《离散数学（微课版第2版）》 第7、第8章及复习课 群论、格与布尔代数-教案

XXXX（学校）教案课程名称：离散数学课程编号：任课教师：任课专业：任课学年学期：院系（部）：教务处制（2026年）注意事项和要求教案是任课教师的教学实施方案。任课教师应遵循专业培养方案制订的培养目标、毕业要求，严格按课程教学大纲编写，体现OBE理念，落实课程思政要求，并根据经济社会发展及学校人才培养要求及时增加和补充前沿内容，一、教案主要内容（一）课程概况：课程名称、课程编码、课程类型、考核方式、推荐教材及参考书目、教学目标、课程思政目标、教学重难点等。以上课程信息内容必须同培养方案及教学大纲保持一致。（二）课程教案：包括授课单元（章节）、授课学时、授课类型、授课周次、教学目标、教学重点难点、教学方法、教学手段、教学内容、教学设计、课后作业、教学反思、备注等。二、编写注意事项（一）教学目标：可从知识目标、能力目标、素质目标等多维度进行设定，从有利于学生发展的角度去思考，既要符合课程和教材的要求，更要符合学生先修基础和认知规律。目标要切实可行，可操作、可检测。（二）教学重点、难点：指本次课的重点和难点部分，学生必须掌握的知识点和技能。实践教学还包括实践操作训练的主要指导要点、关键环节、关键技术指导方法等。（三）教学方法：主要包括讲授法、讨论法、练习法、归纳法、演示法、启发法、实验法等。（四）教学手段：指课堂教学中师生教学相互传递信息的工具、媒体或设备，可以包括备课本、教材、模型、图表、黑板、电脑、多媒体课件、线上教学平台等，实践教学包括所用到的实践仪器设备。（五）教学内容：依据人才培养方案、教学大纲对课程教学内容的要求，扩充填写本次课的主要传授知识内容，可以用图表或知识网络图表达，并在适当内容处有机融入课程思政元素。（六）教学设计：是课堂教学的总体设计安排，可供参考（但不限于）教学设计选项有：考勤点名、作业反馈、复习旧课、导入新课、新课内容、课后小结、知识拓展、布置作业等，具体可视实际教学内容安排以上某些选项组成该堂课的教学设计，实践课的教学设计还可补充实践步骤或实践流程。不同专业，其课堂教学设计也可有不同特色。（七）课后作业或思考题：应根据本次课的教学目标要求进行布置，可以形式多样，应体现一定的高阶性、创新性和挑战度，在复习本次课的同时，注意引导学生积极开展预习。（八）教学总结与反思：填写课程教学支撑教学大纲相应课程目标、毕业要求指标点的情况、经验教训、效果估计、学生学习状态分析和存在问题等，也可以填写创新点或特色等内容（九）备注：用于批注教学过程中用到的教学方法或启发学生思维的实际案例，或实践教学中的注意事项等。一、课程概况课程名称离散数学任课专业计算机科学与技术、软件工程、网络工程、数字媒体等专业任课学年学期2026—2027学年第1学期课程编号xxx课程学时64学分4学时分配理论64学时；实践0学时考核方式考试（√）；考查（）课程类型必修课公共必修课（）；基础课（）；专业必修课（√）选修课公共选修课（）；专业选修课（）；教学目标课程目标1（专业知识）：掌握数理逻辑、集合论与关系理论、代数系统和图论的基本理论；掌握代数系统的基本理论和群、环、格等一些特殊的代数系统；掌握一些特殊图及其应用；了解逻辑推理中的各种范式和转化，了解关系、格和图的关联关系。课程目标2（专业技能）：掌握逻辑推理的符号化、公式化方法和范式转换方法；掌握使用关系理论、代数群理论划分数据集的方法；掌握集合、关系和图的各种描述和计算方法；能够应用逻辑推理、集合划分、群理论、图论的计算，分析和探索软件工程领域的复杂工程问题。课程目标3（素质目标）：培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，养成良好的科学素养和严谨认真的治学态度，为后续课程（数据结构、数据库、软件工程、操作系统、人工智能、数据挖掘等）提供必要的数学基础。课程思政目标通过数学史（阿贝尔、伽罗瓦、诺特等数学家的事迹）培养学生追求科学、百折不挠的探索精神和科技报国意识；通过“抽象建模与结构思维”的训练，引导学生掌握“从具体到抽象、以公理化方法把握事物共同本质”的辩证唯物主义科学方法论；结合编码、密码、人工智能等领域的应用案例，增强学生的专业认同感和自主创新意识。教学重点、难点教学重点：命题逻辑与谓词逻辑的符号化及推理方法；集合、关系、函数的运算和性质；代数系统的运算性质（交换律、结合律、分配律、幂等律、幺元、零元、逆元）；同态与同构的判定方法；子群判定方法和拉格朗日定理；格与偏序集之间的关系；图的表示、连通性、欧拉图与哈密尔顿图的判定；最小生成树和最优二叉树的生成方法。教学难点：合式公式的主范式求解与推理规则的综合运用；无限集合基数的计算；抽象代数系统运算性质的判定与证明；同态、同构映射的构造；同余关系、商代数的理解；欧拉图与哈密尔顿图的判定定理的证明与应用。教材名称《离散数学（微课版第2版）》作者陈志奎出版社及出版时间人民邮电出版社，2026年参考书目1.《DISCRITEMATHEMATICALSTRUCTURES》，BernardKolman、RobertC.Busby、SharonCutlerRoss，高等教育出版社；2.《DISCRETEMATHEMATICSanditsapplications》，Rosen，华章出版社；3.《离散数学》，曲婉玲、耿素云、张立昂著，高等教育出版社。作者出版社及出版时间任课教师职称院系（部）注：表中（）选项请打“√”。说明：（1）本教案以离散数学64学时（全部为理论教学）教学大纲进行教案撰写。（2）教学计划安排以每周4学时、共16周进行设置，每次课2学时。（3）本册为第七章“群与环”（第23～26次课）、第八章“格与布尔代数”（第27次课）及第六、七、八章复习与习题课（第28次课）教案；第六章教案见《离散教案-第六章》。

