《离散数学（微课版第2版）》 第3至第5章 集合与关系理论-教案

PAGE1课程教案第9次课授课单元（章节)第3章集合论：3.1集合的概念及其表示；3.2集合的运算及恒等式（交与并）授课学时2授课类型讲授课(√)实践课()其它()授课周次教学目标知识目标：1.理解集合、元素、有限集、无限集、空集和全集等基本概念，掌握列举法、描述法等集合表示方法。2.掌握子集、真子集、集合相等和幂集的定义，理解有限集幂集基数为2的n次方的结论。3.掌握交集、并集的定义、符号与基本性质，能用文氏图和元素法解释运算结果。能力目标：1.能把实际对象抽象为集合，并规范使用属于、包含、相等等符号表达集合关系。2.能根据定义求有限集合的子集、幂集、交集和并集，并完成简单证明。素质目标（课程思政）：1.通过康托尔创立集合论及其学术经历，引导学生理解科学理论在质疑、修正和完善中发展。2.通过集合概念的严格定义，培养实事求是、规范表达和认真求证的学习习惯。教学重点、难点1.教学重点：（1）集合与元素、属于与不属于、子集与真子集、集合相等的定义及符号表达。（2）幂集的构造方法及有限集幂集的基数。（3）交集、并集的定义、文氏图表示和基本运算。2.教学难点：（1）区分元素与子集、属于关系与包含关系，避免把空集、空集的单元素集合混淆。（2）从任意元素出发证明集合相等或包含关系。（3）由集合的内涵描述准确写出外延，并判断描述范围是否完整。教学方法1.讲授法：围绕“对象—集合—元素—集合关系—集合运算”建立概念主线。2.案例教学法：用整数集合、课程名单、文件集合等实例解释集合的确定性、互异性和无序性。3.启发式教学法：通过“空集是不是任何集合的子集”“元素与单元素集合是否相同”等问题辨析概念。4.练习法：当堂完成幂集构造、交并运算及集合包含关系判断。教学手段1.多媒体课件：使用第三章新版PPT展示集合论发展史、概念定义、文氏图和例题。2.板书：归纳属于与包含、子集与真子集、交与并的符号及判定条件。3.教材及讲义：用于定义核对、例题演算和课后复习。4.线上教学平台：用于签到、发布随堂练习和收集易错点。教学内容一、集合的概念及其表示1.集合是教材采用的基本概念。说明元素与集合的记号：若a是集合A的元素，记作a∈A；否则记作a∉A。集合用列举法或描述法表示，并使用N、Z、Q、R、C表示常用数集。2.有限集、无限集与集合基数。有限集合中互不相同元素的个数记作|A|；说明集合元素具有确定性、互异性和无序性。二、集合之间的关系及特殊集合1.定义3.1子集：若A的每一个元素都是B的元素，则A是B的子集，记作A⊆B。形式化表述为A⊆B⇔∀x(x∈A→x∈B)。2.定义3.2集合相等：A=B⇔A⊆B∧B⊆A。证明两个集合相等时使用互为子集的方法。3.定义3.3真子集：若A⊆B且A≠B，则A是B的真子集，记作A⊂B。4.定义3.4空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。定理3.1指出空集是任意集合的子集。5.定义3.5全集：在一定范围内，若所讨论的所有集合都是某一集合的子集，则该集合称为全集，记作E。6.定义3.6幂集：集合A的所有子集组成的集合称为A的幂集，记作P(A)。教材给出的A={a,b,c}的幂集共有8个元素；定理3.2指出，若有限集合A有n个元素，则|P(A)|=2ⁿ。三、集合的运算及恒等式1.定义3.7：教材在同一定义中给出并集、交集和相对补集：A∪B={x|x∈A∨x∈B}，A∩B={x|x∈A∧x∈B}，A−B={x|x∈A∧x∉B}。2.结合图3.1说明并、交与相对补的文氏图表示，并按教材表3.1整理交换律、结合律、分配律、吸收律及德摩根律等集合恒等式。3.教材例3.1：证明S₃₄：A∪(B−C)⊇(A∪B)−(A∪C)。板书保留任取元素并逐步变形成员关系的证明过程。4.教材例3.2：证明A∩(B−C)=(A∩B)−(A∩C)。用元素法把集合成员关系依次化为命题逻辑公式。5.教材例3.3：对例3.2中的恒等式使用集合代数法证明，与元素法进行比较。6.教材例3.4：证明对称差满足结合律(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)。本例安排在对称差定义之后讲授。教学设计及时间安排教学设计时间分配（分钟）（一）复习及提问1.考勤点名（2分钟）。2.回顾命题与谓词逻辑中的集合符号基础，提问“一个对象满足什么条件才能明确归入某个集合”（3分钟）。5（二）课程引入课程导入（5分钟）：从学生名单、文件目录和点云数据三个例子出发，比较它们的共同结构，引出集合、元素以及集合表示问题。5（三）课程内容新课内容讲授（77分钟）：1.前置知识回顾（5分钟）：回顾命题逻辑中的联结词、等值式以及谓词逻辑中的量词，为集合的描述法和元素法证明作准备。2.3.1集合的概念及表示（10分钟）：元素与集合、列举法与描述法、常用数集记号。3.定义3.1—定义3.6（22分钟）：子集、集合相等、真子集、空集、全集和幂集；定理3.1、定理3.2。4.定义3.7（12分钟）：并集、交集、相对补集及图3.1。5.集合恒等式（8分钟）：依据教材表3.1梳理基本运算律。6.例3.1—例3.3（15分钟）：包含关系、元素法证明与集合代数法证明。7.例3.4（5分钟）：对称差结合律，作为下次课定义3.8的衔接。77（四）融入课程思政设计融入课程思政设计（3分钟）：结合康托尔提出集合论后经历长期争议的史实，说明科学创新既需要坚持真理，也必须接受严格检验，培养理性批判和规范论证意识。3（包含在新课内容讲授的77分钟内）（五）互动环节设计互动环节设计（5分钟）：给出A={1,{1},空集}，组织学生判断若干属于关系与包含关系，并分组列出P({a,b,c})，教师根据答案集中纠正常见混淆。5（包含在新课内容讲授的77分钟内）课堂小结（3分钟）：按“集合与元素—集合表示—集合关系—幂集—交与并”的顺序梳理知识框架，强调符号对象层次和元素法证明思路，并预告差、补、对称差及包含排斥原理。3课后作业或思考题作业题目均选自《离散数学（微课版第2版）》第3章章末习题（教材第59—61页）。一、必做题1.第1题（1）（3）（5）：集合的表示式。2.第5题（1）—（8）：空集、元素关系与包含关系判断。3.第7题（1）（3）（4）（5）：求幂集。4.第11题：集合的交、并运算。二、选做题5.第8题：P(P(A))中的元素关系与包含关系。6.第9题：101个元素集合的子集计数。教学总结与反思1.教学目标达成情况：本次课完成集合语言的建立，学生应能区分元素与集合、属于与包含，并能用列举法、描述法表示集合，独立完成有限集幂集及交、并运算。2.重点内容掌握情况：集合表示、子集、幂集和交并运算总体直观，但学生对∅、{∅}、P(∅)的对象层次以及“∈”和“⊆”的使用仍可能混淆，应结合教材第5、7、8题检查掌握情况。3.难点突破情况：双向包含法和|P(A)|=2ⁿ的推导是本次课的主要难点。课堂中应观察学生能否从“任取元素”开始组织证明，能否用“选入/不选入”解释幂集计数。4.课堂互动情况：通过A={1,{1},∅}的符号判断和P({a,b,c})的分组构造，记录学生错误集中在哪一对象层次，并及时用集合层级图纠正。5.学情差异与改进：基础薄弱学生先完成有限集合的列举与判断，学有余力学生补充参数集合相等证明。下次课开始前用3分钟复测属于、包含和幂集。6.课后反馈：依据教材作业第5、7、8题的错误率调整差、补、对称差的导入速度，并在实际授课后补记目标达成度和典型错误。备注1.本次课是集合、关系和函数三章的语言基础，所有符号须按教材规范书写，并随时说明符号两侧对象的类型。2.讲解空集时必须明确∅是集合，{∅}是以空集为唯一元素的集合；讲解幂集时强调P(A)的元素全部是A的子集。3.幂集例题宜从∅、单元素集、二元素集逐步递进，再归纳|P(A)|=2ⁿ，避免直接给出结论。4.板书保留“双向包含法”的完整格式以及交、并的元素定义；PPT中的历史与应用材料择要讲授，不挤占基础符号训练。5.课后根据第3章章末习题的完成情况记录高频错误，并在下次课回顾中安排针对性讲解。

