三角计算及其应用电子教案

第一课时：两角和及差的余弦(一)

【教学目标】

知识目标：

理解两角和及差的余弦公式.

能力目标：

通过三角计算的学习，培养学生的计算技能及计算工具使用技能.

【教学重点】

本节课的教学重点是两角差的余弦公式.

【教学难点】

难点是公式的推导和运用.

【教学设计】

介绍新知识前，先利用特殊角的三角函数值，认识到COS(60°-30°)WCQS60O-COS30O,进而提

出如何计算cos(a—⑶的问题.这个导入过程是件常重要的，所指出的错误正是学生学习中最容易发生的，

在教学中不可忽视.利用向量论证cos(a-/)的公式，使得公式推导过程简捷.正确理解向量数量积的两

种方法是理解公式推导过程的关键.建议教师授课前，让学生复习向量的有关知识.这个公式是推导后面

各公式的基础，教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向及反向的应用上.例1-例4都是西角和

及差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点.例3中得到的结论cos(E-a)=sina,

2

sin(7乙T-a)=cosa都是初中学习过的公式，现在符角从锐角推广到任意角.根据《中等职业学校数学教

2

学大纲》的要求，教材并没有将这组公式作为公式来进行强化，只作为两角和及差的余弦公式运用的教学

例题出现，同时承上启下，为指导sin(a_!_/?)的公式作准备.教材利用cos(a-〃)的公式推导cos(a+〃)

的公式的步骤是：利用cos(a+/?)=cos[a-(-0],推出cos(a+0.

【课时安排】

1课时.

【教学过程】

揭示课题

1.1两角和及差的余亲公式

创设情境兴趣导入

问题我们知道，cos60°=-,cos30°=—,

一22

由此可知cos(a-/7)wcosa-cos0.

动脑思考探索新知

在单位圆(如上图)中，设向量。4、及*轴正半轴的夹角分别为a和6，则点力的坐标为

(cosa,sina),点笈的坐标为(cossinp).

因此向量=(cosa.sina),向量O*=(cos/?,sin/)，且[。4卜1,1。q=1.

于是月=|。4|104853-夕)=8$3—0,又

所以cos(a-P)=cosa-cos+sina-sin/7.(1)

又cos(c?+/?)=cos[c?-(-7?)]

=cosa-cosp-sina-sinp.(2)

利用诱导公式可以证明，(1)、(2)两式对任意角都成立(证明略).山此得到两角和及差的余弦公式

cos(a+/?)=cosa-cos-sina-sin0(1.i)

cos(a-/?)=cosa-cos/?+sin«-sin0、(1.2)

公式(1.1)反映了a+夕的余弦函数及a,〃的三角函数值之间的关系；公式(1.2)反映了

a一/的余弦函数及a,尸的三角函数值之间的关系.

巩固知识典型例题

例1求cos75。的值.

分析可利用公式(1.1),将75°角看作45°角及30°用之和.

解cos75°=cos(45°4-30°)=cos45°cos300-sin45°sin300

>/2x/3x/21V6-V2……、

=——x-------x-=--------.(转卜节)

22224

第二课时：两角和及差的余弦(二)

【教学目标】

知识目标：

理解两角和及差的余弦公式.

能力目标：

通过三角计算的学习，培养学生的计算技能及计算工具使用技能.

【教学重点】

本节课的教学重点是两角和及差的余弦公式.

【教学难点】

难点是公式的运用.

【课时安排】

1课时.

【教学过程】(接上节)

巩固知识典型例题

例1求cos75°的值.

分析可利用公式(11),将75°角看作45°角及20°角之和.

解cos75°=cos(45°+30°)

34

例2设cosa=M，cos〃=g,并且a和夕都是锐角，求cos(a+/?)的值.

分析可以利用公式(1.1),但是需要首先求出sina及sin/?的值.

34

解因为cosa=w，cos^=-»并且a和〃都是锐角，所以

因此cos(a+/?)=cosacos/J-sinarsin/7,

例3分别用sina或cosa,表示cos(四一a)及sin(Z-a)

22

解cos(--a}-cos—•cosa+sin—­sina

222

故cos(--a)=sina•

2

7E7T

令^-a=〃，则a=］一/，代入上式得

即sing-a)=cosa.

运用知识强化练习

1.求cos105。的值.

