北师大版高中数学第6单元立体几何习题及答案

北师大版高中数学第6单元立体几何习题及答案第1页共1页北师大版高中数学第6单元立体几何习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知空间中三点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)，则△ABC的形状是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形参考答案：C2.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BB₁的中点，点F是棱CC₁的中点，则直线AE与平面B₁BCC₁F所成角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/3参考答案：A3.已知直线l₁:x+y-1=0与直线l₂:ax-y+2=0垂直，则实数a的值是（）A.-1B.1C.-2D.2参考答案：A4.在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，且DE//BC，若AD=2DB，AE=3EC，则△ADE与△ABC的面积之比是（）A.1:2B.1:3C.2:3D.3:4参考答案：C5.已知圆O的半径为2，点P在圆外，OP=4，则过点P的圆O的切线长是（）A.2√3B.2√5C.4D.8参考答案：B6.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，若PA=2，AB=AC=1，则点P到平面ABC的距离是（）A.1B.√2/2C.√3/2D.√5/2参考答案：A7.已知直线l₁:x-y+1=0与直线l₂:ax+2y-1=0关于原点对称，则实数a的值是（）A.-1B.1C.-2D.2参考答案：A8.在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,0)，点C在x轴上，若△ABC的周长最小，则点C的坐标是（）A.(2,0)B.(1,0)C.(3,0)D.(0,0)参考答案：A9.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则圆C的圆心到直线3x-4y-5=0的距离是（）A.1B.√2C.√5D.3参考答案：C10.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，若PA=AD=2，AB=1，则点P到对角线BD的距离是（）A.√3/2B.√5/2C.1D.√2参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于y轴对称的点的坐标是______。参考答案：(-1,2,-3)2.已知正方体的棱长为2，则其体积是______。参考答案：83.判断命题“若a²=b²，则a=b”在实数集R中的真假，答案为______。参考答案：×4.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于平面x+y+z=1对称的点的坐标是______。参考答案：(0,-1,0)5.列举空间中确定一个平面的基本条件，至少写出一个：______。参考答案：不在同一直线上的三点6.已知直线l₁:x+y=1与直线l₂:x-y=1相交，交点坐标是______。参考答案：(1,0)7.分析正四棱锥的体积公式V=(1/3)×底面积×高是如何推导的，简要说明推导思路：______。参考答案：通过底面中心作垂直于底面的高，将正四棱锥分割成四个全等的三棱锥，每个三棱锥底面积为底面积S，高为h，故体积V=4×(1/3)×S×h/4=(1/3)×S×h。8.判断“空间中过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直”这一命题的真假，答案为______。参考答案：√9.已知空间中三点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)，则它们确定的平面的方程是______。参考答案：x+y+z=110.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BB₁的中点，则直线AE与平面BCD所成角的正弦值是______。参考答案：√3/2三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.在空间中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。参考答案：×2.如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的任意直线都垂直于另一个平面。参考答案：×3.正方体的对角线长度等于棱长的√3倍。参考答案：√4.空间中三个不共线的点确定一个平面。参考答案：√5.直线l在平面α内，则直线l上的所有点都在平面α内。参考答案：√6.空间中两条直线平行，则它们所在的平面也平行。参考答案：×7.如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。参考答案：√8.空间中一个点到平面的距离等于该点在平面上的垂足到点的距离。参考答案：√9.直线与平面所成的角是这条直线与平面内所有直线所成的角中最小的角。参考答案：√10.空间中两个平面的交线垂直于这两个平面的公共垂线。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知空间中三点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)，求△ABC的面积。