第10次课授课单元（章节)第3章集合论：3.2集合的运算及恒等式、3.3有穷集计数与包含排斥原理、3.4应用；第4章：4.1多重序元与笛卡儿积、4.2关系的基本概念授课学时2授课类型讲授课(√)实践课()其它()授课周次教学目标知识目标：1.掌握差、补、对称差的定义，理解集合运算恒等式及其证明方法。2.掌握两个和三个有限集合的包含排斥公式，理解一般包含排斥原理的计数思想。3.理解序偶、多重序元和笛卡尔乘积，掌握二元关系、关系相等、定义域和值域的概念。能力目标：1.能用元素法、集合恒等式和文氏图化简或证明集合表达式。2.能把实际计数问题转化为集合并集基数问题，并正确处理重复计数。3.能由集合写出笛卡尔乘积与二元关系，并从有序对集合中求定义域和值域。素质目标（课程思政）：1.通过包含排斥原理的“先计入、再纠偏”过程培养全面分析和校验意识。2.通过集合到关系的抽象层次提升，体会数学结构在数据库和人工智能中的基础作用。教学重点、难点1.教学重点：（1）差、补、对称差的定义及集合恒等式。（2）两个、三个有限集合的包含排斥公式及应用。（3）序偶、笛卡尔乘积和二元关系的定义，关系的定义域和值域。2.教学难点：（1）集合恒等式的元素法证明与代数化简方法。（2）包含排斥原理中交集项的符号、层次和重复计数分析。（3）理解关系既是有序对集合，又带有明确的前域和陪域背景。教学方法1.讲授法：系统讲解集合运算、包含排斥原理以及关系概念的形成过程。2.问题驱动法：以多条件统计和数据库记录为情境，引导学生建立集合模型与关系模型。3.对比归纳法：比较无序集合与有序序偶、普通集合与笛卡尔乘积子集。4.练习法：安排集合恒等式证明、包含排斥计数和关系定义域值域计算。教学手段1.多媒体课件：使用第三章、第四章新版PPT展示运算示意图、计数例题、笛卡尔乘积与关系实例。2.板书：推导德摩根律、对称差表达式、三集合包含排斥公式和关系定义。3.图表：用文氏图标识重复计数区域，用有向连线说明有序对来源。4.线上教学平台：发布分段练习，收集第三章与第四章过渡处的理解问题。教学内容一、集合运算续讲1.定义3.8对称差：A⊕B=(A−B)∪(B−A)=(A∪B)−(A∩B)。从元素归属看，对称差由只属于A或只属于B的元素组成；定理3.3通过成员关系的等价变形证明两种表达式相同，并由此说明A⊕B=B⊕A、A⊕A=∅和∅⊕A=A。2.定义3.9绝对补：设E为全集且A⊆E，则A的绝对补集~A=E−A={x|x∉A}。讲解时先明确全集E，再由定义得到~∅=E、~E=∅和~~A=A，并结合德摩根律说明绝对补与并、交运算的关系。3.例3.5：证明A⊕B=A⊕C⇒B=C。在等式两边同时与A作对称差：A⊕(A⊕B)=A⊕(A⊕C)；利用结合律化为(A⊕A)⊕B=(A⊕A)⊕C，再由A⊕A=∅、∅⊕B=B和∅⊕C=C得到B=C。借此说明对称差的消去性质。4.例3.6：证明A∪B=B⇔A⊆B⇔A∩B=A⇔A−B=∅。第一步由A∪B=B推出任意x∈A均有x∈B；第二步由A⊆B证明A∩B=A；第三步由A∩B=A及A−B=A∩~B推出A−B=∅；第四步由A−B=∅和A∪B=B∪(A−B)推出A∪B=B。通过四个方向完成循环证明。5.例3.7：化简(((A∪B∪C)∩(A∪B))−((A∪(B−C))∩A))。由A∪B⊆A∪B∪C，前一交集化为A∪B；由A⊆A∪(B−C)，后一交集化为A；原式因此化为(A∪B)−A=B−A。板书时在每一步右侧注明所用包含关系。二、有穷集的计数和包含排斥原理1.由文氏图说明两个集合和三个集合的计数，进一步给出定理3.4的一般包含排斥原理。强调交集项按阶数交替加减。2.例3.8：求1∼1000范围内不能被5、6、8整除的数的个数。设A、B、C分别表示能被5、6、8整除的整数集合，计算|A|=200、|B|=166、|C|=125、|A∩B|=33、|A∩C|=25、|B∩C|=41、|A∩B∩C|=8；代入包含排斥公式得到|A∪B∪C|=400，故所求为600。3.例3.9：对24名会外语的科技人员进行英语、日语、德语和法语掌握情况调查。先用四个集合表示掌握四种语言的人员，依据题目条件从交集区域开始填写文氏图，再利用各集合人数反推只会一种语言的区域，最后求出只会英语、德语、法语、日语的人数及会三种语言的人数。重点说明“会日语的人既不懂法语也不懂德语”对应的交集为空。4.例3.10：欧拉函数φ(n)表示{0,1,…,n−1}中与n互素的数的个数。设n的不同素因子为p₁,p₂,…,pₖ，把与n不互素的数看作至少被一个pᵢ整除，利用包含排斥原理得到φ(n)=n(1−1/p₁)(1−1/p₂)…(1−1/pₖ)。三、4.1节多重序元与笛卡儿积1.定义4.1序偶与多重序元：由元素x、y按一定顺序排列成的二元组称为序偶，记作⟨x,y⟩。序偶与集合不同，元素次序不能交换；⟨x,y⟩=⟨u,v⟩当且仅当x=u且y=v。由序偶逐层推广到三重序元和n重序元，说明n重序元相等要求各对应分量分别相等。2.例4.1：已知⟨x+2,4⟩=⟨5,2x+y⟩，由序偶相等的充要条件得到x+2=5、2x+y=4，解得x=3、y=−2。通过本例强调序偶有次序，对应位置的元素必须分别相等。3.定义4.2笛卡儿积：设A、B为任意集合，所有第一元素属于A、第二元素属于B的序偶组成的集合称为A与B的笛卡儿积，记作A×B，即A×B={⟨x,y⟩｜x∈A∧y∈B}。若|A|=m、|B|=n，则|A×B|=mn；A×∅=∅、∅×A=∅；一般A×B≠B×A。4.例4.2：按照教材给定的集合A、B分别写出A×B、B×A、A×A及相关交集，通过序偶排列次序比较A×B与B×A，并核对笛卡儿积的元素个数。5.n个集合的笛卡儿积：A₁×A₂×…×Aₙ由所有满足xᵢ∈Aᵢ的n重序元⟨x₁,x₂,…,xₙ⟩组成，为n元关系的定义建立基础。四、4.2节关系的基本概念1.定义4.3n元关系与二元关系：若R⊆A₁×A₂×…×Aₙ，则R称为A₁、A₂、…、Aₙ之间的n元关系；n=2时称为从A₁到A₂的二元关系。R=∅称为空关系，R=A₁×A₂×…×Aₙ称为全关系；若各Aᵢ均为A，则称R为A上的n元关系。若⟨x,y⟩∈R，也记作xRy。2.例4.4—例4.5：根据教材给定集合列出小于等于关系、大于等于关系及相应有序对；比较一元、二元和三元关系，明确关系的元数及其所属笛卡儿积。3.定义4.4关系相等：两个关系相等必须同时满足元数相同、对应位置的集合相同，并且作为有序组集合时包含完全相同的元素。结合例4.6说明“作为集合相等”不一定意味着“作为关系相等”，还必须检查关系的背景集合。4.定义4.5全域关系与恒等关系：集合A上的全域关系E_A=A×A；恒等关系I_A={⟨x,x⟩｜x∈A}。说明E_A包含A上全部序偶，I_A只包含两个分量相同的序偶，并结合例4.7辨析E_A、I_A及其补关系。5.定义4.6关系的定义域、值域和域：domR由R中所有序偶的第一元素组成，即domR={x｜∃y(⟨x,y⟩∈R)}；ranR由所有第二元素组成，即ranR={y｜∃x(⟨x,y⟩∈R)}；关系的域fldR=domR∪ranR。结合例4.8分别收集有序对的第一、第二分量并去除重复元素。教学设计及时间安排教学设计时间分配（分钟）（一）复习及提问1.考勤点名（2分钟）。2.回顾交集、并集和集合包含关系，提问如何用任意元素法证明两个集合相等（3分钟）。5（二）课程引入课程导入（5分钟）：用“同时选修两门课程的人数”说明重复计数问题，引出差、补、对称差和包含排斥原理；再用数据库中的学生—课程记录引出有序对与关系。5（三）课程内容新课内容讲授（77分钟）：1.