二、课程教案第19次课授课单元（章节)第7章群与环：7.1半群（7.1.1半群和独异点的定义及性质、7.1.2半群和独异点的同态与同构、7.1.3积半群）授课学时2授课类型讲授课(√)实践课()其它()授课周次第12周教学目标知识目标：1.掌握半群、独异点（含幺半群）的定义，能判断给定的代数系统是否为半群、独异点；理解半群、独异点与第6章代数系统概念的从属关系。2.掌握半群中元素幂aⁿ的定义及幂运算规则（aᵐ*aⁿ=aᵐ⁺ⁿ、(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ），理解子半群、子独异点的概念。3.掌握半群（独异点）同态与同构的定义，理解独异点同态须保持幺元（f(e₁)=e₂）这一附加条件；了解积半群的构造及其性质。能力目标：1.能对具体或抽象定义的代数系统验证结合律、寻找幺元，从而判定半群与独异点，培养公理化验证能力。2.能构造半群之间的同态映射并验证其保持运算，为7.5节群同态及第七章后续内容打基础。素质目标（课程思政）：1.体会“在代数系统上逐条增加公理、逐层深入研究”的公理化方法，理解数学结构由一般到特殊的研究范式。2.通过半群与形式语言、自动机的联系（自由幺半群Σ*），认识抽象代数对计算机科学的奠基作用，增强专业认同感。教学重点、难点1.教学重点：（1）半群、独异点的定义与判定方法；典型例子（⟨Z,+⟩、⟨Z,×⟩、⟨Σ*,‖⟩、Mₙ(R),+⟩、⟨Mₙ(R),×⟩等）。（2）半群中元素的幂及幂运算规则；子半群、子独异点。（3）半群（独异点）的同态与同构；独异点同态保持幺元。2.教学难点：（1）结合律的验证方法（含运算表与抽象定义两种情形）。（2）独异点同态中“f(e₁)=e₂”条件的必要性：半群同态的像中幺元未必是像的幺元，需通过反例说明。（3）积半群中运算的按分量定义及零元、幺元的继承性（定理7.3.3）。教学方法1.讲授法：系统讲解半群、独异点的定义、性质与同态理论，突出“代数系统→半群→独异点”的概念递进。2.案例教学法：以⟨Z,+⟩、⟨Z,×⟩、⟨Σ*,‖⟩（字符串并置）、⟨Mₙ(R),+⟩、⟨Mₙ(R),×⟩、⟨Zₙ,⊕⟩等实例对照讲解，说明哪些是半群、哪些是独异点。3.启发式教学法：从第6章代数系统出发提问“只加一条什么公理就能得到半群”，引导学生自己给出定义。4.对比归纳法：对比半群与独异点、半群同态与独异点同态、子半群与子独异点的异同，列表归纳。5.练习法：当堂给出若干代数系统让学生判定半群/独异点并求幺元。教学手段1.多媒体课件：展示第七章修改版PPT，包括半群/独异点实例表、运算表（表7.1.1、7.2.1、7.2.2）、同态关系图等。2.板书：板书结合律验证、幂运算规则的归纳证明及独异点同态保持幺元的证明要点。3.教材及讲义：《离散数学（微课版第2版）》第7章及配套讲义。4.线上教学平台：签到、课堂练习与课后作业发布。教学内容一、复习与引入回顾第6章：代数系统、运算律（结合律）、幺元、同态与同构的一般定义；引入：在代数系统上首先加入“结合律”这一条公理，即得到最基本、应用最广的特殊代数系统——半群；再加入“幺元存在”即得独异点（含幺半群）。二、7.1.1半群和独异点的定义及性质1.半群的定义：⟨S,⊙⟩中⊙满足结合律；独异点（monoid）的定义：含幺元的半群，记⟨S,⊙,e⟩。2.典型例子：⟨Z,+⟩、⟨Q,+⟩、⟨R,+⟩（幺元0）；⟨Z,×⟩、⟨Q,×⟩（幺元1）；⟨Σ*,‖⟩字符串并置（幺元空串λ，自由幺半群）；⟨Mₙ(R),+⟩（幺元θ）、⟨Mₙ(R),×⟩（幺元E）；⟨Zₙ,⊕⟩、⟨Zₙ,⊗⟩；反例：⟨Z,−⟩不是半群（减法不结合）。3.半群中元素的幂：aⁿ的递归定义（n∈Z₊；独异点中可定义a⁰=e）；幂运算规则aᵐ*aⁿ=aᵐ⁺ⁿ、(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ及其归纳证明。4.子半群与子独异点：非空子集对运算封闭（子独异点还须含幺元）；例：⟨Z₊,+⟩是⟨Z,+⟩的子独异点。5.半群（独异点）中零元的性质：零元θ满足θ*x=x*θ=θ；独异点中零元与幺元的关系（S仅一个元素时二者重合）。三、7.1.2半群和独异点的同态与同构1.半群同态的定义：f(a⊙b)=f(a)*f(b)；单同态、满同态、同构；自同态、自同构。2.独异点同态的附加条件：f(e₁)=e₂；说明为什么半群同态不保证这一点（反例讨论）；定理：满同态下结合律、幺元、零元等性质的保持。3.例题：⟨N,+⟩到⟨N,×⟩的映射、⟨Σ*,‖⟩到⟨N,+⟩的长度映射是独异点同态等。四、7.1.3积半群1.积半群的定义：第6章积代数方法应用于半群；⟨S₁×S₂,·⟩按分量运算。2.定理7.3.3：积半群的结合律、幺元、零元的继承性（θ₁,θ₂为因子零元时⟨θ₁,θ₂⟩为积半群零元等）。五、应用与铺垫自由幺半群Σ*与形式语言、自动机的关系：语言是Σ*的子集，自动机是幺半群到变换半群的同态图像（概述），为后续专业课埋下伏笔。六、课程思政融入点1.公理化方法：从代数系统到半群、独异点“逐条加公理、逐层得结构”，体现数学由一般到特殊、由抽象到具体的研究范式。2.结合Σ*与计算机形式语言的历史（乔姆斯基、克莱尼），说明抽象代数与计算机科学的深刻渊源，激发学生学好基础理论的使命感。教学设计及时间安排教学设计时间分配（分钟）（一）复习及提问1.考勤点名（2分钟）：通过线上教学平台签到或现场点名，确认学生出勤情况，记录考勤结果。2.复习提问（3分钟）：提问结合律、幺元的定义及第6章同态的一般概念，检查第6章作业典型问题并讲评。5（二）课程引入课程导入（5分钟）：以“字符串拼接”“矩阵乘法”“自然数加法”三个学生熟悉的运算提问：它们共同的“最小公性质”是什么？引出结合律与半群，说明半群是自动机与形式语言的数学底座。5（三）课程内容新课内容讲授（77分钟）：1.7.1.1半群与独异点（35分钟）：半群、独异点定义与实例（15分钟）；幂与幂运算规则及归纳证明（10分钟）；子半群、子独异点与零元性质（10分钟）；穿插提问“⟨Z,−⟩为什么不是半群”。2.7.1.2半群与独异点的同态同构（25分钟）：半群同态定义与分类（8分钟）；独异点同态保持幺元及反例讨论（10分钟）；例题验证（7分钟）。3.7.1.3积半群（12分钟）：按分量定义运算；定理7.3.3；与第6章积代数的贯通。4.课堂练习（5分钟）：给出4个代数系统当堂判定半群/独异点并指出幺元。77（四）融入课程思政设计融入课程思政设计（3分钟）：在讲解公理化递进（代数系统→半群→独异点）时，强调“逐条加公理、逐层得结构”是现代数学的基本范式；结合Σ*与形式语言的历史，说明基础数学对计算机科学的奠基作用，引导学生重视基础理论、树立科技自立自强意识。3（包含在新课内容讲授的77分钟内）（五）互动环节设计互动环节设计（5分钟）：小组讨论“举出一个是半群但不是独异点的例子，并设法添加一个元素使其成为独异点”，邀请2～3组分享，教师点评并引出“添加幺元”的一般构造（与习题7.4呼应）。5（包含在新课内容讲授的77分钟内）课堂小结（3分钟）：按“结合律→半群；加幺元→独异点；保持运算→同态；双射→同构”梳理知识主线，强调判定半群/独异点的两步法（验证结合律、寻找幺元），预告下次课“群”。3课后作业或思考题一、教材习题（第7章章末“习题”，教材第160页起）1.第1题：指出下列代数系统中哪些是半群、哪些是独异点并说明理由：⟨Z,−⟩、⟨C,×⟩、⟨P(S),∪⟩（S≠∅）、⟨Mₘ,ₙ(Q),+⟩、⟨Zₙ,⊕⟩。2.