A在直线l上,则直线l与椭圆C的位置关系不确定
【答案】B
【分析】考虑和两种情况,联立方程,得到,根据点与椭圆的关系依次验证直
22
2�0�0
6222
线和椭圆的关系�0得=到0答案�0.≠0Δ=4���0�+�−1
【详解】当,则,则直线,
2
�
�0=0�0≠0�:�=�0
①若点在椭圆外,则,则,直线与椭圆相交;
AC2lC
�
�0>�|�|=�0<�
②若点在椭圆上,则,则,直线与椭圆相切;
AC2lC
�
�0=�|�|=�0=�
③若点在椭圆内,则,则,直线与椭圆相离;
AC2lC
�
�0<�|�|=�0>�
当时,联立方程�0��0�,消去得:
22y
��
2+2=1
0��
�≠022
�+�=1
,
22222224242
��0+��0�−2���0�+��−��0=0
所以,
22
22222�0�0
44224246222
Δ=4���0−4��0+��0��−��0=4���0�+�−1
①若点在椭圆外,则,则,直线与椭圆相交;
AC22lC
�0�0
22
�+�>1Δ>0
②若点在椭圆上,则手,则,直线与椭圆相切;
AC22lC
�0�0
22
�+�=1Δ=0
③若点在椭圆内,则,则,直线与椭圆相离;
AC22lC
�0�0
22
�+�<1Δ<0
若点在直线上,则满足,即点在椭圆上,由以上讨论可知直线与椭圆相切,错误
Al22AClCD.
�0�0
22
�+�=1
综上所述:B正确
故选:B
【变式】(河南模拟预测)已知为椭圆上一点,且直线与有且仅
22025··22
��
22
有一个交点,则的焦距为__________.�−2,−1�:�+�=1�>�>0�=2�
�
【答案】
43
3
【分析】将代入椭圆方程,结合题意及关系及焦距定义即可求解.
�−2,−1�,�,�
【详解】将代入椭圆方程,得到,
41
22
�−2,−1�+�=1
又因为直线与仅有一个交点,所以,
�=2��=2
进而解得,所以的焦距为.
2162162443
�=3,�=3−2=3�2�=3
故答案为:.
43
3
【变式】已知椭圆的长轴长为,过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为
32241.
��
22
�:�+�=1(�>�>0)��
(1)求椭圆的方程;
�
(2)若点,点,在椭圆上,轴,垂足为,直线交轴于点,线段的
中点为坐标�原(0点,2),试判�(断�1直线�1)(�与1�椭1圆≠0的)位置关�系.��⊥��𝐴⊥����𝐴
���
【答案】();()直线与椭圆相切
122.
�2
4+�=1���
【解析】()根据题意得,得,,解得,进而得椭圆的方程;
12
2�
2�=4�=2�=1�=1
(2)根据题意可得,,求出、,得到直线方程和点坐标,又线段的中点为坐标原点,得到坐
标和直线的方程,�代(�入1椭0)圆的方程��得�化简��得�𝐴�,又因�为�点,在椭圆上,所�以
22
11
2��42
2211
整理得,代��入得,由判别式得�直+线4(�1与−4)椭(�1圆−4)相(�切−.�1)=4�(��)
22
�−2�1�+�1=0���
【详解】(1)因为长轴长为4,
所以,得,
2�=4�=2
又因为过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
��
所以,解得,所以椭圆的方程为:
22.
2��2
�=1�=14+�=1
(2)直线和椭圆相切,理由如下:
根据题意可得,,,又直线,所以,
2�1
�(�10)���=−�1𝐴⊥���𝐴=2
所以直线方程为:,即,
�1�1
𝐴�−2=2(�−0)�=2�+2
令得,,即,,
−44
�=0�=�1�(−�10)
又线段的中点为坐标原点,所以,,
4
𝐴�(�10)
所以直线的方程为:,即,
�14�1�14
42
1�1�1−4�1
���−0=�−�1(�−)�=(�−)
代入椭圆的方程得,
11
2��42
2
�+4[�1−4(�−�1)]=4
化简得,
22
11
2��42
22
�+4(�1−4)(�1−4)(�−�1)=4
又因为点,在椭圆上,所以,
2
�11
2
�(�1�1)�1−4=−4
代入得,即,
22
2�11422�142
22
�+4�1−4·(−4)(�−�1)=4�−�1−4(�−�1)=4
,
222422
(�1−4)�−�1(�−�1)=4(�1−4)
,,
2222222
(�1−4)�−�1�+8�1�−16=4�1−16−4�+8�1�−4�1=0
,
22
�−2�1�+�1=0
△,
22
=(2�1)−4�1=0
所以直线与椭圆相切.
���
【点睛】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的相交问题,属于中档题.