上节回顾（5分钟）：回顾子集、幂集、并集、交集、相对补以及元素法和集合代数法，为对称差、绝对补和恒等式化简作准备。2.定义3.8、定义3.9与定理3.3（9分钟）：对称差、绝对补及其表达式。3.例3.5—例3.7（11分钟）：对称差性质、集合包含关系的等价刻画与集合公式化简。4.3.3有穷集的计数和包含排斥原理（22分钟）：定理3.4；教材例3.8—例3.10。5.第4章导入（3分钟）：考察两个事物之间的关系，首先需要将它们组合在一起构成配对。介绍多重序元与笛卡儿积的概念，说明笛卡儿积将两个集合中的元素按次序配对，是定义关系概念的基础。6.4.1节多重序元与笛卡儿积（14分钟）：定义4.1序偶与多重序元、例4.1、定义4.2笛卡儿积及例4.2。7.4.2节关系的基本概念（13分钟）：定义4.3n元关系与二元关系、定义4.4关系相等、定义4.5全域关系与恒等关系、定义4.6定义域、值域和域。77（四）融入课程思政设计融入课程思政设计（3分钟）：从包含排斥原理对重复信息的逐层校正，引导学生形成全面统计、主动核验的责任意识；联系关系模型在国产数据库中的基础作用，增强专业认同。3（包含在新课内容讲授的77分钟内）（五）互动环节设计互动环节设计（5分钟）：小组解决一个三类社团报名人数问题并说明每一项的计数含义；随后给出两个小集合，快速写出笛卡尔乘积和其中一个二元关系。5（包含在新课内容讲授的77分钟内）课堂小结（3分钟）：总结“集合运算—计数纠偏—有序组合—关系建模”的知识链，强调对称差、包含排斥符号和关系定义中的次序性。3课后作业或思考题作业题目均选自《离散数学（微课版第2版）》第3、4章章末习题。一、必做题1.第3章第13题（1）—（4）：集合运算。2.第3章第18题（1）—（4）：化简集合公式。3.第3章第23题：包含排斥原理的整除计数。4.第4章第1题（1）—（3）：笛卡儿积。5.第4章第6题（1）—（4）：写出给定集合上的关系。二、选做题6.第3章第15题（1）—（3）：集合恒等式证明。7.第4章第3题（1）：笛卡儿积恒等式证明。教学总结与反思1.教学目标达成情况：本次课应完成第三章收束并进入第四章，使学生能够进行差、补、对称差和包含排斥计算，同时理解序偶、笛卡儿积和二元关系的基本定义。2.重点内容掌握情况：两集合包含排斥公式较易理解，三集合及一般形式容易遗漏交集项或弄错正负号；应通过教材第23题检查建模与重复计数意识，并观察学生能否根据例3.9的调查条件正确划分文氏图区域。3.难点突破情况：跨章过渡的关键是从“对象归类”转向“对象间联系”。应检查学生是否真正理解序偶的次序性，以及R⊆A×B中前域、陪域对有序对类型的限制。4.课堂节奏与互动：前半课内容计算量较大，需根据例3.8的完成情况控制一般包含排斥证明深度；后半课至少保留一个完整的笛卡儿积与关系构造练习。5.学情差异与改进：对公式记忆困难的学生使用文氏图逐区计数；对基础较好的学生要求解释一般公式中交替加减的系数来源。6.课后反馈：统计教材第13、18、23题和第4章第1、6题的错误类型，下一次课复习关系定义域、值域和合成条件。备注1.本次课跨越第三、四两章，板书应明确分区，并在进入4.1前给出第三章“集合运算—恒等式—包含排斥”的知识小结。2.例3.8重点说明两两交集和三重交集的计数；例3.9重点说明如何把调查条件转换为文氏图各区域人数。3.笛卡儿积必须保留分量次序，关系定义必须保留前域、陪域背景；不得把有序对写成无序集合。4.课程应用部分只承担联系作用，核心时间用于公式含义、教材例题和关系定义训练。5.作业只采用教材原题号和原题干；如课堂进度不足，一般包含排斥的证明可作为阅读内容，但第23题应保留。第11次课授课单元（章节)第4章二元关系：4.3关系的运算、4.4关系的性质、4.5关系的表示、4.6关系的闭包运算授课学时2授课类型讲授课(√)实践课()其它()授课周次教学目标知识目标：1.掌握关系的交、并、差、对称差、合成、幂和逆运算。2.掌握关系图和关系矩阵两种表示方法，能由表示判断自反、反自反、对称、反对称和传递性质。3.理解自反闭包、对称闭包和传递闭包的定义、最小性及计算方法。能力目标：1.能用有序对、关系图和布尔矩阵计算合成关系及关系的幂。2.能选择适当表示验证关系性质，并计算有限关系的闭包。素质目标（课程思政）：1.通过同一关系的多种表示，培养从不同角度交叉验证结论的严谨意识。2.联系图神经网络中的关系传播与闭包计算，认识离散结构对人工智能技术的基础支撑。教学重点、难点1.教学重点：（1）关系合成的定义、次序及布尔矩阵计算。（2）由关系图和关系矩阵判断关系性质。（3）自反、对称、传递闭包的定义与计算。2.教学难点：（1）合成关系中中间元素的匹配及合成次序。（2）传递性与传递闭包的判断，避免只检查长度为2的一条路径。（3）理解闭包是包含原关系并满足指定性质的最小关系。教学方法1.讲授法：沿“运算—表示—性质—闭包”主线组织内容。2.演示法：动态展示关系图中的路径合成以及关系矩阵的布尔乘法。3.对比教学法：对照有序对法、关系图法和关系矩阵法的优缺点。4.练习法：设置合成、逆关系、性质判断和闭包计算的连续练习。教学手段1.多媒体课件：使用第四章新版PPT展示关系运算、图、矩阵和闭包例题。2.板书：规范写出合成定义、逆运算性质和三类闭包公式。3.图与矩阵：将同一有限关系同时画图、列矩阵并写成有序对集合。4.线上教学平台：发布布尔矩阵随堂题并即时统计答案。教学内容一、4.3节关系的运算1.关系本质上是有序对集合。对同一笛卡尔乘积A×B上的关系R、S，可定义R∪S、R∩S、R−S、R⊕S和补关系∼R=(A×B)−R，各运算逐个有序对进行。2.定义4.7逆关系：设R是二元关系，将R中每个序偶的第一元素同第二元素交换后所得的关系称为R的逆关系，简称R的逆，记作R⁻¹，其形式化表示为R⁻¹={⟨x,y⟩｜⟨y,x⟩∈R}。3.定义4.8关系的右合成：设F和G为二元关系，G对F的右合成记作F∘G，其形式化表示为F∘G={⟨x,y⟩｜∃t(⟨x,t⟩∈F∧⟨t,y⟩∈G)}。教材采用右合成，即先经过F，再经过G。4.教材例4.9：F={⟨3,3⟩,⟨6,2⟩}，G={⟨2,3⟩}，由定义求得F⁻¹={⟨3,3⟩,⟨2,6⟩}、F∘G={⟨6,3⟩}、G∘F={⟨2,3⟩}，据此说明关系合成一般不满足交换律。5.定义4.9关系的限制与像：设R是二元关系，A是集合。R在A上的限制记作R↾A，R↾A={⟨x,y⟩｜xRy∧x∈A}；A在R下的像记作R[A]，R[A]=ran(R↾A)。结合教材例4.10计算限制与像。6.定理4.1—定理4.6：依次讲解逆关系的基本性质、合成结合律、合成取逆时次序反转、逆运算对并与交的保持、恒等关系对合成的作用、合成对并与交的运算性质，以及限制和像对并与交的运算性质。7.定义4.10关系幂：给定集合A，R是A上的二元关系，n∈N。定义R⁰=IA={⟨x,x⟩｜x∈A}，Rⁿ⁺¹=Rⁿ∘R。8.定理4.7：对m,n∈N，有Rᵐ∘Rⁿ=Rᵐ⁺ⁿ，且(Rᵐ)ⁿ=Rᵐⁿ。结合定理4.8、定理4.9说明有限集上关系的幂序列具有周期性。二、4.4节关系的性质1.定义4.11自反与反自反：R是集合A上的二元关系。若对每个x∈A均有⟨x,x⟩∈R，则R是自反的；若对每个x∈A均有⟨x,x⟩∉R，则R是反自反的。2.定义4.11对称与反对称：若对任意x,y∈A，由⟨x,y⟩∈R可推出⟨y,x⟩∈R，则R是对称的；若⟨x,y⟩∈R且⟨y,x⟩∈R可推出x=y，则R是反对称的。3.定义4.11可传递与不可传递：若对任意x,y,z∈A，由⟨x,y⟩∈R且⟨y,z⟩∈R可推出⟨x,z⟩∈R，则R是可传递的；若存在x,y,z∈A，使⟨x,y⟩∈R、⟨y,z⟩∈R而⟨x,z⟩∉R，则R是不可传递的。4.教材例4.11：判断自然数集合N上的相等关系“＝”、大于关系“＞”和大于或等于关系“≥”分别具有哪些性质。