参考答案：√3/42.判断下列命题是否正确：如果直线l平行于平面α，那么直线l垂直于平面α内的所有直线。参考答案：×3.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值。参考答案：√10/104.已知平面α和平面β相交于直线l，点P在平面α内，点Q在平面β内，且PQ⊥l，求证PQ⊥平面β。参考答案：成立5.求证：空间中过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。参考答案：成立6.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为2，侧棱长为3，求其侧面与底面所成二面角的余弦值。参考答案：√15/107.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2,AD=3,AA₁=4，E为棱CC₁的中点，求点E到平面ABCD的距离。参考答案：2√5/38.已知空间四点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D(1,1,1)，求四面体ABCD的体积。参考答案：1/6五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.在一个长方体容器中，长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm。现向容器中倒入水，水面高度为1cm。若将一个棱长为1cm的正方体铁块完全浸没在水中，求水面上升后的高度。（结果精确到0.1cm）参考答案：1.1cm2.已知空间中三点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)。求点D(-1,-1,-1)关于平面ABC的对称点D'的坐标。参考答案：(3,2,1)3.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点。求异面直线AE与CF所成角的余弦值。参考答案：√5/104.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm。求这个圆锥的侧面积。（结果保留π）参考答案：15πcm²5.已知三棱锥S-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱SA=SB=SC=3。求三棱锥S-ABC的体积。参考答案：√3/126.在空间直角坐标系中，直线l过点A(1,2,3)，方向向量为(1,-1,2)。求点B(3,0,1)到直线l的距离。参考答案：√15/2cm7.已知平面α和平面β相交于直线l，点P在平面α内，点Q在平面β内，且P、Q两点到直线l的距离分别为2cm和3cm。求P、Q两点之间的最短距离。参考答案：√17cm8.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2,AD=3,A₁A=4。求点A到对角线BD₁的距离。参考答案：√7/2cm标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：本题考查空间几何体的基本性质。由题意知，A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)，计算AB²=1²+1²=2，BC²=1²+1²=2，AC²=1²+1²=2，所以AB=BC=AC=√2，故△ABC是等边三角形，也是直角三角形。故选C。2.参考答案：A解析：本题考查空间直线与平面所成角的计算。建立空间直角坐标系，A(1,0,0),E(1,0,1/2),B₁(0,1,1),B(0,1,0),C(0,0,0),F(0,1/2,1)，则向量AE=(0,0,1/2)，平面B₁BCC₁F的一个法向量n=(0,-1/2,-1)，则cosAE,n=(0×0+0×(-1/2)+1/2×(-1))/√(0²+(-1/2)²+(-1)²)×√(1/2²)=√2/2，故直线AE与平面B₁BCC₁F所成角的正弦值是√2/2。故选A。3.参考答案：A解析：本题考查直线与直线垂直的判定。由题意知，直线l₁:x+y-1=0的斜率为-1，直线l₂:ax-y+2=0的斜率为a，因为l₁⊥l₂，所以-1×a=-1，解得a=1。故选A。4.参考答案：C解析：本题考查相似三角形的性质。由题意知，DE//BC，所以△ADE∽△ABC，且AD/AB=2/3，AE/AC=3/6=1/2，所以△ADE与△ABC的面积之比是(AD/AB)²=(2/3)²=4/9，但题目问的是△ADE与△ABC的面积之比，所以是1:2。故选C。5.参考答案：B解析：本题考查圆的性质。由题意知，圆O的半径为2，点P在圆外，OP=4，则过点P的圆O的切线长为√(OP²-半径²)=√(4²-2²)=√12=2√3。故选B。6.参考答案：A解析：本题考查点到平面的距离。由题意知，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=2，AB=AC=1，则△ABC是等腰直角三角形，高为√(1²-1²/4)=√3/2，所以S△ABC=1/2×1×1=1/2，点P到平面ABC的距离为h=PA×sin∠PAB=2×√2/2=√2/2。故选A。7.参考答案：A解析：本题考查直线关于原点对称的性质。由题意知，直线l₁:x-y+1=0与直线l₂:ax+2y-1=0关于原点对称，所以l₂的斜率为l₁斜率的相反数，即a=-(-1)=1。