【题型二】椭圆的弦长、焦点弦
【例】(山东淄博一模)已知椭圆:的左、右焦点分别为和,过且倾斜角为的直线与
12026··2
�2π
交于,两点,则()�2+�=1�1�2�24��
����=
A.B.C.D.
442222
3333
【答案】B
【详解】椭圆:的右焦点,
2
�2
∵�2+�=1�21,0
过且倾斜角为的直线的方程为,即,
ππ
∴�24��=tan4�−1�=�−1
将代入,得到,
22
�2�2
�=�−12+�=12+�−1=1
即,
2
3�−4�=0
设,
��1,�1,��2,�2
则,
4
�1+�2=3
�1�2=0
则,故选项B正确.
2
22442
��=�1+�2−4�1�2⋅�+1=3−4×0⋅1+1=3
【变式】(湖南邵阳一模)经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线,直线与椭圆相交于,
12025··2
�2
两点,则()2+�=1�60°���
�|��|=
A.B.C.D.
822022132
7777
【答案】A
【分析】由椭圆方程求得焦点坐标,从而写出直线方程,联立方程组得一元二次方程,由韦达定理得到两个的和与
差,利用交点弦长公式即可求得结果.
【详解】,,∴,即,
2222
�=2�=1�=�−�=1�1,0
,∴,
��=tan60°=3�:�=3�−1
联立方程组得,整理得,
�=23�−12
�27�−12�+4=0
2+�=1
设,,∴,,
124
��1,�1��2,�2�1+�2=7�1�2=7
.
22
22212482
|��|=1+��1−�2=1+��1+�2−4�1�2=1+37−4×7=7
故选:A.
【变式】若直线:(其中)与圆相切,与椭圆:交于点,
22
22�2
,为其右焦�点�,=则��+�的周长��为_<__0___.�+�=1�4+�=1��1,�1
��2,�2�△���
【答案】4
【分析】先根据直线与圆相切求得的关系,设切点为,利用勾股定理分别求出,再根据两点间的距离
公式分别求出,从而可得�出,�答案.���,��
��,��
【详解】解:由直线与圆相切,
22
��+�=1
可得,则,
�22
2
�+1=1�=�+1
联立,消得,
�2=��+�222
�2�4�+1�+8���+4�−4=0
4+�=1
则,故,
2222222
Δ=64��−44�+14�−4=164�−�+1=48�>0�≠0
,
22
8��4�−44�
222
�1+�2=−4�+1,�1�2=4�+1=4�+1
因为,所以,
2
8��4�
22
��<0�1+�2=−4�+1>0,�1�2=4�+1>0
所以,
�1>0,�2>0
设切点为,则,,
���=1�3,0
,
2222323
��=��−��=�1+�1−1=4�1=2�1
同理,
3
��=2�2
,
22323
��=�1−3+�1=4�1−23�1+4=2�1−2
因为,所以,
3
−2≤�1≤2��=2−2�1
同理,
3
��=2−2�2
则的周长为.
△�����+��+��=��+��+��+��=4
故答案为:4.
【变式】(上海嘉定二模)已知椭圆:.为椭圆的右焦点,过椭圆上一点的直线交椭
32025··C2F
�2
圆于另一点Q,点M为椭圆上任意一点.9+�=1�3,0�1
(1)求的最小值;
��
(2)当直线的斜率为1时,求面积的最大值及此时点M的坐标;
�1△���
(3)若直线与直线:交于点D,点D不在x轴上,Q关于原点的对称点为点R,直线与交于点E,求
线段的��取值范围�2.�=−3𝑃�2
��
【答案】(1),
3−22
(2),
9+31091
10�−10,10
(3)
4,+∞
【详解】(1)
由椭圆方程知,,所以右焦点,
2
�222222
9+�=1�=9,�=1,�=�−�=9−1=8�22,0
设,则,由代入得:
22
2
2�22�
��,���=�−22+�9+�=1⇒�=1−9
222
2�
��=�−22+�=�−22+1−
9
,
22
8�8�−362�+81
=9−42�+9=3
由于,对称轴,
92
�∈−3,3�=4>3
所以,
8×9−362×3+81
��≥3=17−122=9−2×3×8+8=3−22
即的最小值为,此时点为椭圆的右顶点.