2.求COS15。的值.

理论升华整体建构

思考并回答下面的问题：

两角和及差的余弦公式内容是什么？

结论：

两角和及差的余弦公式

cos(a+/?)=cosacos〃一sinasin°(1.1)

cos(a~/3)=cosa-cos/?+sina-sin0(1.2)

自我反思目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

已知$由。=’,§汨)=」，且。，夕均为锐角，求cos(a+£)的值.

23

继续探索活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习跑1.I(必做)；学习指导1.1(选做)

(3)实践调查：用两角和及差的余弦公式印证•组诱导公式

课后反思：

第三课时：两角和及差的余弦公式及正弦公式(一)

【教学目标】

知识目标：

理解两角和及差的正弦公式.

能力目标：

通过三角计算的学习，培养学生的计算技能及计算工具使用技能.

【教学重点】

运用公式，进行简单三角函数式的化简及求值.

【教学难点】

运用公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题.

【教学设计】

TT

公式sin(a+0的推导过程是，首先反向应用例3中的结论cos(]—o)=sina,然后再利月公式

cos(a-fl),最后整理得到公式.教学关键是引导学生将(a+夕)看做整体，这样才能应用公式

cos(--«).反向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，要在不同的例题和不

2

同知识层面的教学上引起足够的重视.例5、例6是公式的巩固性题目，教学中要强调公式的特点，例7

是反向应用公式，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，$1：重方法和思想的教

育.

【教学备品】

教学课件.

【课时安排】

1课时.

【教学过程】

揭示课题

1.1两角和及差的余无公式及正弦公式.

*创设情境兴趣导入

问题cos(^-a=?

动脑思考探索新知

山于cos(弓一a)=sina对于任意角都成立，所以

2

由此得到，两角和及差的正弦公式

sin(a+p}=sina-cosp+cosa-sin/?(1.3)

sin(a-p)=sina-cosp-cosa-sinp(1.4)

巩固知识典型例题

例5求sin15。的值.

分析可以利用公式(1.4),将15°角可以看作是60°角及45°角之差.

解sinl50=sin(60°-45°)

例6已知cosa=-,ae(-巳,0),求sin(a+—)的值.

526

解由于aw(工,0),故

2

所以

【教学重点】

运用公式，进行简单三角函数式的化简及求位.

【教学难点】

运用公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题.

【教学设计】

公式311（。+£）的推导过程是，首先反向应用例3中的结论85（］-。）=411。，然后再利用公式

cos（a-尸），最后整理得到公式.教学关键是引导学生将（a+£）看做整体，这样才能应用公式

cos（^-a）.反向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，要在不同的例题和不

同知识层面的教学上引起足够的重视.例5、例6是公式的巩固性题目，教学中要强调公式的特点，例7

是反向应用公式，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，注重方法和思想的教

育.

【教学备品】

教学课件.

【课时安排】

1课时.

【教学过程】

（接上节）

巩固知识典型例题

例7求5m105。8575。+88105。+1175。的值.

分析所给的式子恰好是公式（L3）右边的形式，可以考虑逆向使用公式.

解sin105°cos750+cos105Osin75°

【小提示】

逆向使用公式是非常重要的，往往会带来新的思路，使问题的解决简单化.

运用知识强化练习

1.求sin165。的值.

2.求sin255。的值.

3.求sin250cos85。-cos250sin85。的值.

理论升华整体建构

思考并回答下面的问题：

两角和及差的正弦公式内容是什么？

结婚:

两角和及差的余弦公式

sin（cr+/?）=sincr-cosp+cosa-sinp（1.3）

sin（cr-/?）=sin«-cosp-cosa-sinp（1.4）

归纳小结强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

自我反思目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

已如cosa=-----,且求sin(a-E)的值.

1324

继续探索活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题1.1(必做)；学习及训练1.1《选做)

(3)实践调杳：用两角和及差的正弦公式印证一组诱导公式

课后反思：

第五课时：倍角公式(一)

【教学目标】

知识目标：

了解二倍角公式..

能力目标：

通过三角计算的学习，培养学生的计算技能及计算工具使用技能.

【教学重点】

运用二角公式，进行简单三角函数式的化简及求值.

【教学难点】

运用三角公式，解决简单三角函数式的化筒及求值问题.