教材例4.12：空集∅上的二元关系同时是自反的、反自反的、对称的、反对称的和可传递的。5.定理4.10：R在A上自反⇔IA⊆R；反自反⇔R∩IA=∅；对称⇔R=R⁻¹；反对称⇔R∩R⁻¹⊆IA；可传递⇔R∘R⊆R。教材例4.13据此证明关系的并、交对部分性质的保持。三、4.5节关系的表示1.定义4.12关系图：设A和B为任意非空有限集，R为从A到B的二元关系。以A∪B中的每个元素为结点，对每个⟨x,y⟩∈R且x∈A、y∈B，画一条从x到y的有向边，所得图称为R的关系图。结合教材例4.14绘制“整除”关系图。2.定义4.13关系矩阵：给定有限集X={x₁,x₂,…,xm}和Y={y₁,y₂,…,yn}，R是从X到Y的二元关系。若⟨xᵢ,yⱼ⟩∈R，则rᵢⱼ=1；若⟨xᵢ,yⱼ⟩∉R，则rᵢⱼ=0，所得关系矩阵记作MR。结合教材例4.15、例4.16完成关系图和关系矩阵的转换。3.关系性质的图与矩阵判据：分别从自圈、双向边、主对角线、转置对称及长度为2的路径判断自反、反自反、对称、反对称、可传递和不可传递。4.教材例4.17：计算R∘S并给出合成关系图和关系矩阵；关系矩阵的合成使用布尔运算，MR∘S=MR∧MS，其中cᵢⱼ=∨ₖ(aᵢₖ∧bₖⱼ)。教材例4.18用矩阵计算合成关系。5.教材例4.19：由R的关系图画出R²和R³的关系图，说明Rⁿ中的有序对对应关系图中连续经过n条边的路径。6.逆关系的表示：MR⁻¹=MR的转置；在关系图中，将R的每条有向边反向即可得到R⁻¹的关系图。四、4.6节关系的闭包运算1.定义4.14关系的闭包：给定集合A，R是A上的二元关系。若R'是自反的（对称的、可传递的），R⊆R'，且对任何包含R的自反关系（对称关系、可传递关系）R''都有R'⊆R''，则R'分别称为R的自反闭包、对称闭包、可传递闭包，记作r(R)、s(R)、t(R)。2.定理4.11：R自反⇔r(R)=R；R对称⇔s(R)=R；R可传递⇔t(R)=R。3.定理4.12：r(R)=R∪IA，s(R)=R∪R⁻¹，t(R)=⋃i=1∞Rⁱ=R¹∪R²∪R³∪…。教材例4.20按此求t(R)、t(S)并画相应关系图。4.定理4.13：若X含有n个元素，R是X上的二元关系，则t(R)=⋃i=1nRⁱ。教材例4.21根据关系图求R¹∪R²∪R³∪R⁴并画出可传递闭包。5.定理4.14：闭包运算对原关系性质的保持；定理4.15：rs(R)=sr(R)、rt(R)=tr(R)、st(R)⊆ts(R)。通常用R⁺表示t(R)，用R*表示自反可传递闭包tr(R)。教学设计及时间安排教学设计时间分配（分钟）（一）复习及提问1.考勤点名（2分钟）。2.回顾关系、定义域和值域，给出一个有限关系并判断其是否为集合上的关系（3分钟）。5（二）课程引入课程导入（5分钟）：以社交网络中的“朋友的朋友”和交通网络中的“可达”问题，引出关系合成、路径与闭包。5（三）课程内容新课内容讲授（77分钟）：1.上节回顾（5分钟）：回顾序偶、笛卡儿积、二元关系以及关系的定义域和值域，明确关系是有序对的集合。2.4.3节关系的运算（25分钟）：关系的交、并、差、补与对称差；定义4.7逆关系；定义4.8右合成；教材例4.9；定义4.9关系的限制与像及教材例4.10；定义4.10关系幂；定理4.1—定理4.9。3.4.4节关系的性质（17分钟）：定义4.11自反、反自反、对称、反对称、可传递与不可传递；结合教材例4.11、例4.12和定理4.10判断关系性质。4.4.5节关系的表示（12分钟）：定义4.12关系图、定义4.13关系矩阵；结合教材例4.14—例4.19完成关系图、关系矩阵、合成矩阵、关系幂和逆关系表示。5.4.6节关系的闭包运算（20分钟）：定义4.14关系的闭包；定理4.11—定理4.15；结合教材例4.20、例4.21计算可传递闭包；说明R⁺与R*。6.4.8.2图神经网络中的关系传播（3分钟）：关系合成、矩阵幂与多跳信息传播。77（四）融入课程思政设计融入课程思政设计（3分钟）：通过有序对、图和矩阵对同一结论的相互印证，强调工程设计中的多重校验；联系图神经网络的消息传播，说明基础理论对前沿技术的支撑。3（包含在新课内容讲授的77分钟内）（五）互动环节设计互动环节设计（5分钟）：给出四个结点的关系图，分组写出关系矩阵、计算二次幂并判断五种性质；各组比较使用图法和矩阵法的效率。5（包含在新课内容讲授的77分钟内）课堂小结（3分钟）：按“有序对运算—路径合成—图矩阵表示—性质判断—最小闭包”梳理本次课，强调合成次序和闭包最小性。3课后作业或思考题作业题目均选自《离散数学（微课版第2版）》第4章章末习题（教材第94—99页）。一、必做题1.第9题：关系的并、交、定义域、值域、域、合成与幂。2.第13题（1）—（4）：判断关系的基本性质。3.第20题：由关系写出关系图与关系矩阵。4.第21题：用矩阵方法计算关系合成与关系幂。5.第24题：求自反、对称和可传递闭包并画关系图。二、选做题6.第15题（1）—（5）：关系合成的性质判断。7.第27题（1）—（3）：R⁺与R*的性质证明。教学总结与反思1.教学目标达成情况：本次课集中训练关系运算、图矩阵表示、性质判断和闭包计算，学生应能在有序对、关系图和关系矩阵三种表示之间一致转换。2.重点内容掌握情况：关系合成和闭包是计算重点。应核查学生是否按中间元素匹配合成，是否能正确区分普通矩阵乘法与布尔矩阵乘法。3.难点突破情况：合成次序、传递性和传递闭包最易出错。课堂中应要求学生对不成立的性质给出明确反例，并用路径解释R²、R³和R⁺。4.教学方法效果：依次使用教材例4.9—例4.21讲解合成、取逆、画图、列矩阵、判断性质和求闭包，使定义、定理和例题编号保持一致，便于学生回查教材。5.学情差异与改进：基础学生优先掌握有序对法和关系图法，能力较强学生进一步使用布尔矩阵；对只凭图形直觉作答的情况要求补写定义依据。6.课后反馈：根据教材第9、13、20、21、24题的完成情况，判断是否需要补讲合成方向、矩阵行列顺序或闭包最小性。备注1.首次进行矩阵计算前必须写明布尔加法、布尔乘法规则，避免与普通数值运算混淆。2.关系合成符号的阅读次序应与教材保持一致：G对F的右合成记作F∘G，计算时先由F到中间元素，再由G到终点。3.性质判断需兼顾空集、空关系和恒等关系等边界情形；反对称与反自反不得混淆。4.闭包讲解须突出“包含原关系、满足指定性质、具有最小性”三个条件，传递闭包新增边后仍需继续检查更长路径。5.教材第24题依赖图4.23，布置作业时提示学生直接查阅教材原图，不在教案中另造关系图。

第12次课授课单元（章节)第4章二元关系：4.7.1集合的划分和覆盖、4.7.2等价关系、4.7.3相容关系授课学时2授课类型讲授课(√)实践课()其它()授课周次教学目标知识目标：1.理解集合覆盖、划分、划分的秩、加细和完全交集等概念。2.掌握等价关系、元素等价、等价类和商集的定义，理解等价关系与集合划分的一一对应。3.掌握相容关系、最大相容类的概念，理解相容关系确定覆盖而等价关系确定划分。能力目标：1.能判断关系是否为等价关系，求等价类、商集并由划分构造等价关系。2.能由相容关系图或简化矩阵寻找最大相容类。素质目标（课程思政）：1.通过“按共同标准分类”的思想培养规则意识和分类讨论能力。2.通过等价关系与划分的双向对应，体会不同表示背后结构的一致性。教学重点、难点1.教学重点：（1）等价关系的三条性质及等价类的计算。（2）等价关系与集合划分的相互构造。（3）相容关系、覆盖和最大相容类。2.教学难点：（1）证明等价类要么相等要么不相交，并由此形成划分。（2）区分等价关系的传递性与相容关系可能不传递。（3）从关系图中识别所有极大完全子图，避免遗漏最大相容类。教学方法1.讲授法：系统讲解划分、等价关系、等价类、相容关系的逻辑联系。