数学北师大版选修2-2学案第一章推理与证明推理与证明3

推理与证明

3反证法

【学习目标】1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问

题.

H问题导学--------------------------

知识点反证法

王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的-•棵树二结满了李子，小朋友一哄而上，去

摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问千.戎：“你怎么知道李子是

苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦

的

思考1本故事中王戎运用了什么论证思想？

答案运用了反证法思想.

思考2反证法解题的实质是什么？

答案否定结论，导出矛唐，从而证明原结论止确.

梳理（1）定义：我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理

相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反而不可能成立，由此斯

定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.

（2）反证法常见的矛盾类型

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与谑矛盾，或与定义、

公理、定理矛盾等.

2题型探究

类型一用反证法证明否定性命题

例1设｛的｝是公比为q的等比数列.设令工1,证明：数列｛%+1｝不是等比数列.

证明假设｛如+1｝是等比数列，则对任意的&EN+,

3+1+1）2=（依+1）3+2+］），

「.川+|+2<〃+|+1=。必/2+仅+，“+2+1，

即0?/人+2ad

•."0,.•.2小=尸+尸.

•.%W0,"-2q+l=0,

这与已知矛盾.

假设不成立，故｛%+1｝不是等比数列.

反思与感悟(1)用反证法证明否定性命题的适用类型

结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊,

而反而比较具体，适合使用反证法.

(2)用反证法证明数学命题的步腺

ET1」假设一维的结论不成立，即假定原先

”L论的反而为真

从反设和已知条件出发，经过一系外

正确的迂辑推理，得出矛盾的结果

nrrit由矛盾的结果断定反设不宜•，从而甘

及*L|定原结论成._____________________

跟踪训练1日知三个正数小〃，c成等比数列但不成等差数列，求证：如，也，&不成等差数列.

证明假设皿，也，，成等差数列，

则2亚="+/,

4b=6/4-c+2\[ac\①

,:a、b,c成等比数列,

b:=ac.②

由②得〃=，五，代入①式，

得a+c~2y[ac=(y[a—y[c)2=0,

=

•.(ict从而a=/?=c.

这与已知小b,。不成等差数列相矛盾，

・••假设不成立.

故小,、历，，不成等差数列.

类型二用反证法证明“至多”“至少”类问题

例2已知小b,re(0,2),求证：(2—〃)4(2—力)c,(2—。。不能都大于1.

证明假设(2—〃)仇(2—〃)c,(2—c)。都大于1.

,"a,b,c£(0,2),

2—。>0,2—b>0,2—c>0,

同理，J-7—R?2i?c>l,

?2-c?+a、,-------

--------------”?2—c?a>1.

三式相加，得

02/9

?2-a?+b।?2—)？+。I?2—c?+a

2+2+2>3,

即3>3,矛盾.

(2—«)/>,(2—b)c,(2—c)a不能都大于1.

引申探究

已知a,b,cG(O,l),求证：(1—a)》，(\~b)c,(1—c)a不能都大于

证明假设(I—a)b,(1—〃)c,(1—c”都大于:.

,:a,b,。都是小干1的正数，

1-1—b.\-c都是正数.

一?li?+c1?l-c?+〃1

同理，2>2，2>5

三式相加，得空山+一耳上户号

即今耳，显然不成立.

(\—b)c,(1—c)a不能都大于"

反思与感悟应用反证法常见的“结论词”与“反设词”

当命题中出现“至多”“至少”等询语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证

明时常见的“结论词”与“反设词”如下：

结论词反谈词结论词反设词

至少有一个一个也没有对所有X都成立存在某个M)不成立

至多有一个至少有两个对任意X都不成立存在某个XO成立

至少有〃个至多有n—1个〃或g绿〃且绣g

至多有〃个至少有〃+1个p且q绿〃或绣q

跟踪训练2已知小b,c是互不相等的实数，求证：由》=加+2匕x+c,yju8f+Zcx+a和>3=。/+2G-

+〃确定的三条抛物线至少有一条与T轴有两个不同的交点.

证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与工轴有两个不同的交点，

由>'2=bx1+2cv+«♦yy=GV24-2av+/>,

得4=(28)2—4a(W0,12=(2c)2—4abW0,

且a=(2a)2—4bcW0.

同向不等式求和，得

4/+4c2+4a2—4ac—4ab—4bcW0,

所以2rr+2lr+2c2—lab—2bc-2acW0,

所以（〃-b）2+（b-c）2+（a-c）2W0,所以a=b=c.

这与题设中&b,c互不相等矛质，

因此假设不成立，从而命题得证.

类型三用反证法证明唯一性命题

例3求证：方程2，=3有且只有一个根.

证明V2V=3,/.x=log23.

这说明方程2、=3有根.

下面用反证法证明方程2、=3的根是唯一的.

假设方程2，=3至少有两个根小，岳劭工岳）,

则5=3,2%=3,两式相除得24一々=1,

：.bi-b2=Qt则历=岳,这与仇#历矛盾.

...假设不成立，从而原命题得证.

反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，

即存在性和唯一性,当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存

在性二由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.

跟踪训练3若函数/（刈在区间［小切上是增函数，求证：方程次#=0在区间［小切上至多有一个实根.