【教学设计】

要明确二倍角的概念：功是a的二倍角，3。是丝的二倍角，a是q的二倍角等.二倍角的实

22

质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数.要使学生从一开始就对二倍角的含义有正确的

认识.二倍角余弦的三种形式的公式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点.公式

cos2a=cos2a-sin2a的特点是公式的右边是平方差的形式，可以方便的进行因式分解：公式

cos2a=2cos2a_1和cos2a=1-2sin2a是分别用角a的余弦及正弦中的一种函数来表示二倍角余

弦；变形公式sin?a=匕虫”,和cos?a=山上当的特点是公式的左边是关于三角函数的平方，右

22

边是关于二倍角余弦的一次式.正向使用公式通常把公式叫做降塞公式，反向使用公式通常把公式叫做升

轼公式.降解公式和升靠公式在专业课程及后继课程的学习中，行着广泛的应用.要引导学生抓住各个公

式的特点，理解、记忆和正确使用这些公式.

【课时安排】

1课时.

【教学过程】

揭示课题

1.1两角和及差的余无公式及正弦公式.

动脑思考探索新知

在公式（1.3）中，令a=〃，可以得到二倍角的正弦公式

即

sin2a=2sinacosa(1.5)

同理，公式（1.1）中，令a=〃，可以得到二倍角的余弦公式

cos2a=cos2a-sin2a(1.6)

因为sii?a+cos2a=1,所以公式（1.6）又可以变形为

或cos2a=l-2sin-a.

还可以变形为

21+cos2a

或cosa=--------

2

公式（1.5）.（1.6）及其变形形式，反映出具有二倍关系的角的三角函数之间的关系.在三角的计

算中有着广泛的应用.

【小提示】

二倍角公式适用于所有具有二倍关系的角.如4a及2。，。及区，区及区等.

224

巩固知识典型例题

3

例8已知sina=-,且a为第：象限的角，求sin2a、cos2a的值.

5

解因为a为第二象限的角，所以

故sin2a=2sinacosa=-—>

25

aIct

例9已知cos—=一—，且ae（兀,2兀），求sina、cos一的值.

234

分析3及a,区及区之间都是具有二倍关系的角，故可以使用二倍角公式来计算

224

解由。€（冗,2兀）知巳6（£,70，所以

22

sina=2sin%s4=2x逑x(」)=-逑

故

22339

,a,,1、

1+cos—1+(——).

,a,兀兀、口2a231

由于一e(一，一)，且cos/二=———^-=--^-=-.所以

4424223

cos—=.(转下节)

43

第六课时：倍角公式（二）

【教学目标】

知识目标：

了解二倍角公式..

能力目标：

通过三角计算的学习，培养学生的il•算技能及计算工具使用技能.

【教学重点】

运用三角公式，进行简单三角函数式的化简及求值.

【教学难点】

运用三角公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题.

【教学设计】

要明确二倍角的概念：2a是a的二倍角，3a是红的二倍角，a是巳的二倍角等.二倍角的实

22

质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数.要使学生从一开始就对二倍角的含义有正确的

认识.二倍角余弦的二种形式的公式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点.公式

cos2a=cos2a-sin2々的特点是公式的右边是平方差的形式，可以方便的进行因式分解：公式

cos2£r=2cos2cr-1和cos2a=l-2sin2a是分别用角a的余弦及正弦中的•种函数来表示二倍角余

弦；变形公式0吊2夕=上山匚区和COS2C=52必的特点是公式的左边是关于三角函数的平方，右

22

边是关于二倍角余弦的一次式.正向使用公式通常把公式叫做降鼻公式，反向使用公式通常把公式口」做升

耗公式.降恭公式和升箱公式在专业课程及后继课程的学习中，有着广泛的应用.要引导学生抓住各个公

式的特点，理解、记忆和正确使用这些公式.

【课时安排】

1课时.

【教学过程】

巩固知识典型例题

3

例8已知sina=—，且。为第二象限的角，求sin2a.cos2a的值.

5

解因为。为第二象限的角，所以

.24

故wsin2a=2sinacosa=---,

25

例9已知cost=一1，且ae（兀,2兀），求sina、cos?■的值.