2.对比归纳法：对比划分与覆盖、等价关系与相容关系、等价类与最大相容类。3.案例教学法：用模m同余、同姓关系、兴趣相容等实例说明抽象定义。4.练习法：安排等价类计算、由划分构造关系和最大相容类识别。教学手段1.多媒体课件：使用第四章新版PPT展示划分、等价类、关系图和简化矩阵。2.板书：证明等价类性质并画出“等价关系—划分”的双向对应图。3.图示：用文氏图表示划分与覆盖，用无向简化图寻找完全子图。4.线上教学平台：发布模同余等价类和最大相容类随堂题。教学内容一、集合的覆盖与划分1.定义4.15覆盖：给定非空集合S及非空集合𝒜={A₁,A₂,…,Aₙ}，若Aᵢ⊆S(i=1,2,…,n)，且⋃i=1nAᵢ=S，则称集合𝒜是集合S的覆盖。结合教材中S={a,b,c}的两个覆盖说明覆盖不唯一。2.定义4.16划分：给定非空集合S及非空集合𝒜={A₁,A₂,…,Aₙ}，若Aᵢ是S的非空子集，任意两个不同的类满足Aᵢ∩Aⱼ=∅(i≠j)，且⋃i=1nAᵢ=S，则称集合𝒜是集合S的一个划分，Aᵢ称为划分的类。有限划分的类的数目称为划分的秩。3.教材原例：对S={1,2,3}及教材给出的集合族𝒜、B、C、D、E、F逐一判断覆盖与划分；其中C、D、E既是覆盖也是划分，D是最小划分，E是最大划分。4.定义4.17划分的加细：设𝒜和𝒜'是非空集合S的两种划分。若𝒜'的每一个类A'ⱼ都是𝒜的某一个类Aᵢ的子集，则称𝒜'是𝒜的加细；若𝒜'≠𝒜，则称𝒜'是𝒜的真加细。5.极小项或完全交集：设A、B、C是全集E的三个子集，由A、B、C生成的E的划分的类称为极小项或完全交集。按教材图4.9列出I₀—I₇。定理4.16说明，全集E的n个子集所生成的全部极小项集合构成E的一个划分。二、4.7.2等价关系1.定义4.18等价关系：设X是任意集合，R是X中的二元关系。若R是自反的、对称的和可传递的，则称R是等价关系。结合教材例4.22验证集合A={1,2,…,7}上“x−y可被3整除”的关系并写出关系图和关系矩阵。2.定义4.19模等价：设m是正整数，x,y∈Z。若存在整数n使x−y=n·m，则称x模等价于y，记作x≡y(modm)，m称为等价的模数。定理4.17证明集合A⊆Z上的模m相等关系是等价关系。2.定义4.19模m同余关系：对正整数m和整数x、y，若m整除x−y，则称x模m同余于y，记作x≡y(modm)；按自反、对称、传递三个条件验证其为等价关系。三、等价类与商集1.定义4.20等价类：设R是集合A上的等价关系。对任何x∈A，定义[x]R={y｜y∈A∧xRy}，称其为由x关于R的等价类；也可写成[x]或x/R。结合教材例4.23求A={a,b,c,d}中各元素的等价类。2.定理4.18、定理4.19：x∈[x]R；对所有x,y∈A，有[x]R=[y]R或[x]R∩[y]R=∅；并且⋃x∈A[x]R=A。定理4.20说明非空集合A的全部R等价类构成A的一个划分。3.定义4.21商集：设R是非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类为元素的集合{[x]R｜x∈A}称为A关于R的商集，记作A/R，也可写作A(modR)。商集的基数称为等价关系R的秩。4.教材例4.24：R为整数集合Z上的模3同余关系，求[0]R、[1]R、[2]R，并写出Z/R={[0]R,[1]R,[2]R}。5.定理4.21：设C是非空集合A的一个划分，由xRy⇔∃S(S∈C∧x∈S∧y∈S)所确定的关系R是A上的等价关系。教材例4.25根据划分C={{a,b},{c},{d,e}}写出相应的等价关系。四、4.7.3相容关系1.定义4.22相容关系：给定集合A中的二元关系R，若R是自反的、对称的，则称R是相容关系。所有等价关系都是相容关系，但相容关系不一定是等价关系。2.教材相容关系原例：A={2166,243,375,648,455}，R表示“x和y有相同的数字”。按教材原数据写出R的关系图和关系矩阵，说明最大相容类形成覆盖，但不一定形成划分。3.定义4.23最大相容类：设≈是集合X中的相容关系，A⊆X。若A中的每个元素都与A中其他所有元素相容，而X−A中不存在能与A中所有元素都相容的元素，则A称为最大相容类。4.关系图法：最大相容类对应关系图中的最大完全多边形。结合教材例4.26、例4.27，根据图4.13、图4.15寻找全部最大完全多边形及最大相容类。5.关系矩阵法：按教材规定的扫描步骤，从简化关系矩阵中合并能够扩充的相容偶对。结合教材例4.28、例4.29求图4.15所示关系的全部最大相容类。五、等价关系与相容关系的比较1.等价关系满足自反性、对称性和可传递性，其等价类相等或互不相交，能够确定集合的划分。2.相容关系满足自反性和对称性，其最大相容类可以相交，能够定义集合的覆盖。3.所有等价关系都是相容关系，但相容关系不一定是等价关系。教学设计及时间安排教学设计时间分配（分钟）（一）复习及提问1.考勤点名（2分钟）。2.回顾自反、对称和传递性质，给出一个关系图让学生快速判断（3分钟）。5（二）课程引入课程导入（5分钟）：比较“按班级分组”和“按兴趣小组分组”，观察前者互不重叠、后者可以交叠，引出划分、覆盖、等价关系和相容关系。5（三）课程内容新课内容讲授（77分钟）：1.上节回顾（5分钟）：回顾关系合成、关系性质、关系图、关系矩阵和闭包运算，说明这些工具将用于研究特殊关系。2.4.7.1集合的划分和覆盖（21分钟）：定义4.15覆盖、定义4.16划分、划分的秩、最大划分与最小划分；定义4.17加细与真加细；极小项或完全交集及定理4.16。3.4.7.2等价关系（18分钟）：定义4.18等价关系；教材例4.22；定义4.19模等价及定理4.17。4.4.7.2等价类、商集及划分（20分钟）：定义4.20等价类；定理4.18—定理4.20；定义4.21商集；教材例4.23—例4.25及定理4.21。5.4.7.3相容关系（15分钟）：定义4.22相容关系、定义4.23最大相容类；教材例4.26—例4.29；关系图法和简化关系矩阵法。6.等价关系与相容关系比较（3分钟）：等价关系确定划分，相容关系确定覆盖。77（四）融入课程思政设计融入课程思政设计（3分钟）：从分类标准决定分类结果出发，讨论数据治理和工程管理中规则公开、一致执行的重要性，培养规范意识和责任意识。3（包含在新课内容讲授的77分钟内）（五）互动环节设计互动环节设计（5分钟）：给出一个集合划分，要求各组构造等价关系；再给出一个相容关系简化图，寻找全部最大相容类并核对是否遗漏。5（包含在新课内容讲授的77分钟内）课堂小结（3分钟）：总结“划分对应等价关系，覆盖对应相容关系”，强调等价类互不相交而最大相容类可以交叠。3课后作业或思考题作业题目均选自《离散数学（微课版第2版）》第4章章末习题（教材第97—99页）。一、必做题1.第28题（1）—（3）：判断给定关系是否为等价关系。2.第29题：证明由划分构造的新子集族仍为划分。3.第31题：由关系图判断等价关系。4.第32题：在等价关系图中识别等价类。5.第38题：由简化关系矩阵求最大相容类。二、选做题6.第35题（1）（2）：证明等价关系并确定其导出的划分。7.第39题：由覆盖确定相容关系。教学总结与反思1.教学目标达成情况：本次课应使学生掌握覆盖、划分、等价关系、等价类、商集及相容关系，并能说明等价关系与划分、相容关系与覆盖之间的结构对应。2.重点内容掌握情况：等价关系三性质较易记忆，但由关系求等价类、去除重复代表元以及由划分反向构造关系仍需通过教材第28—32题强化。3.难点突破情况：学生容易把最大相容类理解为“元素个数最多的相容类”。应借助关系图说明“最大”是按包含关系不可再扩张，对应极大完全子图。4.课堂互动情况：安排学生分别从一个划分构造等价关系、从一个相容关系图寻找最大相容类，再比较两类子集族是否允许相交。5.学情差异与改进：基础学生先掌握有限集合上的等价类枚举，能力较强学生完成等价关系与划分双向构造的证明，并分析相容关系的简化矩阵算法。6.课后反馈：重点检查教材第31、32、38题，记录学生是否遗漏等价类或最大相容类，并在下次课导入偏序前再次辨析对称与反对称。备注1.本次课术语密集，板书按“覆盖/划分—等价关系—等价类与商集—相容关系”分区，避免概念交叉。2.模m等价关系应按定理4.17完整验证自反、对称和可传递性；等价类使用教材记号[x]R，商集记作A/R或A(modR)。3.由划分构造关系时，强调同一划分块内任意两个元素均相关；由等价关系求划分时，相同等价类只列一次。4.最大相容类采用图方法为主、简化矩阵法为辅，课堂上至少保留一个可能出现相交最大相容类的例子。5.教材第38题必须结合原简化关系矩阵完成，不改写数据；授课后记录图法和矩阵法中较高频的遗漏。

