苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义27弧长及扇形的面积(原卷版+解析)

2.7弧长及扇形的面积

教材知识总结

弧长公式

在半径为R的圆中360。的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：C=2外式；n。的圆心角所对的圆的弧长公式：

I=-----(弧是圆的一部分)。

180

【点拨】

yrJD

(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的「一，即」-x2〃R='；

360360180

⑵公式中的n表示1。圆心角的倍数，故n和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

⑶孤长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个

量.

扇形面积公式

1.扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式：在半径为R的圆中360。的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：8=开在2；n。的圆心角

y.江口2I

所对■的扇形面积公式：s虞*=丝一=上次。

网用3602

【点拨】

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1。的扇形面积是圆面积的「*1一，即」3

360360360

(2)在扇形面积公式中，涉及三个黄：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求

出第三个量.

(3)扇形面积公式%尸=LR,可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，

R22

可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：S"=^l=lx—xA=-ZA.

曲影36021802

看例题，涨知识

【例题1】已知正六边形48COEF的中心为。半径04=6.

⑴求正六边形的边长；

(2)以A为圆心，4尸为半径画弧BF,求8”.

【例题2］如图，AB为。O的直径，C为。0上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为。,

ZCAD=36°,连接8c.

(1)求NB的度数：

(2)若A8=3,求EC的长.

【例题3］如图，已知扇形A08的圆心角为120。，半径04为6cm.求扇形AO8的弧长和面积.

【例题4】如图，扇形圆心角/A0B=a,半径OA=6,把扇形做成圆锥后，其底面半径为2.

(1)求a；

(2)点C是04上的一点，若0C=4,求5履.

课后习题巩固一下

一、单选题

1.如图，在边长为2的菱形ABC。中，以顶点A为圆心，4。为半径画弧，若顶点C恰好在BD弧匕则

图中阴影部分的面积等于（）

A.亭-46B.—-2x/3C.—-2x/3D.--73

3333

2.分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画•段圆弧，三段圆弧围成的曲

边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为4,则勒洛三角形的周长为（）

A.2乃B.6兀C.34D.44

3.如图，△A8C内接于。。，若乙4=45。，。。的半径片4,则阴影部分的面积为（

A.4乃B.2万C.4万一8D.4^-16

4.如图，在边长为6的正方形ABC。中，以8C为直径画半圆，则阴影部分的面积是（）

5.如图，以边长为2的等边顶点4为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交A用

AC于D,E,则图中阴影部分的面积是（）

A

（6-乃）出

A.B.26-万D.V3-y

43

6.如图，扇形084中，点C在弧A8上，连接8C,P为BC中点、.若。4=6,ZAO/?=120°,则点。沿弧

从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为（）

A.44B.2万6

7.如图，在菱形A8C。中，NA=6（T,A8=2,以点A为圆心,A8为半径作BO，向菱形内部作8C，使BC=，

则图中阴影部分的面积为（）

生_昱

~3F

8.一个扇形的弧长是l（kcm,其圆心角是150。，此扇形的面积为（）

A.3(htcm2B.6071cm2C.120兀cm?D.180兀cm?

9.如图，△ABC内接于00,CD上A8于点、D,若CD=BD,0。的半径为4,则劣弧AC的长为（)

A.5TTB.4万C.34D.24

10.如图是一张圆心为O,半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折舂，使得AC经过点。，将纸片。。

展平后，作半径OB_LOA,则图中阴影部分的面积等于（）

A.（4;r-4\/5）cmB.-^cm2

3

C.D.（弓笈一8石卜.

二、填空题

11.如图，扇形043中，NAO/3=900,以人0为直径作半圆.若力0=2,则阴影部分图形的周长为.

12.如图，线段AB与AC是。。的两条弦，且AB=4C,/A8C=75o,BC=4,则图中阴影部分的面积是

13.如图，等腰三角形A8c中，ZA=90°,BC=2,分别以点8、点。为圆心，线段8c长的一半为半径

作圆弧，交A8、BC、AC于点。、E、F,则图中阴影部分的面积为

BEC

14.钟面上的分针长为2cm,从8点到8点15,经过了15分钟，分针在钟面上扫过的面积是一cm?(结

果保留兀)

15.如图所示，分别以〃边形的顶点为圆心，以3cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为一.

16.如图，线段＜4=2,以为直径画半圆，圆心为A，以AA为直径画半圆①；取AB的中点4,以4二?