234

分析巴及巴及巴之间都是具有二倍关系的角，故可以使用二倍角公式来计算

224

解由。6（兀,2兀）知名€（二兀），所以

22

1+COS—1+（——）.

由于,且cos2g=——-2-=--^-=-.所以

4424223

【注意】

要用公式（L6）及其变形公式求三角函数的值时，经常需要进行开方运算，因此，要首先确定

角的范围.

运用知识强化练习

已知sina=2，且。为第一象限的角，求sin2a、cos2a.

13

理论升华整体建构

思考并回答下面的问题：

二倍角的正弦、余弦公式的内容是什么？

结论：

自我反思目标检测

本次课采用r怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

4

已知cos2a=g,且2a€［兀2兀］求sina.

继续探索活动探究

（1）读书部分：教材

（2）书面作业：教材习题1.1（必做）；学习及训练1.1（选做）

（3）实践调查：通过公式推导，了解公式间内在联系.

第七课时：正弦型函数（一）

【教学目标】

知识目标：

掌握止弦型函数的性质.

能力目标：

（1）通过三角计算的学习，培养学生的计算技能及计算工具使用技能.

（2）通过应用举例及数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力.

【教学重点】

利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值.

【教学难点】

利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值.

【教学设计】

本节课的教学重点是正弦型函数性质的理解及应用，教材主要研究正弦型函数的周期性和最大值(最

小值).讲解这部分内容时，一定要注意“变量替换”的运用，要讲清利用“变量替换”的手段进行化归的

思想，以利于通过各个部分内容的教学，使得学生切实掌握这个前要的数学思维方法.例1介绍了求正弦

型函数的最住及相应的角的取值的方法.解题过程中设新变量zf勺目的是突出、强化“变量替换”，熟练之

后，可以省略设新变量的过程，将21+巳看做一个整体，宜接写出取得最大(小)值时的角.

6

【课时安排】

一课时.

【教学过程】

揭示课题

L2正弦型函数.

*创设情境兴趣导入

我们已经学习了正弦函数)，=sinx和余弦函数)，=cosx.在物理和电学中，经常遇到形如

y=Asin(cox+0)(A>0,3>0)的函数，这类函数叫做正弦型函数

动脑思考探索新知

正弦型函数及正弦函数y=sinx有着密切的关系.

在正弦型函数y=Asin〃yx+*)中，令z=@r+0,贝4

函数y=sinz是正弦函数，其定义域为R,周期为2兀，故函数y=As\n(cox+(p)(A>0,S>0)

的定义域为R,并且

,.2it.

即n/(x)=/(x+——)-

co

因此，函数y=Asin(/K+8)也是周期函数，其周期为一.

(0

由于函数片sinz的最大值为1,最小值为一1,故尸/lsinzJ>0)的最大值为人最小值为一比即正

弦型函数y=Asin(〃)x+0)的最大值为A,最小值为一儿

综上所述，正弦型函数y=Asin(Gx+*)(4>Q/>0)的定义域为R,周期为生，最大值为4

ci)

最小值为一力

巩固知识典型例题

JT

例1求函数,V=2sin(2x+—)的周期,并指出当角X取何值时函数取得最大值和最小值.

6

设z=2x+2,则x=.—工.

6212

7TIT

当z=2E+],即x=E+X时，函数y=2sinz有最大值，最大值为2：

当z=2E+型，即％=履+型时，函数y=2sinz有最小值，最小值为一2.

23

TT7T27r

所以，当人=&八十勺伏wZ）时，函数），=2sin（2人+勺）取得最大值2：当人=AJI+Y（A&Z）时，

663

7T

函数y=2sin（2x+-）取得最小值一2.

（转下节）

第八课时；正弦型函数（二）

【教学目标】

知识目标：

掌握正弦型函数的性质.

能力目标：

（1）通过三角计算的学习，培养学生的计算技能及计算工具使用技能.

（2）通过应用举例及数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力.

【教学重点】

利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值.

【教学难点】

利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值.

【教学设计】

本节课的教学重点是正弦型函数性质的理解及应用，教材主要研究正弦型函数的周期性和最大值（最

小值）.讲解这部分内容时，一定要注意“变量替换”的运用，要讲清利用“变量替换”的手段进行亿归的

思想，以利于通过各个部分内容的教学，使得学生切实掌握这个重要的数学思维方法.例1介绍了求正弦

型函数的最值及相应的角的取值的方法.解题过程中设新变量zf勺目的是突出、强化“变量替换”，熟练之

后，可以省略设新变量的过程，将2x+二看做•个整体，直接写出取得最大（小）值时的角.