第13次课授课单元（章节)第4章二元关系：4.7.4次序关系、4.7.5偏序集合与哈斯图、4.8应用与拓展授课学时2授课类型讲授课(√)实践课()其它()授课周次教学目标知识目标：1.掌握偏序、拟序、全序、字母次序和良序关系的定义及区别。2.理解偏序集合和哈斯图，掌握由关系图化简为哈斯图的方法。3.掌握最小元、最大元、极小元、极大元、下界、上界、下确界和上确界的概念。4.了解关系模型、非关系型数据库、对比学习和图神经网络中的关系思想。能力目标：1.能判断给定关系属于何种次序关系，并绘制有限偏序集的哈斯图。2.能从哈斯图求特殊元素、界和确界，并说明存在性与唯一性。素质目标（课程思政）：1.结合关系数据库理论的发展与国产数据库实践，增强科技报国和自主创新意识。2.通过偏序中的“可比与不可比”培养在复杂系统中尊重条件、避免简单排序的理性思维。教学重点、难点1.教学重点：（1）偏序、拟序和全序的性质组合及判定。（2）哈斯图的绘制规则。（3）偏序集中最值、极值、界和确界的判断。2.教学难点：（1）区分最大元与极大元、最小元与极小元。（2）理解上界、上确界依赖所考察子集及其所在偏序集。（3）从关系图删除自圈和传递边时保持原偏序信息。教学方法1.讲授法：系统讲解次序关系的定义、性质和层次。2.图示法：以整除关系、子集包含关系绘制并分析哈斯图。3.对比教学法：对比偏序与全序、最大元与极大元、上界与上确界。4.案例教学法：联系数据库、对比学习和图神经网络说明关系理论应用。教学手段1.多媒体课件：使用第四章新版PPT展示次序关系、哈斯图、数据库及人工智能应用。2.板书：演示从关系集合到关系图再到哈斯图的化简过程。3.图卡或投影：标注偏序集中的特殊元素、上下界和上下确界。4.线上教学平台：发布哈斯图绘制与特殊元素判断题。教学内容一、偏序关系与偏序集1.定义4.24偏序关系：设R是集合A上的二元关系。若R是自反的、反对称的和可传递的，则称R是A上的偏序关系，简称偏序；用符号“≤”表示偏序，序偶⟨A,≤⟩称为偏序集合。2.偏序的对偶：若⟨A,≤⟩是偏序集合，则逆关系“≥”也是A上的偏序关系，⟨A,≥⟩称为⟨A,≤⟩的对偶。结合教材例4.30写出A={2,3,6,8}上的“整除”与“整倍数”关系。3.定义4.25拟序关系：设R是集合A上的二元关系。若R是反自反的和可传递的，则称R是拟序关系，并借用符号“<”表示R。偏序与拟序满足x<y⇔x≤y∧x≠y。4.定理4.22：若R是拟序关系，则r(R)=R∪IA是偏序关系；若R是偏序关系，则R−IA是拟序关系。5.定理4.23全序关系：设⟨A,≤⟩是偏序集合。若对每个x,y∈A均有x≤y或y≤x，则≤是全序关系，⟨A,≤⟩称为全序集合，也称线性序集或链。6.可比与不可比：在偏序集合中，若x≤y或y≤x，则x、y可比；否则不可比。按照教材内容说明字母次序关系是全序关系，并结合字符串比较理解其规则。二、覆盖关系与哈斯图1.定义4.26覆盖关系：设⟨A,≤⟩是偏序集。若x≤y、x≠y，且不存在其他元素z∈A使x≤z≤y，则称元素y覆盖x。2.哈斯图：小元素画在大元素下方，仅在y覆盖x时连接x、y，并省略全部箭头。不能把由传递性得到但不存在覆盖关系的两个元素直接连接。3.教材例4.31：分别画出P₁={1,2,3,4}上“小于或等于”关系及P₂={∅,{a},{a,b},{a,b,c}}上包含关系的哈斯图，比较两个全序集合的结构。4.教材例4.32：集合X={2,3,6,12,24,36}按整除关系构成偏序集合，依据覆盖关系画出图4.19所示哈斯图。5.教材例4.33：画出X={a,b}的幂集P(X)按包含关系构成的哈斯图；把哈斯图垂直反转可得到对偶偏序的哈斯图。三、特殊元素1.定义4.27最小元：设⟨P,≤⟩是偏序集合，Q⊆P且y∈Q。若对所有x∈Q均有y≤x，则y是Q的最小元，通常记作0。2.定义4.27最大元：若对所有x∈Q均有x≤y，则y是Q的最大元，通常记作1。3.定义4.27极小元与极大元：若对所有x∈Q，由x≤y可推出x=y，则y是Q的极小元；若由y≤x可推出x=y，则y是Q的极大元。4.定理4.24：最小元或最大元若存在则唯一。结合教材例4.31、例4.32说明最大元、最小元与极大元、极小元的区别。四、子集的界、上确界与下确界1.定义4.28上界与下界：设⟨P,≤⟩是偏序集合，Q⊆P，y∈P。若对所有x∈Q均有x≤y，则y是Q的上界；若对所有x∈Q均有y≤x，则y是Q的下界。2.定义4.28最小上界与最大下界：令C={y｜y为Q的上界}，C的最小元称为Q的最小上界，通常记作LUB；令D={y｜y为Q的下界}，D的最大元称为Q的最大下界，通常记作GLB。3.教材例4.34：X={a,b,c}，P(X)按包含关系构成偏序集合。依据图4.21分别求教材指定子集的上界与下界。4.结合教材例4.32继续考察子集{2,3,6}、{2,3}和{12,6}的上界、下界、LUB和GLB，说明上界、下界可以不唯一，而LUB、GLB若存在则唯一。五、良序与应用1.定义4.29良序关系与良序集合：给定集合X，R是X上的二元关系。若R是全序关系，且X的每一个非空子集都有最小元，则R是良序关系，序偶⟨X,R⟩称为良序集合。2.每个良序集合都是全序集合，但全序集合不一定是良序集合；有限全序集合一定是良序集合。3.关系模型与非关系模型：关系数据库使用表和键刻画记录间关系，图数据库直接保存结点与边；偏序可描述任务依赖、版本演化和权限层级。4.对比学习用“相似/不相似”关系组织样本，图神经网络通过关系边传播信息；传递闭包可用于依赖可达性分析。六、历史与课程思政1.关系型数据库：用“表格”管理世界的秩序。

关系型数据库把数据组织成二维表格，每一行表示一条记录，每一列表示一个属性。投影运算用于选取指定的列，选择运算用于筛选满足条件的记录，自然连接运算通过共同属性连接两张表；数据的增加和删除也可以联系集合的并、差运算理解。关系模型由IBM研究员埃德加·弗兰克·科德（EdgarFrankCodd）于1970年提出，以集合论和关系理论为基础，为现代关系型数据库的数据存储、查询和约束奠定了理论基础。2.图神经网络中的关系传播：当“关系”可以被多层传递。

社交网络、推荐系统、知识图谱和分子结构都可以表示为图，结点表示对象，边表示对象之间的直接关系。图神经网络（GraphNeuralNetwork，GNN）通过多层消息传播汇集邻居信息：第一层获得直接邻居的信息，第二层获得两步范围内的信息，继续增加层数便可融合更远结点的信息。这一过程与关系合成、关系幂和传递闭包密切相关；邻接矩阵的一次幂表示直接关系，二次幂表示两步可达关系，更高次幂反映更多步的间接关系。3.国产数据库发展与课程思政。