第4题：S={a,b,c}，x*y=x。（1）证明S关于*构成半群；（2）通过增加最少的元素使S扩张成一个独异点。3.第5题：给定半群⟨S,*⟩及a∈S，定义x⊙y=x*a*y，证明⟨S,⊙⟩是半群。4.第6题：⟨R,*⟩中a*b=a+b+ab，证明⟨R,*⟩是独异点。二、思考题（体现高阶性与挑战度）5.证明：独异点到独异点的满同态把幺元映为幺元；并举例说明非满的半群同态可能不保持幺元。6.设⟨S,⊙⟩是半群且S有限，证明：S中存在等幂元（提示：考虑a,a²,a³,…）。三、预习要求7.预习7.2节“群”，思考：在独异点的基础上再增加什么条件就得到群？教学总结与反思1.课程目标支撑情况：本次课支撑课程目标1（掌握代数系统的基本理论和一些特殊的代数系统）与课程目标2（运用抽象结构方法分析问题的能力），对应教学大纲第三部分“代数系统”知识单元3.3的前置内容（半群、独异点是群的基础），并直接服务于毕业要求指标点2（问题分析）。2.教学效果估计：半群、独异点的判定学生较易掌握；独异点同态“保持幺元”的附加条件及反例是理解难点，预计部分学生第一次接触时困惑。3.学生学习状态分析与存在问题：学生容易忽略“子独异点必须含原独异点的幺元”这一条件；幂运算规则的归纳证明书写不规范。4.改进措施：对“保持幺元”条件准备2～3个反例在课堂上对比演示；归纳证明给出分步书写模板；课后通过平台收集问题在第24次课复习环节讲评。（课后根据实际授课情况补充完善）备注1.本次课是第七章起始课，注意与第6章概念的衔接：半群=代数系统+结合律，独异点=半群+幺元，务必让学生建立“公理递增”的结构图。2.⟨Σ*,‖⟩（自由幺半群）是连接代数与形式语言、自动机理论的关键实例，建议保留板书至小结。3.积半群定理7.3.3的证明思路与第6章定理6.14完全相同，可引导学生类比自证，训练迁移能力。第20次课授课单元（章节)第7章群与环：7.2群（7.2.1群的概念、7.2.2群的性质）、7.3子群与群的陪集分解（7.3.1子群、7.3.2子群的判定、7.3.3子群的性质）授课学时2授课类型讲授课(√)实践课()其它()授课周次第12周教学目标知识目标：1.掌握群的定义（结合律、幺元、每元有逆元），理解有限群与无限群、群的阶、交换群（Abel群）等概念；熟悉整数加群、有理数加群、一般线性群、Klein四元群等典型例子。2.掌握群的基本性质：元素的幂及幂运算规则、方程ax=b与ya=b在群中存在唯一解、消去律、元素的阶，并能运用这些性质进行推理和证明。3.掌握子群的定义（平凡子群、真子群）和子群判定的三个定理，能判定给定子集是否构成子群。4.了解生成子群⟨A⟩、群的中心C(G)、子群的交以及子群格等概念。能力目标：1.能按“验证结合律—找幺元—求逆元”三步法判定群，能熟练运用消去律和方程可解性进行群内推理。2.能运用子群判定定理证明具体子集是子群，培养严格证明能力。素质目标（课程思政）：1.通过群的对称性背景（几何对称、晶体结构、魔方）体会数学对自然规律的描述力，培养科学审美。2.通过“逆元”“消去律”等性质感受数学结构的和谐与严谨，养成言必有据的逻辑习惯。教学重点、难点1.教学重点：（1）群的定义与判定三步法；典型群的例子（⟨Z,+⟩、⟨Q,+⟩、⟨R,+⟩、⟨Zₙ,⊕⟩、Klein四元群、一般线性群GLₙ(R)等）。（2）群的基本性质：方程唯一可解、消去律、元素的幂与阶。（3）子群的定义与子群判定定理（非空+封闭+逆元封闭；有限情形：非空+封闭）。2.教学难点：（1）群定义中“每个元素都有逆元”的验证，以及逆元唯一性、幺元唯一性的证明。（2）元素的阶的概念及“有限群中元素的阶整除群的阶”（拉格朗日定理推论，下次课证明）的初步理解。（3）子群判定定理的证明思路（利用方程可解性或有限性条件）。教学方法1.讲授法：系统讲解群的定义、性质与子群理论，突出定义中三个条件的缺一不可。2.案例教学法：以整数加群、模n加群、Klein四元群（例7.10运算表）、矩阵加群与一般线性群等正反例对照讲解。3.启发式教学法：从独异点提问“再加什么条件可使方程ax=b总可解”，自然引出逆元公理。4.练习法：当堂用运算表验证Klein四元群、用判定定理验证nZ是⟨Z,+⟩的子群等。5.讨论法：讨论“为什么群的每个条件都不能省略”，举出只满足部分条件的反例。教学手段1.多媒体课件：展示第七章修改版PPT，包括典型群的例子表、Klein四元群运算表、子群判定定理对照表、子群格示意图等。2.板书：板书逆元唯一性、消去律、子群判定定理的证明，示范群论证明的规范书写。3.教材及讲义：《离散数学（微课版第2版）》第7章及配套讲义。4.线上教学平台：签到、课堂测验与作业发布。教学内容一、复习与引入回顾7.1：半群、独异点；提问：独异点中方程ax=b何时可解？引出“每个元素都有逆元”这一公理——群。从几何对称（正方形旋转翻转）、魔方状态、晶体结构等实例说明群是“对称”的数学语言。二、7.2.1群的概念1.群的定义：⟨G,⊙⟩满足结合律、有幺元e、每个元素有逆元；记号a⁻¹。2.典型例子：⟨Z,+⟩、⟨Q,+⟩、⟨R,+⟩（整数加群等）；⟨Q*,×⟩、⟨R*,×⟩；⟨Zₙ,⊕⟩；Klein四元群（例7.10运算表验证）；n阶实可逆矩阵群GLₙ(R)；反例：⟨Z,×⟩不是群（2无逆元）、⟨N,+⟩不是群。3.有限群与无限群、群的阶|G|；交换群（Abel群）的定义与例子；非交换群的例子（GLₙ(R)，n≥2）。三、7.2.2群的性质1.元素的幂aⁿ（n∈Z，含负指数a⁻ⁿ=(a⁻¹)ⁿ）及幂运算规则。2.定理7.8：群中方程ax=b与ya=b存在唯一解（x=a⁻¹b,y=ba⁻¹）及其证明。3.消去律：a⊙b=a⊙c⟹b=c；左、右消去律及其证明。4.元素的阶：使aᵏ=e的最小正整数k（否则阶为∞）；例：Klein四元群中非幺元阶均为2；⟨Zₙ,⊕⟩中元素的阶。5.群的阶与Abel群的判定；(a*b)⁻¹=b⁻¹*a⁻¹等基本恒等式。四、7.3.1子群1.子群的定义：⟨H,⊙⟩是⟨G,⊙⟩的子代数且自身为群；平凡子群{e}与G；真子群；记号H≤G。2.例子：nZ≤Z；⟨Z,+⟩≤⟨Q,+⟩≤⟨R,+⟩；{1,−1}≤⟨R*,×⟩。五、7.3.2子群的判定1.判定定理一：H非空且对任意a,b∈H有a*b⁻¹∈H⟺H≤G。2.判定定理二：H非空、对⊙封闭、对取逆封闭⟹H≤G。3.判定定理三（有限情形）：H非空且对⊙封闭⟹H≤G（有限性保证逆元存在）。4.应用：证明nZ、SLₙ(R)（特殊线性群）、中心化子等是子群。六、7.3.3子群的性质1.生成子群⟨A⟩：含A的最小子群；循环子群⟨a⟩={aᵏ|k∈Z}。2.群的中心C(G)={x∈G|∀a∈G,x*a=a*x}是子群。3.