6

【课时安排】

一课时.

【教学过程】（接上节）

动脑思考探索新知

一般地，研究函数y=asinx+bcosx（a>0,6>0）时，首先要把函数转化为

y=Asin（x十夕）的形式.考察以（a,。）为坐标的点尸（如图1—2）,汝以O尸为终山的角为则

图1一2

于是

即A=，/2+〃2角。的值可以由tanO=2确定(角6所在的象限及点P所在的象限相同).

a

巩固知识典型例题

故当2x-¥=2E+E,即x=k7i+?(kwZ),户取得最大值2：当2x-2=2E-N,即

321232

x=E-噎(%wZ),y取得最小值一2

运用知识强化练习

求下列函数的周期，并指出当角*取何值时函数取得最大直和最小值：

(1)y=sin(3x--)；*(2)y=sin2x-cos2x.

-4

理论升华整体建构

结论：正弦型函数)，=4311(8+8)(4>0,。>0)的定义域为七周期为生,最大值为4最小

(0

值为一九

继续探索活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题1.2(必做)：学习及训练1.2(选做)

第九课时：作正弦型函数的图象(一)

【教学目标】

知识目标：

会利用“五点法”作出正弦型函数的图像，了解正弦型函数在电学中的应用.

能力目标：

通过应用举例及数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力.

【教学重点】

利用“五点法”作出正弦型函数的图像：已知正弦型函数的图像写出函数的解析式.

【教学难点】

已知正弦型函数的图像写出函数的解析式.

【教学设计】

本节课的教学要求是掌握正弦型函数的性质及图像的“五点法”作图：由于主要为工科机电类专业

服务，所以，在正弦型函数的应用方面，没有介绍传统的简谐振动，而把重点放在介绍简谐交流电的三要

索和同频率的正弦量的合成上，正弦量的合成也只介绍同峰值的正弦量的合成，降低了难度.例7是同频

率的正弦量的合成问题.计算量比较大，可以根据学生的情况选用.电工实际计算中，一般是利用向量或

奥数进行计并.教材中女排本题的意图是为学生理解问频率的正弦量的合成莫定基础.

【课时安排】

1课时.

【教学过程】

揭示课题

1.2正弦型函数.

*创设情境兴趣导入

及正弦函数图像的做法类似，可以用“五点法”作出正弦里函数的图像.正弦型函数的图像叫做正

弦型曲线.

巩固知识典型例题

例3作出函数)，=2$in(x—工)在一个周期内的简图.

分析函数y=2sinCr-2)及函数)，=2sinx的周期都是2几，最大值都是2,最小值都是一2.

4

解为求出图像上五个关键点的横坐标，分别令—乙=0,Ji,―,2兀，求出对应x的

422

值及函数)，的值，列表1-1如下：

表1一1

xn3n57r77r9兀

44444

7Tn3n

X—0TC2n

42T

.z兀、

sin(x--)010-10

y=2sin(x-()

020-20

■2)、

•般地，为了作出正弦型曲线y=Asin(〃)x+e)(A>0,a)>0)»号t=a)x+(p、利用上面的

方法，可以求得五个关犍点的坐标为(―反,0),(~^+-,X),(-^+-,0),(一2+江,—A),

coco4co2co4

（-2+7,0）.

co

巩固知识典型例题

例4利用“五点法”作出函数y=2sin（』x+2）在一个周期内的图像.

n

86-

---=

解函数的周期为7=-^4兀.-1一色，所以书个关键点为（一色,0）,（—,2）.

刃333

2-

2

（―,0）*（―，-2）.（—,0）.（转下节）

333

第十课时：作正弦型函数的图象（二）

【教学目标】

知识目标：

会利用“五点法”作出正弦型函数的图像，了解正弦型函数在电学中的应用.

能力目标：

通过应用举例及数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力.

【教学重点】

利用“五点法”作出正弦型函数的图像：已知正弦型函数的图像写出函数的解析式.

【教学难点】

己知正弦型函数的图像写出函数的解析式.