达梦、GaussDB、OceanBase、TiDB、openGauss等国产数据库已应用于政府、金融、电信和能源等重要领域，具备高并发、高可用和分布式扩展等能力。Codd关系模型及图神经网络的应用说明，复杂信息系统的建设既需要数据库、人工智能等前沿工程创新，也依赖集合、关系、矩阵和图等基础理论的长期积累。国产数据库的发展对于保障国家数据安全和产业链供应链安全、推动核心技术自主创新具有重要意义。教学设计及时间安排教学设计时间分配（分钟）（一）复习及提问1.考勤点名（2分钟）。2.回顾等价关系与相容关系的性质组合，提问反对称与不对称是否相同（3分钟）。5（二）课程引入课程导入（5分钟）：比较考试成绩排序、任务依赖关系和整数整除关系，讨论为什么有些对象能够排成一列，而有些只能形成层级结构。5（三）课程内容新课内容讲授（77分钟）：1.上节回顾（5分钟）：回顾覆盖、划分、等价关系、等价类、商集和相容关系，比较划分与覆盖的结构差异。2.4.7.4次序关系（17分钟）：定义4.24偏序关系与对偶；教材例4.30；定义4.25拟序关系；定理4.22；定理4.23全序关系；可比性与字母次序关系。3.4.7.5偏序集合与哈斯图（20分钟）：定义4.26覆盖关系；哈斯图画法；教材例4.31—例4.33。4.4.7.5偏序集中的特殊元素（15分钟）：定义4.27最小元、最大元、极小元与极大元；定理4.24及教材例4.31、例4.32。5.4.7.5子集的界（14分钟）：定义4.28上界、下界、LUB与GLB；教材例4.34及例4.32的进一步讨论；定义4.29良序关系。6.4.8.1关系型数据库（5分钟）：关系模型、国产数据库与数据治理。7.4.8.2图神经网络中的关系传播（6分钟）：任务依赖、关系合成与多层传播。77（四）融入课程思政设计融入课程思政设计（3分钟）：结合科德创立关系数据库理论以及我国自主数据库在关键行业中的应用，说明基础理论创新与核心技术自主可控之间的联系。3（包含在新课内容讲授的77分钟内）（五）互动环节设计互动环节设计（5分钟）：各组为给定整除关系绘制哈斯图，标出最大元、最小元、极大元、极小元，并对指定子集求上下界和确界。5（包含在新课内容讲授的77分钟内）课堂小结（3分钟）：按“性质组合—可比性—哈斯图—特殊元素—实际应用”总结第四章，强调偏序不是不完整的全序，而是适合层级结构的独立模型。3课后作业或思考题作业题目均选自《离散数学（微课版第2版）》第4章章末习题（教材第99页）。一、必做题1.第44题（1）（2）：对整除关系画哈斯图。2.第45题：证明偏序关系在子集上的限制仍为偏序关系。3.第48题（1）—（4）：拟序、偏序、全序及良序的逆关系。4.第50题（1）—（4）：由哈斯图判断关系并求极值、界、LUB和GLB。二、选做题5.第46题：构造使⟨P(X),⊆⟩成为全序集的实例。6.第47题：构造兼具偏序与等价性质的关系。教学总结与反思1.教学目标达成情况：本次课完成第四章，学生应能判断偏序、绘制哈斯图，并由图求最大元、最小元、极大元、极小元以及子集的界和确界。2.重点内容掌握情况：偏序的三性质和哈斯图化简规则总体可通过实例掌握；最大元与极大元、上界与上确界仍是最易混淆的概念组。3.难点突破情况：应检查学生是否先依据定义再读图，能否解释某元素为何是极大元但不是最大元，以及共同上界存在时LUB为何仍可能不存在。4.课堂练习效果：以整除关系贯穿偏序验证、覆盖关系、哈斯图、极值和界，要求学生画完图后用上升路径恢复原偏序作反向核验。5.学情差异与改进：基础学生完成教材第44、50题的读图计算，能力较强学生完成第45、48题证明并讨论良序的对偶问题。6.课后反馈：根据教材第44、50题统计保留传递边、混淆数值大小和整除次序、遗漏界等问题，为第五章函数教学前完成第四章纠错。备注1.绘制哈斯图前必须确认关系确为偏序，不能把任意有向图删除自圈和传递边后直接称为哈斯图。2.整除偏序中图形高低表示整除次序而非通常数值大小；求LUB、GLB时还要检查相应元素是否属于当前偏序集。3.最大元、最小元要求与所有元素可比较，极大元、极小元只要求不存在严格更大或更小的元素；板书应并列比较。4.应用拓展按新版PPT择要讲授，关系型数据库、任务依赖和图神经网络用于强化理论意义，不替代哈斯图训练。5.教材第50题依赖图4.27，作业必须结合教材原图；实际授课后补记学生对LUB、GLB存在性的判断情况。

第14次课授课单元（章节)第5章函数：5.1函数的基本概念和性质、5.2函数的合成和合成函数的性质、5.3特殊函数授课学时2授课类型讲授课(√)实践课()其它()授课周次教学目标知识目标：1.理解函数是满足单值性和完全性的特殊二元关系，掌握定义域、陪域和值域。2.掌握函数相等、缩小与扩大、函数图与函数矩阵以及函数集合等概念。3.掌握函数合成的定义、条件和结合律，理解函数幂与等幂函数。4.掌握映上的映射、映入的映射、单射、双射和恒等函数的定义与性质。能力目标：1.能从关系图、关系矩阵和有序对集合判断一个关系是否为函数。2.能计算合成函数，判断函数的单射性、满射性和双射性。素质目标（课程思政）：1.通过狄利克雷突破传统解析式定义函数的历史，培养敢于质疑并以严格定义推动创新的精神。2.通过函数建模强化输入、规则和输出必须明确的工程责任意识。教学重点、难点1.教学重点：（1）函数作为特殊关系的定义及单值性、完全性。（2）函数合成及其结合律。（3）单射、满射、双射的定义与判定。2.教学难点：（1）区分陪域与值域，理解同一对应规则在不同陪域下性质可能不同。（2）合成函数的定义条件和运算次序。（3）从量词条件准确判断单射与满射，避免只凭图形直觉。教学方法1.讲授法：从关系定义逐步增加函数的单值性和完全性条件。2.对比教学法：比较一般关系与函数、陪域与值域、单射与满射。3.案例教学法：用程序函数、数据库字段映射和编码转换解释函数模型。4.练习法：由有序对、图、矩阵和公式判断函数性质并计算合成。教学手段1.多媒体课件：使用第五章新版PPT展示函数关系图、矩阵、合成和特殊函数例题。2.板书：写出函数、合成、单射、满射、双射的量词定义。3.关系图与映射图：直观比较一般关系、函数和双射。4.线上教学平台：发布函数判定与合成随堂题。教学内容一、5.1节函数的基本概念和性质1.定义5.1函数或映射：设A和B是任意两个集合，f是从A到B的关系。若对每个x∈A，都存在唯一的y∈B使⟨x,y⟩∈f，则称关系f为函数或映射，记作f:A→B。若⟨x,y⟩∈f，则x是自变量，y是在f作用下x的像点，也称f在x处的值，记作y=f(x)。2.函数定义的两个条件：每个x∈A都必须关系到某个y∈B，即domf=A；同一个x所对应的函数值必须唯一。集合A是定义域，B是陪域，ranf是值域且ranf⊆B；f(A)=ranf。3.教材例5.1：全集E的幂集P(E)上的并、交运算是从P(E)×P(E)到P(E)的映射，求补运算是从P(E)到P(E)的映射。教材例5.2：判断exp与arcsin关系是否为函数，说明任意性和唯一性条件。教材例5.3介绍佩亚诺后继函数S:N→N，S(n)=n+1。4.定义5.2函数相等：给定f:A→B和g:C→D，若A=C、B=D，且对所有x∈A都有f(x)=g(x)，则f与g相等，记作f=g。5.定义5.3函数的缩小与扩大：给定f:X→Y及A⊆X，构造g=f∩(A×Y)，则g是f的缩小，记作fA；若g是f的缩小，则f是g的扩大。结合教材例5.4说明缩小（限制）和扩大（延拓）。6.函数的表示：函数是二元关系，可以用关系图和关系矩阵表示。函数关系矩阵的每一行有且仅有一个1，也可以用单独一列记录各自变量的函数值。教材例5.5求domf、ranf及函数的矩阵表达式。7.定义5.4函数集合：设A和B为任意两个集合，从A到B的所有函数组成的集合记作BA={f｜f:A→B}。结合教材例5.6列出X={a,b,c}到Y={0,1}的全部函数，并说明有限集之间共有|B||A|个函数；教材例5.7讨论从空集出发以及以空集为陪域的函数集合。二、5.2节函数的合成和合成函数的性质1.