证明假设方程儿。=0在区间［小句上至少有两个实根，设%/?为其中的两个实根.因为。工人不妨设

a<（i,又因为函数人t）在［小句上是增函数，所以大幻勺3）.这与假设贯。）=0=/（夕）矛盾，所以方程人幻=。

在区间m，/“上至多有一个实根.

3当堂训练

I.证明“在AABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设（）

A.二角形中至少有一个直角或钝角

B.三角形中至少有两个直角或钝角

C.三角形中没有直角或钝角

D.三角形中三个角都是直角或钝角

答案B

2.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60。”，应先假设这个三角形中（）

A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60。

C.有一个内角大于60。D.每一个内角都大于60。

答案B

3.“小6”的反而应是（）

A.a^bB.a>b

C.a=bD.a=ba>b

04/9

答案D

4.用反证法证明”在同一平面内，若a_Lc,bLc,则。〃/?”时，应假设()

A.G不垂直于cB.”，〃都不垂直于c

C.albD.〃与。相交

答案D

5.已知a是整数，/是偶数，求证：〃也是偶数.

证明假设。不是偶数，即。是奇数.

设a=2〃+l(〃£Z),则a2=4/22+4z:+1.

•••4(/+〃)是偶数，

...4〃2+4〃+1是奇数，这与巳知a?是偶数矛盾.

由上述矛盾可知，“一定是偶数.

L规律与方法--------------------------------

用反证法证题要把握三点

(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面

的.

(2)反证法必须从否定结论进行推埋，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面

出发进行论证，就不是反证法.

(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、

定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.

课时作业

一、选择题

1.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是

①与已知条件矛盾：②与假设矛盾：③与定义、公理、定理矛盾.

其中正确的为()

A.①②B.①③

C.①③D.①②③

答案D

2.当否定“自然数a,h,。中恰有一个偶数”时，正确的反设为()

A.a,b,c都是偶数

B.a,b,。都是奇数

C.a,b,c中至少有两个偶数

D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数

答案D

解析自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，【个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3

个都是偶数，所以当否定“自然数&b,。中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a,b,c中都是奇数或

至少有两个偶数

3.有下列叙述:

①'、=），”的反面是“.》），或x<y"：②"三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”;

③“三角形最多有•个钝角”的反面是“三角形没有钝角”.其中正确的叙述有（）

A.。个B.1个C.2个D.3个

答案B

解析①对；②错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；③错，应为三角形至少有2个钝角.

4.用反证法证明命题：”小bWN,必可被5整除，那么小方中至少有一个能被5整除“时，假设的内

容应为（）

A.a,b都能被5整除

B.口，都不能被5整除

C.a,人不都能被5整除

D.G不能被5整除

答案B

解析“至少有一个”的否定是“一个也没有“，即“a,力都不能被5整除”.

5.①已知〃3+/=2,证明：〃+“W2.用反证法证明时，可假设p+“22：

②若a,\a\+\b\<\,求证：方程x2+at+b=O的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方.程

有一根内的绝对值大于或等于I,即假设忻|21.

以下结论正确的是（）

A.①与②的假设都错误

B.①的假设正确；②的假设错误

C.①与②的假设都正确

D.①的假设错误：②的假设正确

答案D

解析对于①，结论的否定是〃+02,故①中的假设错误；对于②，其假设正确，故选D.

6.没a,b,c都是正数，则三个数6+即，c+［（）

A.都大于2

B.至少有一个大于2

C.至少有一个不小于2

D.至少有一个不大于2

答案C

解析假设a+*2,c+*2,

则（a+b+（〃+%+（c+$<6.

06/9

又亿+Z)+(〃+n+(c+7

=3+%+S+S+(c+$22+2+2=6,

这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.

二、填空题

7.'•任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是.

答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角

解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个

8.用反证法证明命题”若必一(a+bW+HWO,则上六。且时，应假设.

答案*=〃或

9.设a,〃是两个实数，给出下列条件：

①〃+)=1；②。+。=2；③a+b>2；④/+/>2.其中能推出％"中至少有一个大于1"的条件是.|填

序号)

答案③

10.某珠宝店丢了一-件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝.甲：我没有偷；乙：

丙是小偷：丙：丁是小偷：丁：我没有偷.

根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是.

答案甲

解析假如甲：我没有偷是真的，则乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我没有偷就是真的，与他

们四人中有一人说真话矛盾.

假如甲：我没有偷是假的，则丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立.

・••可以判断偷珠宝的人是甲.

三、解答题

11.若a,b,c均为实数，且。=f-2>+看2z+^,c=z?—2x+/.求证：a,b,。中至少有一个是

大于0的.

证明假设a,b,c都不大于0,

则aWO,bWO,cWO,

...a+b+cWO,

JTjrjr

而a+力+c=(f-2y+,)+(y2-2z+彳升廿一2叶5)=(/-Zr)+(>2-2y)+(z2-2z)+n=(x-l)2+(y-1):+

(z—I)24-it—3,

•,.a+%+c>0.这与a+b+cWO矛盾，

・•・假设不成立，

故a,b,c中至少有一个是大于。的.

12.已知人*3>1),求证：方程凡t)=0没有负数根.

证明假设即是儿力=0的负数根,

则为<0且xo#-1,且。"=一七二,

入0十1

-

L.八xo2

xo+1

解得3。。<2,这与A()<0矛盾,

故方程./U)=0没有负数根.

211

13.如果非零实数小〃，c两两不相等，且2)=〃+c,证明