子群的交仍是子群；子群的并不一定是子群（反例）。4.子群格：G的全体子群按包含关系构成交换格（与第8章呼应）。七、课程思政融入点1.群是“对称”的数学语言：从晶体结构、分子对称到密码学，体现数学描述自然与工程规律的力量。2.通过“言必有据”的证明训练（逆元唯一、消去律），培养严谨求实的科学态度。教学设计及时间安排教学设计时间分配（分钟）（一）复习及提问1.考勤点名（2分钟）：线上签到或现场点名，记录考勤。2.复习提问（3分钟）：提问半群、独异点的定义及独异点同态的条件；讲评上次课作业典型问题。5（二）课程引入课程导入（5分钟）：展示正方形旋转翻转的8个对称操作、魔方转动，提问“这些操作的复合满足什么规律”，引出“群=对称的数学语言”，并从独异点方程可解性自然过渡到逆元公理。5（三）课程内容新课内容讲授（77分钟）：1.7.2.1群的概念（25分钟）：群的定义与三步判定法（8分钟）；典型例子与反例、Klein四元群运算表验证（10分钟）；有限群、群的阶、Abel群（7分钟）。2.7.2.2群的性质（27分钟）：幂与幂运算规则（7分钟）；方程唯一可解与消去律及证明（10分钟）；元素的阶与例子（10分钟）。3.7.3.1～7.3.2子群及其判定（15分钟）：子群定义与例子（5分钟）；三个判定定理及证明思路（10分钟）。4.7.3.3子群的性质（10分钟）：生成子群、中心、子群的交、子群格；当堂练习：用判定定理证明nZ≤Z。77（四）融入课程思政设计融入课程思政设计（3分钟）：在引入与举例时强调群论是描述自然对称性（晶体、分子、粒子物理）与工程结构（纠错码、密码）的通用语言，结合我国晶体学与密码学研究成就，增强学生的文化自信与科技报国志向。3（包含在新课内容讲授的77分钟内）（五）互动环节设计互动环节设计（5分钟）：小组讨论“群定义中的三个条件能否去掉一个？”各组举出只满足两个条件的反例（如⟨N,+⟩有结合律和幺元但无逆元），邀请2～3组发言，教师归纳“公理独立性”思想。5（包含在新课内容讲授的77分钟内）课堂小结（3分钟）：按“独异点+逆元=群；群的性质（方程可解、消去律、阶）；子群判定三定理”梳理框架，强调判定定理的使用条件（有限/无限），预告下次课“陪集与拉格朗日定理”。3课后作业或思考题一、教材习题（第7章章末“习题”）1.第2题：判断下列集合关于指定运算是否构成半群、独异点和群：G={aⁿ|n∈Z}（a为正实数，普通乘法）、Q₊（普通乘法）、Q₊（普通加法）、一元实系数多项式的集合关于多项式的乘法、加法等。2.第3题：指出下列代数系统中哪些是群、哪些是可交换群并说明理由：⟨Z,⊕⟩（a⊕b=a+b−2）、1的n次根关于乘法、⟨R+,*⟩等。3.第7题：已知⟨G,*⟩为不可交换群，证明：必存在a,b∈G，a≠b，a≠e，b≠e，但a*b=b*a。4.第8题：S={1,2,3}，⊗为模4乘法，问⟨S,⊗⟩构成什么代数系统（半群、独异点、群）并说明理由。5.第9题：给定群⟨G,*⟩，H={x|x∈G∧x*a=a*x}，证明⟨H,*⟩是⟨G,*⟩的子群。6.第10题：设G为群，a的正规化子N(a)={x|x∈G∧x*a=a*x}，证明N(a)是G的子群。二、思考题（体现高阶性与挑战度）7.第11题：在一个群⟨G,*⟩中，A和B都是G的子群，证明：若A∪B=G，则A=G或B=G。8.证明：群G中阶为2的元素与任一元素可交换当且仅当它属于中心C(G)；并求Klein四元群的中心。三、预习要求9.预习7.3.4～7.3.5，思考：子群H把G分成怎样的“块”？这些块的大小与|H|有什么关系？教学总结与反思1.课程目标支撑情况：本次课支撑课程目标1、2，对应教学大纲知识单元3.3“熟练掌握子群判定方法和拉格朗日定理”的前半部分（子群判定的三个定理），是第七章的核心内容，直接支撑毕业要求指标点2（问题分析）与指标点3（设计/开发解决方案）中的抽象建模能力。2.教学效果估计：群定义三步判定与典型例子学生掌握较好；元素的阶、子群判定定理的证明是难点，预计部分学生在“有限情形判定定理”的证明上理解不透。3.学生学习状态分析与存在问题：易错点包括把“子集对运算封闭”误认为子群（忽略逆元）、混淆群的阶与元素的阶。4.改进措施：下次课复习环节用错例辨析强化子群判定；将三个判定定理做成对照表发线上平台；对阶的概念补充2～3个计算练习。（课后根据实际授课情况补充完善）备注1.群是第七章乃至整个代数部分的核心概念，本次课内容多、节奏快，Klein四元群运算表建议保留板书，供后续陪集、子群格举例复用。2.子群判定定理的三个版本使用条件不同（是否有限、是否已知逆元封闭），务必通过对照表和错例讲清适用场景。3.子群格概念为第8章“格”埋下伏笔，可提示学生注意前后呼应。第21次课授课单元（章节)第7章群与环：7.3.4子群的陪集分解、7.3.5拉格朗日定理、7.4循环群与置换群、7.5群的同态与同构授课学时2授课类型讲授课(√)实践课()其它()授课周次第13周教学目标知识目标：1.掌握左（右）陪集的定义与性质（陪集要么相等要么不交、每个陪集与H等势、陪集个数即指数[G:H]），理解陪集分解是G的一个划分。2.熟练掌握拉格朗日定理（子群的阶整除群的阶）及其证明，掌握其推论（元素的阶整除群的阶、素数阶群必为循环群等）并能应用。3.掌握循环群的定义、生成元的求法和循环群的子群结构；了解集合的置换、置换的轮换表示与置换群、n次对称群Sₙ。4.掌握群同态与群同构的定义及基本性质，理解群同态保持幺元与逆元。能力目标：1.能求给定子群的全部陪集并进行陪集分解，能运用拉格朗日定理解决整除性、存在性问题。2.能求循环群的生成元与子群，能进行置换的轮换分解与乘法运算。素质目标（课程思政）：1.通过拉格朗日定理“整体与部分”的整除关系体会数学结构的内在和谐，培养系统思维。2.通过伽罗瓦以群论解决方程可解性问题的历史，感受基础理论的重大价值与科学家的献身精神。教学重点、难点1.教学重点：（1）陪集的定义、性质与陪集分解；指数[G:H]。（2）拉格朗日定理及其推论的应用（子群阶、元素阶的整除性；素数阶群是循环群）。（3）循环群的生成元与子群；置换的轮换表示与Sₙ。2.教学难点：（1）陪集性质“两陪集要么相等要么不交”及“|aH|=|H|”的证明，理解陪集分解构成划分。（2）拉格朗日定理证明中“用陪集作划分计数”的思想。（3）置换的乘法（复合）运算顺序与轮换分解；循环群生成元的判定（gcd(k,n)=1）。教学方法1.讲授法：系统讲解陪集、拉格朗日定理、循环群、置换群与群同态，突出“划分—计数—整除”的证明主线。2.案例教学法：以⟨Z₆,⊕₆⟩及其子群{0,3}的陪集分解、Zₙ≤Z、S₃的轮换表示等具体例子贯穿讲解。3.