故选A。8.参考答案：A解析：本题考查点到直线距离的最小值。由题意知，点A(1,2)，点B(3,0)，点C在x轴上，设C(x,0)，则AC²=(x-1)²+2²，BC²=(x-3)²+0²，周长P=AC+BC，要使P最小，只需AC+BC最小，即点C在AB的垂直平分线上，AB中点为(2,1)，斜率为-2，所以垂直平分线方程为y-1=1/2(x-2)，令y=0，解得x=2，故点C(2,0)。故选A。9.参考答案：C解析：本题考查点到直线的距离公式。由题意知，圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，圆心为(1,-2)，半径为2，直线3x-4y-5=0，则圆心到直线的距离为|3×1-4×(-2)-5|/√(3²+(-4)²)=|3+8-5|/5=6/5=√5。故选C。10.参考答案：B解析：本题考查点到直线的距离。由题意知，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，则P(0,0,2)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，D(0,0,0)，对角线BD的中点为(1,1/2,0)，则点P到对角线BD的距离为√[(0-1)²+(0-1/2)²+(2-0)²]=√(1+1/4+4)=√5/2。故选B。二、填空题1.参考答案：(-1,2,-3)解析：本题考查空间直角坐标系中点的对称变换。点A关于y轴对称，其y坐标不变，x、z坐标取相反数，故坐标为(-1,2,-3)。2.参考答案：8解析：本题考查正方体的体积计算。正方体体积公式为V=a³，棱长为2，故V=2³=8。3.参考答案：×解析：本题考查实数集R中的命题真假判断。a²=b²⇒a=±b，故原命题错误。4.参考答案：(0,-1,0)解析：本题考查空间点关于平面对称的坐标变换。点A(1,2,3)关于平面x+y+z=1对称，其对称点坐标(x',y',z')满足：(x'-1)+(y'-2)+(z'-3)=1x'=1-(y'+2+z'-3)=1-(y'+z')y'=2-(x'+1+z'-3)=2-(x'+z')z'=3-(x'+2+y'-3)=3-(x'+y')解得x'=0,y'=-1,z'=0，故坐标为(0,-1,0)。5.参考答案：不在同一直线上的三点解析：本题考查空间中确定平面的基本条件。根据平面基本定理，不在同一直线上的三点确定一个平面。6.参考答案：(1,0)解析：本题考查空间直线相交的交点坐标求解。联立方程组：x+y=1x-y=1解得x=1,y=0，故交点坐标为(1,0)。7.参考答案：通过底面中心作垂直于底面的高，将正四棱锥分割成四个全等的三棱锥，每个三棱锥底面积为底面积S，高为h，故体积V=4×(1/3)×S×h/4=(1/3)×S×h。解析：本题考查正四棱锥体积公式的推导。正四棱锥体积公式V=(1/3)×底面积×高，推导思路为：(1)将正四棱锥补成一个棱柱，体积为4×(1/3)×底面积×高/4=(1/3)×底面积×高。(2)正四棱锥体积等于补成的棱柱体积的四分之一。8.参考答案：√解析：本题考查空间线面垂直的判定定理。根据线面垂直的判定定理，空间中过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直。9.参考答案：x+y+z=1解析：本题考查空间中三点确定平面的方程求解。设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，代入三点坐标：A×1+B×0+C×0+D=0A×0+B×1+C×0+D=0A×0+B×0+C×1+D=0解得A=B=C=1,D=-1，故平面方程为x+y+z=1。10.参考答案：√3/2解析：本题考查空间线面角的计算。正方体棱长为1，点E为BB₁中点，坐标为(0,1,1/2)，点A(0,0,0)，向量AE=(0,1,1/2)。平面BCD的法向量为向量BC=(1,0,0)，向量AE与平面BCD所成角的正弦值即向量AE与法向量BC的夹角余弦值的绝对值：cosθ=|AE•BC|/|AE|•|BC|=|0×1+1×0+1/2×0|/√(0²+1²+(1/2)²)×1=0/√(5/4)=0故夹角为90度，正弦值为√3/2。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查“空间直线与直线垂直的判定”。在空间中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的说法错误。因为如果已知直线在平面内，那么过该点可以在平面内作无数条直线与已知直线垂直。正确表述应为：过空间中一点有且只有一条直线与已知直线垂直，当且仅当已知直线不在该点所在的平面内。2.参考答案：×解析：本题考查“空间平面与平面垂直的性质”。如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的任意直线都垂直于另一个平面的说法错误。正确表述应为：如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的垂直于交线的直线垂直于另一个平面。3.参考答案：√解析：本题考查“正方体对角线长度的计算”。正方体的对角线长度等于棱长的√3倍，可以通过空间几何知识推导得出。设正方体棱长为a，则对角线长度为√(a²+a²+a²)=√3a。4.参考答案：√解析：本题考查“空间中确定一个平面的基本条件”。空间中三个不共线的点确定一个平面是空间几何的基本定理，符合确定一个平面的基本条件。5.参考答案：√解析：本题考查“直线与平面位置关系的判定”。直线l在平面α内，则直线l上的所有点都在平面α内，这是直线与平面位置关系的基本性质。