【教学设计】

本节课的教学要求是掌握正弦型函数的性质及图像的“五点法”作图：由于主要为工科机电类专业

服务，所以，在正弦型函数的应用方面，没有介绍传统的简谐振动，而把重点放在介绍简谐交流电的三要

素和同频率的正弦量的合成上，正弦量的合成也只介绍同峰值的正弦量的合成，降低了难度.例7是同频

率的正弦量的合成问题.计算量比较大，可以根据学生的情况选用.电工实际计算中，•般是利用向量或

复数进行计算.教材中安排本题的意图是为学生理解同频率的正弦量的合成奠定基础.

【课时安排】

1课时.

【教学过程】（接上节）

描出这五个点，然后用光滑的曲线联结各点，得到函数在一个周期内的图像（如图1一4）.

图1一4

运用知识强化练习

利用“五点法”作出下列函数在一个周期内的图像：

（1）y=3sin（3x+—）；（2）y=—sin（2x+—）.

动脑思考探索新知

在电学中，电流强度的大小和方向都随时间变化的电流叫做交变电流，简称交流电.最简单的是简

谐交流电，其电流的大小和方向随时间而变化，满足

的函数关系.其中/，“是电流强度的最大值，叫做筒谐交流电的峰值；7=二一叫做筒谐交流电的

co

变化周期，表示交流电完成一次周期性变化所需的时间（单位为：s）：单位时间内，交流电完成周期性变

化的次数叫频率，用/表示，/=（，单位为Hz（赫兹）；+叫做相位，力。叫做初相位.

峰值、频率和初相位是简谐交流电的三要素.它们从三个不同的方面描述了简谐交流电的物理特征.

27r

在物理学中，用s=4sin（0f+。）表示简谐振动，s表示位移，A叫做振幅：T=——叫做简

（0

谐振动的变化周期，/=，叫做简谐振动的变化频率.，0/+例叫做相位：&）叫做初相位.

巩固知识典型例题

例5已知交流电的电流强度i（单位：A）随时间〃单位：S）的函数关系为i=40sin（100兀

写出电流的峰值、周期、频率和初相位.

解峰值为/,”=40（A）,

周期为7=_YX=0.02（S）；

100n

频率为f=-=—=50（Hz）；

T0.02

初相位为W=

（转下节）

第十一课时：作正弦型函数的图象（三）

【教学目标】

知识目标：

会利用“五点法”作出正弦型函数的图像，了解正弦型函数在电学中的应用.

能力目标：

通过应用举例及数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力.

【教学重点】

利用“五点法”作出正弦型函数的图像；已知正弦型函数的图像写出函数的解析式.

【教学难点】

已知正弦型函数的图像写出函数的解析式.

【教学设计】

本节课的教学要求是掌握正弦型函数的性质及图像的“五点法”作图：由于主要为工科机电类专业

服务，所以，在正弦型函数的应用方面，没有介绍传统的简谐振动，而把重点放在介绍简谐交流电的三要

素和同频率的正弦量的合成上，正弦量的合成也只介绍同峰值的正弦量的合成，降低了难度.例7是同频

率的正弦量的合成问题.计算量比较大，可以根据学生的情况选用.电工实际计算中，一般是利用向量或

复数进行计算.教材中安排本题的意图是为学生理解同频率的正弦量的合成奠定基础.

【课时安排】

1课时.

【教学过程】（接上节〕

例6日知交流电的电流强度i（单位：A）随时问，（单位：s）变化的部分曲线如图1-5所示.试

写出，及/的函数关系式.

图1一5

解电流强度i随时间『的变化满足正弦型函数关系，故设所求的函数关系为

观察图1-5得到，峰值A=30,周期

*7JT

于是有——=2x10-2,解得。=io07c.因为图1-5中所示

CD

起点坐标的横坐标为0.25x1CT?,即+时，f=0.25x10-2,

-2

所以（pQ=-<yr=-JOOTIX0.25x10=,

因此所求的函数关系式为，=30sin（100m—：）（单位：A）.

在电学中，同频率的正弦量（即形如），=Asin（3x+°）的量）进行的求和运算，叫做同频率正弦

量的合成.

2兀4兀

例7设i]=/sin（0f+—）,L=/sin（eyf+—），求

33

27r47r

解i=iA+i2=Isin（69/+—）+/sin（6;/+—）

例5表明了电学中的一个重要结论：只有初相位不同的两个正弦量的合成仍是正弦量，其频率和峰

值不变，只有初相位发生变化.