图示法：用示意图展示子群H在G中的“平移复制”（陪集的几何直观），化解抽象性。4.练习法：当堂求陪集、用拉格朗日定理判断子群存在性、置换的轮换分解练习。5.讨论法：讨论“拉格朗日定理的逆命题是否成立”（引出后续正规子群与西罗定理的伏笔）。教学手段1.多媒体课件：展示第七章修改版PPT，包括陪集分解示意图、拉格朗日定理证明流程图、循环群子群结构图、S₃置换表等。2.板书：板书陪集性质与拉格朗日定理的完整证明、置换乘法示例。3.教材及讲义：《离散数学（微课版第2版）》第7章及配套讲义。4.线上教学平台：签到、课堂测验与作业发布。教学内容一、复习与引入回顾子群定义与判定定理；提问：子群H在G中“占多大比例”？用⟨Z₆,⊕₆⟩与H={0,3}的例子展示H及其“平移”1+H={1,4}、2+H={2,5}恰好铺满G，引出陪集分解。二、7.3.4子群的陪集分解1.左陪集aH={a*h|h∈H}与右陪集Ha的定义；例子：Z₆中H={0,3}的陪集；S₃中子群的左右陪集（左右陪集可以不同）。2.陪集的性质：a∈aH；aH=H⟺a∈H；两左陪集要么相等要么不交；|aH|=|H|（双射证明）；全体左陪集构成G的划分。3.指数[G:H]：陪集的个数；例子与计算。4.推论：aH=bH⟺a⁻¹b∈H；左陪集个数=右陪集个数。三、7.3.5拉格朗日定理1.定理：有限群G的子群H的阶整除|G|，且[G:H]=|G|/|H|；证明（陪集划分+等势计数）。2.推论：（1）元素a的阶整除|G|；（2）素数阶群必为循环群；（3）|G|为素数时G≅⟨Z_p,+⟩；（4）a^|G|=e。3.应用举例：6阶群的子群只可能是1,2,3,6阶；讨论逆命题不成立的例子（A₄无6阶子群，概述）。四、7.4循环群与置换群1.集合的置换：双射σ:S→S；置换的表示与乘法（复合）；轮换与对换；轮换分解定理（不交轮换之积）。2.7.4.1循环群：G=⟨a⟩={aᵏ|k∈Z}；无限循环群≅⟨Z,+⟩，n阶循环群≅⟨Zₙ,⊕ₙ⟩；生成元的判定（n阶循环群中aᵏ是生成元⟺gcd(k,n)=1）；循环群的子群仍为循环群；⟨Z,+⟩的子群为nZ。3.例：求C₁₂的全部生成元与全部子群（与习题7.19呼应）。4.7.4.2置换群：n次对称群Sₙ（|Sₙ|=n!）；置换群的定义；Cayley定理（任何群都同构于某个置换群，概述）。五、7.5群的同态与同构1.群同态的定义：f(a*b)=f(a)∘f(b)；定理：群同态保持幺元（f(e_G)=e_H）与逆元（f(a⁻¹)=f(a)⁻¹）；同态像仍是群。2.单同态、满同态、同构；例子：f(x)=eˣ是⟨R,+⟩到⟨R+,·⟩的同构；⟨Z₄,⊕₄⟩≅⟨{1,i,−1,−i},×⟩；自同构的例子。六、课程思政融入点1.伽罗瓦（1811—1832）用群论彻底解决方程根式可解性问题的历史：基础理论的重大价值与年轻科学家的献身精神。2.拉格朗日定理揭示“部分与整体”的整除关系，体现数学结构的内在秩序与和谐，引导学生用系统、联系的观点看问题。教学设计及时间安排教学设计时间分配（分钟）（一）复习及提问1.考勤点名（2分钟）：线上签到或现场点名，记录考勤。2.复习提问（3分钟）：提问子群判定三定理；用错例辨析“封闭≠子群”，讲评上次课作业。5（二）课程引入课程导入（5分钟）：在⟨Z₆,⊕₆⟩中现场“铺地砖”：H={0,3}、1+H、2+H恰好不重不漏铺满G，提问“为什么每块砖大小相同”，引出陪集与拉格朗日定理。5（三）课程内容新课内容讲授（77分钟）：1.7.3.4陪集（25分钟）：左右陪集定义与例子（8分钟）；陪集性质及“相等或不相交”“等势”的证明（12分钟）；指数与划分（5分钟）。2.7.3.5拉格朗日定理（15分钟）：定理证明（板书，8分钟）；四个推论与应用（7分钟）。3.7.4循环群与置换群（22分钟）：置换与轮换分解（8分钟）；循环群、生成元判定、子群结构（9分钟）；Sₙ与置换群、Cayley定理概述（5分钟）。4.7.5群的同态与同构（15分钟）：群同态定义与保持幺元、逆元的证明（8分钟）；同构例子与自同构（7分钟）。77（四）融入课程思政设计融入课程思政设计（3分钟）：讲述伽罗瓦创立群论、20岁为理想决斗身亡仍留下改变数学的手稿的事迹，强调基础理论的长远价值与科学家的勇气担当；结合拉格朗日定理的“整体—部分”关系渗透系统思维与辩证唯物主义观点。3（包含在新课内容讲授的77分钟内）（五）互动环节设计互动环节设计（5分钟）：小组讨论“拉格朗日定理的逆命题成立吗？”并给出6阶、12阶群的子群存在性猜想，教师点评并说明逆命题一般不成立（为后续正规子群、西罗定理留悬念）；同时当堂练习：求S₃中某子群的全部左陪集。5（包含在新课内容讲授的77分钟内）课堂小结（3分钟）：按“陪集（划分）→拉格朗日定理（整除）→循环群（生成元）→置换群→群同态”梳理主线，强调拉格朗日定理的三种用法（求子群阶的可能值、元素阶整除群阶、素数阶群是循环群），预告下次课“环与域”。3课后作业或思考题一、教材习题（第7章章末“习题”）1.第14题：求循环群C₁₂={e,a,a²,…,a¹¹}中H={e,a⁴,a⁸}的所有右陪集。2.第15题：设H和K都是G的有限子群，且|H|与|K|互质，证明H∩K={e}（提示：利用拉格朗日定理）。3.第19题：设G=⟨a⟩是15阶循环群。（1）求G的所有生成元；（2）求G的所有子群。4.第20题：设⟨G,·⟩是群，构造f(a)=a⁻¹，证明：f是G的自同构⟺G是交换群。二、思考题（体现高阶性与挑战度）5.第16题：证明素数阶循环群的每个非单位元都是生成元。6.第17题：设G=⟨a⟩，|G|=n，证明G的任意子群是循环群。7.第18题：证明有限群中阶大于2的元素个数一定是偶数。三、预习要求8.预习7.6节“环与域”，思考：一个代数系统上带两个运算时，公理如何安排？整数集⟨Z,+,×⟩满足哪些环的公理？教学总结与反思1.课程目标支撑情况：本次课支撑课程目标1、2，对应教学大纲知识单元3.3“熟练掌握子群判定方法和拉格朗日定理”（子群判定的三个定理、子群的元素数同母群元素数之间的关系），是期末考试证明题的高频考点。2.教学效果估计：陪集的几何直观（铺地砖）能有效降低抽象度；拉格朗日定理的证明学生能听懂但独立书写有困难；置换乘法的运算顺序易错。3.学生学习状态分析与存在问题：常见错误包括左右陪集混用、把“[G:H]”误当作|H|、循环群生成元判定忘记gcd条件。4.改进措施：在复习与习题课（第28次课）安排拉格朗日定理应用与陪集计算的专项训练；置换乘法补充2道当堂演练；将“生成元判定gcd(k,n)=1”做成口诀卡片发平台。（课后根据实际授课情况补充完善）备注1.拉格朗日定理是本章第一个“计数型”定理，证明思想（划分+等势）与第4章等价关系划分、第6章商代数一脉相承，注意前后贯通。