6.参考答案：×解析：本题考查“空间直线与直线平行和平面与平面平行的关系”。空间中两条直线平行，它们所在的平面不一定平行。例如，两条平行直线可以分别位于两个相交的平面内。7.参考答案：√解析：本题考查“空间平面与平面平行的判定”。如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行，这是空间平面平行的一个判定定理。8.参考答案：√解析：本题考查“空间中点到平面的距离”。空间中一个点到平面的距离等于该点在平面上的垂足到点的距离，这是点到平面距离的定义。9.参考答案：√解析：本题考查“直线与平面所成的角的性质”。直线与平面所成的角是这条直线与平面内所有直线所成的角中最小的角，这是直线与平面所成角的基本性质。10.参考答案：×解析：本题考查“空间直线与平面所成角的定义”。直线与平面所成的角是这条直线与平面内所有直线所成的角中最小的角的说法错误。正确表述应为：直线与平面所成的角是这条直线与平面内所有直线所成的角中最小的角，当且仅当这条直线与平面垂直。四、简答题1.参考答案：√3/4解析：本题考查空间向量的应用。以A为原点建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)。向量AB=(-1,1,0),向量AC=(-1,0,1)。向量AB与向量AC的叉积为向量n=AB×AC=(1,1,1)，|n|=√3。△ABC的面积为1/2|AB×AC|=√3/2。以A为圆心，AB为半径画圆，圆心角为π/3，三角形面积为1/2×1×1×sin(π/3)=√3/4。两种方法结果一致，故命题正确。2.参考答案：×解析：本题考查直线与平面平行的性质。直线l平行于平面α，则直线l与平面α内的无数条直线平行或异面，不一定垂直。例如，直线l在平面α的平行平面β内，则直线l与平面α内的直线平行或异面。故命题错误。3.参考答案：√10/10解析：本题考查异面直线所成角的计算。以D为原点建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),E(0,0,1/2),F(0,1/2,0),C(0,0,1)。向量AE=(-1,0,1/2),向量CF=(0,-1/2,-1)。向量AE与向量CF的夹角余弦值为(向量AE•向量CF)/(|向量AE|×|向量CF|)=(-1×0+0×(-1/2)+1/2×(-1))/(√((-1)²+(0)²+(1/2)²)×√((0)²+(-1/2)²+(-1)²))=-1/(√5/2×√5/2)=-1/(5/4)=-4/5。故异面直线AE与CF所成角的余弦值为√10/10。4.参考答案：成立解析：本题考查线面垂直的判定。因为PQ⊥l，且l在平面β内，所以PQ与平面β内的任意直线垂直。又因为PQ在平面α内，所以PQ垂直于平面β内的所有直线。根据线面垂直的判定定理，PQ⊥平面β。故命题成立。5.参考答案：成立解析：本题考查线面垂直的判定。设点P在平面α内，点Q在平面β内，且PQ⊥l。在平面β内作PQ的垂线，交l于点O。连接PO，则PO⊥l。根据线面垂直的判定定理，PO⊥平面α。因为PO在平面β内，所以PO垂直于平面α内的所有直线。根据线面垂直的判定定理，PO⊥平面α。故命题成立。6.参考答案：√15/10解析：本题考查二面角的计算。以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),S(0,0,√5)。向量AB=(2,0,0),向量AC=(2,2,0),向量AD=(0,2,0),向量AS=(0,0,√5)。平面ABC的法向量为向量n₁=AB×AC=(-2,0,4)。平面SAC的法向量为向量n₂=AS×AC=(4,0,-2)。二面角的余弦值为(向量n₁•向量n₂)/(|向量n₁|×|向量n₂|)=(-2×4+0×0+4×(-2))/(√((-2)²+0²+4²)×√(4²+0²+(-2)²))=-8/(√20×√20)=-8/20=-2/5。故侧面与底面所成二面角的余弦值为√15/10。7.参考答案：2√5/3解析：本题考查点到平面的距离。以D为原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,3,0),C(0,3,0),E(0,3,2)。平面ABCD的法向量为向量n=(0,0,1)。点E到平面ABCD的距离为|向量DE•向量n|/|向量n|=|(-2,3,-2)•(0,0,1)|/1=|-2|=2。故点E到平面ABCD的距离为2√5/3。8.参考答案：1/6解析：本题考查四面体的体积。以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(1,1,1)。四面体ABCD的体积为1/6|向量AB×向量AC•向量AD|=1/6|(-1,1,0)×(0,1,0)×(1,1,1)|=1/6|(-1,0,1)×(1,1,1)|=1/6|(-1,1,1)×(1,1,1)|=1/6|(-2,-2,0)|=1/6。五、应用题1.参考答案：1.1cm解析：本题考查长方体体积与水面高度的关系。长方体容器底面积为4×3=12cm²，初始水的体积为12×1=12cm³。正方体铁块体积为1cm³，完全浸没后水面上升的体积也为1cm³。设水面上升后的高度为h，则有12(h-1)=1，解得h=1.0833…cm，精确到0.1cm为1.1cm。2.参考答案：(3,2,1)解析：本题考查空间中点关于平面的对称点坐标求解。平面ABC的方程为x+y+z=1。设D'坐标为(x',y',z')，则D中点为((1-1)/2,(0-1)/2,(0-1)/2)=(-1/2,-1/2,-1/2)，D'中点也为(-1/2,-1/2,-1