定义5.5合成函数：设f:X→Y和g:Y→Z。合成关系f∘g作为函数时用g∘f表示，其形式化定义为g∘f={⟨x,z⟩｜x∈X∧z∈Z∧∃y(y∈Y∧y=f(x)∧z=g(y))}，并有(g∘f)(x)=g(f(x))。计算时先作用f，再作用g。2.定理5.1：g∘f是从X到Z的函数，且对每个x∈X有(g∘f)(x)=g(f(x))；同时dom(g∘f)=f⁻¹[domg]，ran(g∘f)=g[ranf]。结合教材例5.8求有限集合上的合成函数并画图。3.教材例5.9：在X={1,2,3}上按教材给出的函数f、g计算f∘g、g∘f、g∘g和f∘f，说明函数合成一般不满足交换律。4.定理5.2：函数合成满足结合律，h∘(g∘f)=(h∘g)∘f。多个函数连续合成时可省略括号；同一函数连续合成n次记作fⁿ。教材例5.10中f:Z→Z，f(i)=2i+1，计算得到f³(i)=8i+7。5.定义5.6等幂函数：给定f:X→X，若f²=f，则称f为等幂函数。教材例5.11令Nm={0,1,…,m−1}，f:Z→Nm，f(i)=i(modm)，用数学归纳法证明对所有n≥1均有fⁿ=f。三、5.3节特殊函数1.定义5.7映上的映射与映入的映射：给定f:X→Y。若ranf=Y，则f是映上的映射，也称满射函数；若ranf⊂Y，则f是映入的映射，也称内射函数。2.定义5.8单射函数：给定f:X→Y，若对x₁,x₂∈X有x₁≠x₂⇒f(x₁)≠f(x₂)，等价地，f(x₁)=f(x₂)⇒x₁=x₂，则f是一对一的映射，也称单射函数。3.定义5.9双射函数：给定f:X→Y，若f既是满射函数又是单射函数，则f是一对一映满的映射，也称双射函数。4.教材例5.12：依次判断教材给出的四个函数是否为单射、满射或双射，并分别从函数的单调性、值域以及不同自变量是否可能取得相同函数值进行说明。5.定理5.3：满射函数的复合仍为满射，单射函数的复合仍为单射，双射函数的复合仍为双射。定理5.4：若g∘f是满射，则g是满射；若g∘f是单射，则f是单射；若g∘f是双射，则g是满射且f是单射。6.定义5.10恒等函数：给定集合X，若函数IX:X→X满足对所有x∈X都有IX(x)=x，即IX={⟨x,x⟩｜x∈X}，则IX是恒等函数。恒等函数是双射函数。定理5.5说明，对任何f:X→Y，都有f=f∘IX=IY∘f。教学设计及时间安排教学设计时间分配（分钟）（一）复习及提问1.考勤点名（2分钟）。2.回顾关系的定义、表示、合成和逆关系，提问“什么附加条件使一个关系成为函数”（3分钟）。5（二）课程引入课程导入（5分钟）：从程序中的函数调用和学生到学号的对应关系出发，比较“一对多”“多对一”和一一对应，引出函数的单值性、完全性及特殊函数。5（三）课程内容新课内容讲授（77分钟）：1.上节回顾（5分钟）：回顾二元关系及其定义域和值域，说明函数是在存在性和唯一性条件下形成的特殊二元关系。2.5.1节函数的基本概念和性质（27分钟）：定义5.1函数或映射；教材例5.1—例5.3；定义5.2函数相等；定义5.3缩小与扩大及教材例5.4；函数的图与矩阵表示及教材例5.5；定义5.4函数集合及教材例5.6、例5.7。3.5.2节函数的合成和合成函数的性质（22分钟）：定义5.5合成函数；定理5.1；教材例5.8、例5.9；定理5.2结合律；函数幂及教材例5.10；定义5.6等幂函数及教材例5.11。4.5.3节特殊函数（25分钟）：定义5.7映上的映射与映入的映射；定义5.8单射函数；定义5.9双射函数；教材例5.12；定理5.3、定理5.4；定义5.10恒等函数及定理5.5。5.程序接口中的函数思想（3分钟）：定义域、陪域、唯一输出和函数合成与程序接口规范的联系。77（四）融入课程思政设计融入课程思政设计（3分钟）：结合狄利克雷突破函数必须由解析式表示的传统观念，说明创新应建立在精确定义和可验证逻辑之上。3（包含在新课内容讲授的77分钟内）（五）互动环节设计互动环节设计（5分钟）：给出四个有限关系的映射图，分组判断是否为函数及其单射、满射、双射性质，并通过改变陪域观察结论变化。5（包含在新课内容讲授的77分钟内）课堂小结（3分钟）：总结“关系加单值性与完全性得到函数，函数按中间集合复合，单射与满射共同得到双射”，强调陪域对满射判定的重要性。3课后作业或思考题作业题目均选自《离散数学（微课版第2版）》第5章章末习题（教材第115—117页）。一、必做题1.第1题（1）—（3）：判断关系能否构成函数。2.第2题（1）—（4）：判断集合能否定义函数并求定义域和值域。3.第6题：计算合成函数。4.第7题（1）—（3）：求X到X中满足条件的函数。5.第8题（1）—（11）：判断满射、单射和双射。二、选做题6.第9题（1）—（3）：有限集合之间单射、满射与双射的计数。教学总结与反思1.教学目标达成情况：本次课完成从一般关系到函数的结构提升，学生应能依据存在性和唯一性判断函数，计算复合函数，并用量词定义判断单射、满射和双射。2.重点内容掌握情况：学生通常熟悉解析式函数，但容易忽略定义域、陪域和关系背景。应通过教材第1、2题检查其是否真正按函数定义判断。3.难点突破情况：函数复合的中间集合匹配、复合次序以及满射性受陪域影响是主要难点；应比较同一对应规则在不同陪域下的性质变化。4.课堂互动情况：利用映射图让学生逐个检查定义域元素的像数目，再改变陪域观察单射、满射结论，避免仅凭“一对一”“多对一”等口语判断。5.学情差异与改进：基础学生重点完成函数判定和复合计算，能力较强学生证明复合保持单射/满射并完成有限集合间函数计数。6.课后反馈：分析教材第1、2、6、8题的错误，区分“不是函数”“不是单射”“不是满射”三类问题，为反函数存在条件的学习做好准备。备注1.函数定义必须同时写明定义域、陪域和对应规则；解析式相同但定义域或陪域不同，应视为不同函数。2.定义5.3统一采用教材术语“缩小”和“扩大”，可在括号中说明“限制”和“延拓”，但不得替换教材术语。3.函数合成应说明教材中合成关系f∘g与合成函数g∘f表示同一个集合，计算时先作用f，再作用g。4.定义5.7必须同时讲清映上的映射（满射）与映入的映射（内射），再依次讲定义5.8单射和定义5.9双射。5.教材第8题题量较大，可根据课堂反馈指定重点小题，重点检查定义域、陪域对单射和满射判断的影响。

第15次课授课单元（章节)第5章函数：5.4反函数、5.5特征函数、5.6基数、5.7应用与拓展授课学时2授课类型讲授课(√)实践课()其它()授课周次教学目标知识目标：1.掌握反函数的定义、存在条件和基本性质，理解左逆与右逆。2.掌握集合特征函数的定义及其与集合运算的对应关系。3.理解集合等势、基数比较、有限集、可数集与不可数集，了解康托尔定理和对角线方法。4.了解不可解问题的存在性、停机问题的基本思想以及函数复合在Transformer中的体现。能力目标：1.能判断函数是否可逆，求简单函数的反函数并验证复合恒等式。2.能用特征函数表达集合运算，用双射或单射比较集合基数。3.能理解反证和对角线构造在不可判定性论证中的作用。素质目标（课程思政）：1.通过陈建功科学救国、回国任教和坚持科研的事迹，培养家国情怀与专业使命感。2.通过康托尔和图灵的理论突破，理解基础研究对计算机科学边界与前沿发展的深远影响。教学重点、难点1.教学重点：（1）反函数存在的充要条件及函数与反函数的复合关系。（2）特征函数与集合交、并、补等运算的对应。（3）等势、可数与不可数的概念及基数比较。2.教学难点：（1）区分逆关系与反函数，理解只有双射才存在反函数。（2）康托尔对角线思想与幂集基数严格大于原集合基数。（3）停机问题反证中的自指结构和不可解性的含义。教学方法1.讲授法：系统讲解反函数、特征函数、基数和不可解问题。2.推导法：用复合恒等式说明反函数性质，用特征函数推导集合运算公式。3.案例教学法：用自然