2.本次课容量大（陪集、拉格朗日、循环群、置换群、群同态），若时间紧张，Cayley定理与Sₙ的细节可留作课后阅读，保证拉格朗日定理与循环群的课堂训练时间。3.群同态是第6章同态概念的特例，可引导学生对照第6章定理6.10理解“满同态保持性质”。第22次课授课单元（章节)第7章群与环：7.6环与域（7.6.1环的概念与性质、7.6.2域的概念）、7.7应用与拓展、历史人物与事件、思政思考授课学时2授课类型讲授课(√)实践课()其它()授课周次第13周教学目标知识目标：1.掌握环的定义（⟨R,+,·⟩中⟨R,+⟩为交换群、⟨R,·⟩为半群、乘法对加法满足分配律），熟悉整数环、矩阵环、多项式环、模n环⟨Zₙ,⊕,⊗⟩等典型例子。2.掌握环的基本性质（a·0=0、a·(−b)=−(ab)、(−a)(−b)=ab等）、交换环、含幺环、零因子、整环等概念。3.掌握域的定义（交换除环），熟悉⟨Q,+,-,·⟩、⟨R,…⟩、⟨C,…⟩及有限域⟨Z_p,⊕,⊗⟩（p为素数）等例子，理解域与环、整环的关系。4.了解群在密码算法（RSA、Diffie-Hellman、椭圆曲线）、纠错编码（群码）和网络安全中的应用（7.7）。能力目标：1.能按“加法交换群—乘法半群—分配律”三步验证环，能判断零因子与可逆元。2.能运用环的性质进行恒等式证明（如(a+b)(c+d)展开、(ab)⁻¹=b⁻¹a⁻¹等）。素质目标（课程思政）：1.通过群与密码、纠错码的应用认识“数学是国家信息安全与通信技术的基石”，增强科技报国使命感。2.通过诺特、伽罗瓦等数学家事迹，培养坚持真理、勇于创新的科学精神。教学重点、难点1.教学重点：（1）环的定义与判定；典型环的例子；环的基本性质（a·0=0等）。（2）交换环、含幺环、零因子、整环、域的概念及相互关系。（3）有限域⟨Z_p,⊕,⟩（p素数）的判定与应用背景。2.教学难点：（1）双运算系统中公理的层次结构（加法群+乘法半群+分配律）的理解。（2）零因子的概念：⟨Z₆,⊕,⊗⟩中2⊗3=0；“无零因子⟺乘法消去律成立”的等价性。（3）环→整环→域的概念链条及反例区分（Z是整环不是域；Z₆有零因子；Z₄含幺交换但有零因子）。教学方法1.讲授法：系统讲解环与域的定义、性质与概念链条，突出“两个运算、三层公理”的结构。2.案例教学法：以⟨Z,+,×⟩、⟨Zₙ,⊕,⊗⟩、⟨Mₙ(R),+,·⟩、⟨Z[i],+,×⟩（高斯整数环）等正反例对照讲解零因子、整环、域。3.对比归纳法：列表对比环、交换环、含幺环、整环、域的条件差异，构建概念网络图。4.案例与情境教学：结合RSA加密、二维码纠错、Gboard联邦学习等真实应用讲解7.7，提升学习兴趣。5.练习法：当堂判断⟨Z₆,⊕,⊗⟩的零因子与可逆元、验证环的性质恒等式。教学手段1.多媒体课件：展示第七章修改版PPT，包括环的概念层次图、⟨Zₙ,⊕,⊗⟩零因子表、RSA/椭圆曲线加密流程示意图、群码纠错示意图、Gboard案例图等。2.板书：板书环性质恒等式的证明（a·0=0、(−a)b=−(ab)）与零因子判定过程。3.教材及讲义：《离散数学（微课版第2版）》第7章及配套讲义。4.线上教学平台：签到、课堂测验与作业发布。教学内容一、复习与引入回顾群的定义与拉格朗日定理；提问：整数集上既有加法又有乘法，加法成群、乘法只成半群，两者由分配律联系——这种“双运算”系统就是环。从“整数算术”“多项式运算”“矩阵运算”三个熟悉场景引入。二、7.6.1环的概念与性质1.环的定义：⟨R,+,·⟩满足（R1）⟨R,+⟩为交换群；（R2）⟨R,·⟩为半群；（R3）·对+左右分配。2.典型例子：⟨Z,+,×⟩、⟨Q,+,×⟩、⟨R,+,×⟩；⟨Zₙ,⊕,⊗⟩；⟨Mₙ(R),+,·⟩；多项式环R[x]；高斯整数环Z[i]；零环{0}。3.环的基本性质：a·0=0·a=0；a·(−b)=(−a)·b=−(ab)；(−a)(−b)=ab；分配律的推广（和×和展开）。4.特殊环：交换环、含幺环（幺元1）、可逆元与单位群；零因子（⟨Z₆,⊕,⊗⟩中2⊗3=0）；无零因子环⟺乘法消去律；整环（含幺交换无零因子）。三、7.6.2域的概念1.域的定义：含幺交换环中每个非零元都可逆（等价：非零元关于乘法构成交换群）。2.例子：⟨Q,+,-,·⟩、⟨R,…⟩、⟨C,…⟩；有限域⟨Z_p,⊕,⟩（p素数）；反例：Z是整环非域；Z₄、Z₆不是域（有零因子）；⟨Z,+,×⟩的单位群为{±1}。3.概念链条：环⊃交换环⊃含幺交换环⊃整环⊃域；有限整环必是域；域的特征与有限域阶为素数幂（概述）。4.域的应用背景：有限域是密码学与纠错码的数学基础（承上启下）。四、7.7应用与拓展1.群与密码算法：Diffie-Hellman密钥交换、RSA、椭圆曲线密码的群论背景（循环群离散对数问题）。2.群与纠错编码：群码、线性码的群/域结构；二维码、深空通信中的纠错原理概述。3.群与网络安全：GoogleGboard联邦学习中的安全聚合（概述）。五、历史人物与事件、思政思考1.诺特与理想论、伽罗瓦与群论、阿贝尔与方程可解性：抽象代数发展史上的关键人物。2.思政思考：从“数”到“结构”再到“安全”——代数结构是信息安全与通信技术的基石，引导学生认识基础数学的战略价值。教学设计及时间安排教学设计时间分配（分钟）（一）复习及提问1.考勤点名（2分钟）：线上签到或现场点名，记录考勤。2.复习提问（3分钟）：提问拉格朗日定理及推论、循环群生成元判定；讲评上次课作业典型问题。5（二）课程引入课程导入（5分钟）：展示一次“扫码支付”过程：二维码部分污损仍能识别（纠错码）、传输过程加密（密码），提问“背后的数学是什么”，引出环与域及7.7应用。5（三）课程内容新课内容讲授（77分钟）：1.7.6.1环（30分钟）：环的定义与三层公理（8分钟）；典型例子（7分钟）；环的基本性质及证明（8分钟）；零因子、整环与消去律等价性（7分钟）。2.7.6.2域（17分钟）：域的定义与例子（8分钟）；概念链条环→整环→域与反例辨析（6分钟）；有限域Z_p（3分钟）。3.7.7应用与拓展（20分钟）：群与密码算法（8分钟）；群与纠错编码（7分钟）；Gboard与网络安全（5分钟）。4.历史人物与思政思考（10分钟）：诺特、伽罗瓦、阿贝尔事迹；“从数到结构再到安全”的讨论。77（四）融入课程思政设计融入课程思政设计（3分钟）：结合密码学与纠错码的国家战略意义（信息安全自主可控、北斗与深空通信的编码技术），强调“基础数学是核心技术的源头”；结合诺特在逆境中开创理想论的事迹，激励学生坚韧治学、科技报国。