【想一想】

如果只有频率不同，如何求正弦量的合成？

继续探索活动探究

（1）读书部分：教材

（2）书面作业：教材习题1.2（必做）；学习及训练1.2《选做）

（3）实践调查：工科机电类专业研究简谐交流电的三要素.

第十二课时：正弦定理及余弦定理（一）

【教学目标】

知识目标：

理解正弦定理及余弦定理.

能力目标：

通过应用举例及数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力.

【教学重点】

正弦定理及余弦定理及其应用.

【教学难点】

正弦定理及余弦定理及其应用.

【教学设计】

本课利用几何知识引入新知识降低了难度.教学中，不利汨向量工具进行严格的证明，否则会增加

难度，而是重在应用.安排了5道例题，介绍利用正弦定理解三笫形的方法.例1是基础题，目的是让学

生熟悉公式.例2和例3是突破难点的题目，需要分情况进行讨论,介绍了讨论的方法和讨论的两种结果.例

4是已知两边及夹角，求第三边的示例，可以直接应用余弦定理.：例5是已知三边的长求最大角和最小角

的示例.由于余弦函数在区间（0,兀）内是单调函数，所以知道余弦值求角时，没有必要进行讨论.这里求

最大角及最小角，是起到强化对“大边对大角，小边对小角”的认识.利用余弦定理求一个角，求第二个

角的时候，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理.

【课时安排】

1课时.

【教学过程】

揭示课题

1.3正弦定理及余弦定理.

*创设情境兴趣导入

我们知道，在直角三角形ABC（如图1一6）中，@=sinA,2=sin8,即

cc

ab

=c，-----=c，

sinA-----sinB

由于C=90。，所以sinC=l,于是

_.abc

所Cl以1%-----=-----=------.图1一,6

sinAsinBsinC

动脑思考探索新知

在任意三角形中，是否也存在类似的数量关系呢？

图1-7

当三角形为钝角三角形时，不妨设角A为钝角，如图1一7所示，以A为原点，以射线44的方向

为工轴正方向，建立直角坐标系，则前=丽+芯两边取及单位向量j的数量积，得

由于vj,阮＞=90。-3,/，丽,＜/,抚＞=4-90。，设及角力反。相对应的边长分别为

a,b,c,故

即asinB=bsinA

所以一一=，一.

sinAsinB

同理可得

sinAsinCsinBsinC

即q=_A_=—

sinAsinBsinC

当三角形为锐角三角形时，同样可以得到这个结论.于是得到正弦定理：

在三角形中，各边及它所对的角的正弦之比相等.

即（1.7）

sinAsinBsinC

利用正弦定理可以求解下列问题：

（1）已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角.

（2）已知三角形的两边和其中一边所对角，求其他两角和一边.（转下节）

第十三课时：正弦定理及余弦定理（二）

【教学目标】

知识目标：

理解止弦定理及余弦定理.

能力目标：

通过应用举例及数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力.

【教学重点】

正弦定理及余弦定理及其应用.

【教学难点】

正弦定理及余弦定理及其应用.

【教学设计】

本课利用几何知识引入新知识降低r难度.教学中，不利用向量工具进行严格的证明，否则会增加

难度，而是重在应用.安排/5道例遨，介绍利用正弦定理解三弟形的方法.例1是基础题，目的丹让学

生熟悉公式.例2和例3是突破难点的题目，需要分情况进行讨论,介绍了讨论的方法和讨论的两种结果.例

4是已知两边及夹角，求第三边的示例，可以直接应用余弦定理：例5是已知三边的长求最大角和最小角

的示例.由于余弦函数在区间（0,兀）内是单调函数，所以知道余弦值求角时，没有必要进行讨论.这里求

最大角及最小角，是起到强化对“大边对大角，小边对小角”的认识.利用余弦定理求一个角，求第二个

角的时候，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理.

【课时安排】

1课时.

【教学过程】（接上节）

巩固知识典型例题

例1已知在A48C中，8=30°，C=135°,c=6,求从

分析这是已知三角形的两个角和一边，求其他边的问题.可以直接应用正弦定理.

b

解由于

s