��3−22�
(2)
由直线的斜率为1且经过,可得直线方程,
�1�3,0�=�−3
与椭圆联立方程组,消元得:,
22
�2�22
9+�=19+�−3=1⇒10�−54�+72=0
解得,则代入得:,所以,
1212123123
�=3,�=5�=5�=5−3=−5�5,−5
则,
1223232
��=5−3+−5−0=5
设平行于直线的直线方程为,则与椭圆联立方程组,消元得:
2
�2
�1�=�+�9+�=1
,当此直线与椭圆相切时,满足判别式为,
2
�222
9+�+�=1⇒10�+18��+9�−9=00
即,解得,
222
Δ=18�−4×10×9�−9=0�=±10
根据数形结合可得时,满足切点取到面积最大值,
�=10�△���
此时方程为,
229
10�+1810�+81=0⇒10�+9=0⇒�=−10
代入直线得,则,
9191
�=−10+10=10�−10,10
由点到直线的距离公式得:
91
�−10,10�=�−3
91,
−10−10−33+10
�=2=2
所以面积的最大值为,
1323+109+310
△����=2×5×2=10
此时点;
91
�−10,10
(3)
设过点直线为:,与椭圆联立方程组,消元得:
2
�2
�3,0�=��−39+�=1
,
2
�222222
9+��−3=1⇒1+9��−54��+81�−9=0
由,
2222
Δ=−54�−41+9�81�−9=36>0
再由于交点D不在x轴上,即,
�≠0
设交点,则有,
22
54�27�−3
22
��1,�1�1+3=1+9�⇒�1=1+9�
代入得:,
22
27�−327�−3−6�
222
�1=1+9��1=�1+9�−3=1+9�
由于关于原点的对称点为点,所以,
QR2
27�−36�
22
�−1+9�,1+9�
则直线方程为6�,与直线相交得:
1+9�2
27�2−3
𝑃�=−1+9�2−3�−3�=−3
点纵坐标为6�,
1+9�22
27�2−3
3�
��=−6−1+9�2−3=
而直线与直线相交得:
�=��−3�=−3
点纵坐标为,
��=−6�
所以可得
222
��=3�+6�=3�+6�≥23�⋅6�=4
当且仅当,即时,取到最小值.
21
3�=6��=±3��4
即的取值范围是
��[4,+∞)
【题型三】椭圆中的参数范围及最值
【例】(辽宁三模)已知椭圆的焦点分别为,,点为上任意一点,则的最大
32026··22
��
值为()�:25+16=1�1�2����1⋅��2
A.B.C.D.
4125109
【答案】B
【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式即可求解.
【详解】已知椭圆的焦点分别为,,点为上任意一点,所以,
22
��
�:25+16=1�1�2���=5
则根据椭圆的定义可知,
��1+��2=2�=10
由基本不等式得,当且仅当时取等号,此时点在椭圆的短轴的
��1+��22102
端点处,符合题意��,1·��2≤2=2=25��1=��2�
因此的最大值是.
��1·��225
【变式】已知椭圆的左、右焦点分别为,,直线与交于,两点,若面积
12CAB
�2
121
是面积的2倍,�:则3+�(=1).���=�+�△���
△�2���=
A.B.C.D.
2222
33−3−3
【答案】C
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程,利用,求出范围,再根据三角形面积比得到关于的方程,解出即
可.Δ>0��
【详解】将直线与椭圆联立,消去可得,
�2=�+�22
�
�=�+�2�4�+6��+3�−3=0
3+�=1
因为直线与椭圆相交于点,则,解得,
22
�,�Δ=36�−4×43�−3>0−2<�<2
设到的距离到距离,易知,
�1���1,�2���2�1−2,0,�22,0
则,,
|−2+�||2+�|
�1=2�2=2
|−2+�|,解得或(舍去),
�△�1��2|−2+�|2
|2+�|
�△�2��|2+�|3
=2==2�=−−32
故选:C.
【变式】(多选)已知点是椭圆上的动点,点且,则最小时,的值
222|PQ|m
��
可能是()�(�,�)3+2=1��,0(�>0�≠3)
A.-1B.C.aD.3a
3
【答案】BD
【分析】由,结合距离公式、二次函数的单调性得出m的可能值.
222
�=2−3�
【详解】因为点在椭圆上,所以,
2222
����222
��,��:3+2=13+2=1−3≤�≤3,�=2−3�
所以
22222122
��=(�−�)+�=(�−�)+2−3�=3�−2��+�+2
,若,当时,最小,
1223
=3(�−3�)+2−2�0<�≤3�=3���
若,当时,最小.
3
�>3�=3��
故选:BD.
【变式】(全国模拟预测)已知椭圆,则在椭圆短轴的右侧与短轴相切且在椭圆内部(包括
32025··22
��
边界)的最大圆的方程为______.�:25+9=1��
【答案】
2224
�+�−5�=0
【分析】根据圆的位置及圆的对称性,设圆心的坐标为,圆的方程为,显然.设
2225
椭圆右半侧上点的坐标为,,则��,0.结合�椭圆右半(�侧−上�)点+只�能=在�圆外或者0<圆�上<,2有
ππ
���.(5对cos�3sin及�)−2≤�恒≤成2立.令���,在�
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