3（包含在新课内容讲授的77分钟内）（五）互动环节设计互动环节设计（5分钟）：当堂探究：在⟨Z₆,⊕,⊗⟩中找出全部零因子与全部可逆元，并讨论“为什么Z_p（p素数）没有零因子而Z₆有”，小组讨论后代表发言，教师归纳整环与域的判定要点。5（包含在新课内容讲授的77分钟内）课堂小结（3分钟）：用概念网络图总结“环—交换环—含幺环—整环—域”的条件递增关系与典型反例，强调环的三步验证法与零因子判定；总结第七章知识主线（半群→独异点→群→环→域），预告第八章“格与布尔代数”及第六七八章复习与习题课。3课后作业或思考题一、教材习题（第7章章末“习题”）1.第21题：下列集合关于数的加法与乘法是否成环：{a+b√5|a,b∈Z}、{a+b√2+c√3|a,b,c∈Z}、非负整数集N。2.第22题：判断下列代数系统是否是环并说明理由：n阶方阵关于矩阵加法与乘法、区间[−1,1]上实连续函数关于函数加法与乘法、⟨R,+,·⟩，其中·定义为a·b=|a|b。3.第24题：给定环⟨R,+,·⟩，a,b,c,d∈R，证明：（1）(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd；（2）若ab=ba=0，则(a+b)ⁿ=aⁿ+bⁿ。4.第25题：设a和b是含幺环R中对乘法的两个可逆元，证明：（1）−a也是可逆元，且(−a)⁻¹=−a⁻¹；（2）ab也是可逆元，且(ab)⁻¹=b⁻¹a⁻¹。5.第27题：给定域⟨R,+,·⟩，S={a+b√2|a,b∈Q}，证明⟨S,+,·⟩为⟨R,+,·⟩的子域。二、思考题（体现高阶性与挑战度）6.第23题：证明环中乘法零元与加法幺元等价（即加法幺元0恰为乘法零元）。7.第26题：设R是环，C={x|x∈R∧∀a∈R,xa=ax}为R的中心，证明C是R的子环。8.讨论：⟨Zₙ,⊕,⊗⟩何时是域、何时是整环、何时有零因子？给出完整结论并证明。三、预习要求9.预习第8章“格与布尔代数”，思考：偏序关系中“每两个元素都有最大下界和最小上界”的结构长什么样？它与布尔代数、数字电路有什么联系？教学总结与反思1.课程目标支撑情况：本次课支撑课程目标1（掌握一些特殊的代数系统：环、域）与课程目标2，对应教学大纲第三部分“代数系统”知识单元3.3的环域部分，并通过7.7应用案例支撑课程思政目标（科技报国、信息安全意识）。2.教学效果估计：环的三层公理结构学生初次接触易“顾此失彼”；零因子与整环的概念通过⟨Z₆,⊕,⊗⟩实例能较好理解；7.7应用案例课堂气氛活跃、抬头率高。3.学生学习状态分析与存在问题：易错点：验证环时漏验分配律；把“含幺”当作环的必备条件；混淆“可逆元”与“非零元”。4.改进措施：概念链条图（环→整环→域+反例）印发给学生；在复习与习题课安排环域判定的对比练习；对7.7应用提供延伸阅读链接供学有余力者自学。（课后根据实际授课情况补充完善）备注1.环与域是“双运算”代数系统的第一次系统学习，务必用⟨Z,+,×⟩作“原型”贯穿讲解，帮助学生建立直觉。2.有限域Z_p是密码学与纠错码的基础，也是7.7应用案例的数学内核，建议与案例结合讲解而非孤立定义。3.本次课为第七章最后一次课，小结时给出第七章完整知识地图（半群→独异点→群→子群/陪集/拉格朗日→循环群/置换群→环→域），为复习课做铺垫。第23次课授课单元（章节)第8章格与布尔代数：8.1格的定义与性质、8.2分配格、有补格与布尔代数、8.3应用与拓展、8.4历史人物与事件授课学时2授课类型讲授课(√)实践课()其它()授课周次第14周教学目标知识目标：1.掌握格的偏序定义（任意两元素有最大下界与最小上界）与代数定义（两个二元运算满足交换律、结合律、吸收律），理解两种定义的等价性及对偶原理。2.掌握格的基本性质（等幂律、吸收律、保序性等）、子格概念；掌握分配格、有界格、有补格的定义与例子。3.掌握布尔代数的定义（有补分配格）与基本性质（补元唯一、德摩根律、0/1性质），理解布尔表达式及其化简；了解原子与有限布尔代数的表示。4.了解格在数字电路设计、程序静态分析（抽象解释）、形式概念分析（FCA）与知识图谱中的应用（8.3）。能力目标：1.能用偏序和代数两种观点识别格、判断子格，能运用对偶原理由定理得到对偶定理。2.能进行布尔表达式的化简与对偶式求解，能分析简单数字电路的布尔函数。素质目标（课程思政）：1.通过布尔代数与数字电路、芯片设计的关系（乔治·布尔、香农），认识“逻辑—代数—电路—芯片”的技术链条，结合国产芯片（麒麟9000s）案例增强科技自立自强意识。2.通过对偶原理体会数学的对称美与统一美。教学重点、难点1.教学重点：（1）格的两种定义及其等价性；对偶原理；格的基本性质。（2）分配格、有界格、有补格的定义与判定；典型例子与反例（钻石格、五角格）。（3）布尔代数的定义与性质（补元唯一、德摩根律）；布尔表达式化简。2.教学难点：（1）偏序定义与代数定义的相互转化（由≤定义∧、∨，由∧、∨定义≤）及等价性证明思路。（2）对偶原理的准确表述与使用。（3）有补格中补元不一定唯一（非分配格情形）；布尔代数中补元唯一性的证明。教学方法1.讲授法：系统讲解格的两种定义、性质与布尔代数理论，突出“偏序↔代数”的双重视角。2.图示法：大量使用哈斯图（链、反链、钻石格M₃、五角格N₅、布尔代数B₂ⁿ的哈斯图）建立直观。3.案例教学法：以⟨P(S),⊆⟩与⟨P(S),∩,∪⟩、⟨Z₊,|⟩（整除格）、子群格、⟨{0,1},∧,∨,¬⟩等实例对照讲解。4.对比归纳法：对比分配格/有界格/有补格/布尔代数的条件，用M₃、N₅作反例辨析。5.案例与情境教学：结合开关电路、逻辑门与芯片案例讲解8.3、8.4，提升兴趣与思政融入。教学手段1.多媒体课件：展示第八章修改版PPT，包括各类格的哈斯图、对偶原理对照表、M₃与N₅反例图、逻辑门与电路化简示意图、FCA概念格示意图、芯片案例图等。2.板书：板书两种定义等价性的证明思路、补元唯一性与德摩根律的证明。3.教材及讲义：《离散数学（微课版第2版）》第8章及配套讲义。4.线上教学平台：签到、课堂测验与作业发布。教学内容一、复习与引入回顾第4章偏序关系、哈斯图、最大/最小上（下）界；回顾第7.3.3子群格；引入：什么样的偏序集“任意两元素都有最大下界和最小上界”？——格。从集合包含关系⟨P(S),⊆⟩、整除关系⟨Z₊,|⟩两个熟悉例子切入。二、8.1格的定义与性质1.偏序定义：⟨L,≤⟩中任意a,b有glb（记a∧b）与lub（记a∨b）；例子：⟨P(S),⊆⟩、Z₊,|⟩、链、⟨Sₙ,⊆⟩（子群格）；反例：某些偏序集两元素无上界或上界无最小者。2.代数定义：⟨L,∧,∨⟩满足交换律、结合律、吸收律（等幂律可由吸收律推出）；由运算定义偏序a≤b⟺a∧b=a。3.两种定义的等价性（证明思路）；子格的定义与例子。4.对偶原理：格的对偶命题仍成立；例子：分配不等式的对偶。5.格的基本性质：等幂律、交换律、结合律、吸收律、保序性（a≤b⟹a∧c≤b∧c,a∨c≤b∨c）。三、8.2分配格、有补格与布尔代数1.分配格：a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)（另一式等价）；反例：M₃、N₅不是分配格；定理：格是分配格⟺不含与M₃、N₅同构的子格（概述）。2.有界格：全下界0与全上界1；有限格必有界。3.补元与有补格：a∧b=0且a∨b=1；有补格中补元未必唯一（N₅/M₃例子）；分配有补格中补元唯一，记¬a。4.布尔代数：有补分配格⟨B,∧,∨,¬,0,1⟩；性质：双重否定、德摩根律、0/1运算性质、a∧¬a=0、a∨¬a=1；二元布尔代数B₂=⟨{0,1},∧,∨,¬,0,1⟩。5.布尔表达式与化简：布尔代数中表达式的定义、对偶式f*；化简示例（与习题8.11呼应）；原子与有限布尔代数的表示定理（概述：有限布尔代数≅B₂ⁿ）。四、8.3应用与拓展1.8.3.1格与数字电路：逻辑门（与、或、非）即B₂上的运算；开关电路与布尔表达式；表达式化简=电路化简（门数最少）；香农将布尔代数用于电路设计的历史。2.程序静态分析与抽象解释：用抽象域（格）近似程序状态空间，不动点迭代求程序性质（概述）。3.形式概念分析（FCA）：形式上下文K=(G,M,I)与概念格；知识图谱构建、数据挖掘中的应用（概述）。五、8.4历史人物与事件、思政思考1.乔治·布尔：自学成才、创立布尔代数；《思维规律的研究》开辟数理逻辑与布尔逻辑分支。2.从布尔代数到芯片：逻辑电路是芯片的数学底座；结合华为麒麟9000s芯片案例讨论核心技术自主可控，激发科技报国志向。教学设计及时间安排教学设计时间分配（分钟）（一）复习及提问1.考勤点名（2分钟）：线上签到或现场点名，记录考勤。2.复习提问（3分钟）：提问偏序、哈斯图、上下界概念及第7章子群格例子，为格的定义做铺垫。5（二）课程引入课程导入（5分钟）：展示⟨P({a,b}),⊆⟩的哈斯图与“开关串并联电路”图，提问“交并运算与串并联的对应关系”，引出格与布尔代数，并预告“今天的内容就是芯片的数学”。5（三）课程内容新课内容讲授（77分钟）：1.8.1格的定义与性质（32分钟）：偏序定义与例子反例（10分钟）；代数定义与两定义等价性（12分钟）；对偶原理与基本性质（10分钟）。2.8.2分配格、有补格与布尔代数（33分钟）：分配格与M₃、N₅反例（10分钟）；有界格、补元、有补格（8分钟）；布尔代数定义与性质、德摩根律证明（9分钟）；布尔表达式化简与对偶式（6分钟）。3.8.3应用与拓展（12分钟）：格与数字电路（6分钟）；抽象解释与FCA概述（6分钟）。77（四）融入课程思政设计融入课程思政设计（3分钟）：结合8.4讲述布尔自学成才创立布尔代数、香农将其用于电路设计的历史，以及从布尔代数到现代芯片的技术链条；以华为麒麟芯片遭遇出口管制仍实现突破的案例，引导学生认识基础研究—核心技术—国家安全的逻辑，树立科技自立自强的志向。3（包含在新课内容讲授的77分钟内）（五）互动环节设计互动环节设计（5分钟）：当堂探究：给出两个哈斯图（含M₃与N₅），小组判断是否为格、是否为分配格、是否有补，并说明补元是否唯一；邀请2～3组发言，教师用反例定理点评。5（包含在新课内容讲授的77分钟内）课堂小结（3分钟）：按“偏序格↔代数格；+分配=分配格；+有界有补=有补格；分配+有补=布尔代数”的条件递增主线总结，强调对偶原理与补元唯一性条件；说明本章与第4章偏序、第7章子群格的联系，预告第六、七、八章复习与习题课。3课后作业或思考题一、教材习题（第8章章末“习题”，教材第167～168页）1.第3题：设D是集合S上的整除关系，判断以下S关于D是否构成格：S={1,2,3,4,6,12}、{1,2,3,4,5,8,10,12}、{1,2,…,9}、{2,4,6,12,24,36}。2.第5题：举出满足下列条件的例子：（1）是偏序集不是格；（2）是分配格不是布尔代数。3.第6题：设L是格，a≤b≤c，证明a∨b=b∧c。4.第10题：设⟨L,∧,∨,0,1⟩是有界格，证明a∧0=0、a∨0=a、a∧1=a、a∨1=1。5.第11题：设B是布尔代数，f=(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)。（1）化简f；（2）求f的对偶式f*。二、思考题（体现高阶性与挑战度）6.第1题：设S是所有命题组成的集合，说明S在什么偏序下构成偏序格。7.第15题：对n=1,2,3,4,5给出所有不同构的n元格，并说明哪些是分配格、有补格和布尔格。8.第16题：当n分别是24,36,110时，⟨Sₙ,|⟩是布尔代数吗？若是，求出其原子集。三、预习要求9.整理第6、7、8章知识框架图，准备复习与习题课：重点回顾运算性质判定、同态同构、子群判定、拉格朗日定理、环域判定、格与布尔代数判定六类方法。教学总结与反思1.课程目标支撑情况：本次课支撑课程目标1（掌握格的基本理论和布尔代数）与课程目标2，对应教学大纲知识单元3.4“掌握格同偏序集之间的关系”（最大元、最小元），并通过8.3、8.4支撑课程思政目标（科技自立自强）。2.教学效果估计：哈斯图直观性强，格的偏序定义学生接受度高；代数定义与等价性证明较抽象；布尔表达式化简通过电路案例兴趣浓厚。3.学生学习状态分析与存在问题：易错点：把“有上界”误当“有最小上界”；在非分配格中默认补元唯一；对偶式与补元混淆。4.改进措施：M₃、N₅反例图印发学生；在复习课安排“格/分配格/有补格/布尔代数”四步判定专项练习；布尔化简补充2道电路背景练习。（课后根据实际授课情况补充完善）备注1.本章仅1次课，容量大，8.3应用与8.4历史人物可视时间压缩为概述+课后阅读，优先保证8.1、8.2的课堂训练。2.格是第4章偏序与第7章子群格的抽象统一，讲解时反复回扣这两个“原型”，降低抽象度。3.布尔代数是数字逻辑、数据库查询优化、形式验证等后续课程的基础，可提示学生注意与专业课的衔接。第24次课授课单元（章节)第六、七、八章复习与习题课（代数系统基本概念及性质、群与环、格与布尔代数）授课学时2授课类型讲授课()实践课()其它(√)（复习与习题课）授课周次第14周教学目标知识目标：1.系统梳理第六、七、八章知识框架：代数系统→半群→独异点→群→（子群、陪集、拉格朗日定理、循环群、置换群）→环→域；格→分配格→有补格→布尔代数；以及贯穿其中的同态与同构主线。2.归纳六类核心方法：运算性质与特殊元素判定（含运算表法）、同态与同构判定、子群判定、拉格朗日定理应用、环与域