为直径画半圆②；取43的中点4，以42人为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画

三、解答题

17.如图用△ABC中，ZC=90°,AO平分N8AC,A。交4c于点。，点?在上，以AE为直径的。O

经过点。.

(1)求证：直线3C是。。的切线.

(2)若AC=6,/8=3。\求图中阴影部分的面积.

18.如图，AB=4y/3cmtZACB=60°.

(1)天规作图：作△ABC的外接圆©。(不要求写作法，保留作图痕迹);

⑵在(1)的条件下，求扇形AOB的面积.

19.如图，已知平行四边形0ABe的三个顶点A、B、C在以。为圆心的半圆上，过点C作CD_LA8,分别

交AB、40的延长线于点。、E,4E交半圆。于点F,连接CE

(1)判断直线DE与半圆0的位置关系，并说明理由:

(2)①求证：CQAB；

②若半圆。的半径为12,求阴影部分的周长.

D

0E

20.如图，已知A8是。。的直径，点尸是。0上一点，连接0P,点A关于。尸的对称点C恰好落在。O

(1)求证：。尸〃BC：

(2)过点C作。。的切线CO,交人P的延长线于点。.如果/。=90。，。尸=1,求图中阴影部分的面积.

D

21.如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆。，以点D为圆心、D4为半径做圆弧交半圆0于点P.连

接DP并延长交A8于点£

(1)若A8=2,则扇形AOC的面积S=

(2)求证：OE为半圆。的切线;

AF

⑶求证的值.

22.如图，正方形A3CQ的边长为4,以八区为直径在正方形内部作半圆O，点E在8C边.上，BE=1,连

接DE,0。和。E.

(I)求证：是半圆。的切线;

(2)请直接写出图中阴影部分的面积(用含x的代数式表示).

AOB

9/37

10/37

2.7弧长及扇形的面积

教材知识总结

弧长公式

在半径为R的圆中360。的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：C=2;rK；n。的圆心角所对的圆的弧长公式:

力"7TR

/=——(弧是圆的一部分)。

180

【点拨】

yrJD

(1)对于弧长公式，关键是要理解I。的圆心角所对的弧长是圆周长的「一，即」-x2〃R='；

360360180

(2)公式中的n表示1。圆心角的倍数，故n和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个

量.

扇形面积公式

1.扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式：在半径为R的圆中360。的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：$=开r2；n。的圆心角

所对的扇形面积公式：s苗声=四_=4汰。

同3602

【点拨】

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的」一，即「_乂开炉=对；

360360360

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、朗形的圆心角，知道其中的两个量就可以求

出第三个量.

(3)扇形面积公式S晨月二；次，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式成有点类似，

可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：*=^-=lX—xR=-lR.

南的36021802

r|

看例题，涨知识

【例题1】已知正六边形A8COEF的中心为。，半径OA=6.

⑴求正六边形的边长；

11/37

(2)以A为圆心，4尸为半径画弧B凡求8F.

【答案】(1)6：(2)4冗

【分析】(1)根据正六边形的边长与半径相等即可解决问题；

(2)由正六边形的性质和弧长公式即可得出结果.

【解析】(1)解：•・•六边形A8CDE尸是正六边形,

・•・正六边形的边长=半径04=6：

(2)7六边形ABCDEF是正六边形，

:・NBCF=120。,

・,・弧.的长为

18()

【例题2】如图，A8为。O的直径，。为。。上一点，弦AE的延长线与过点。的切线互相垂直，垂足为D,

ZCAD=36°,连接3c.

(1)求的度数；

(2)若AB=3,求EC的长.

【答案】(1)54。；(2)—

【分析】(1)连接0C,如图，利用切线的性质得到0C_LC。，可得0C〃AE,所以NC4O=NOC4,然后

利用N0CA=N0AC得到NCAD=NOAC,可求出NC08,利用N8=N0C3即可求出N8；

(2)根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出NC0E,根裾弧长公式/=骞即可求出EC的长.

1OV

【解析】⑴连接OC,

12/37

D

E

•••CO是。。的切线，

：.OCA.CD,

VZEXCD,

・•・0C/7AE,

・・・NCAO=NOCA,

•：OA=OC,

・・・NOG4=NO4C,

・•・NCO8=2NC4Q=36°x2=72°,

,:OB=OC,

"B=(180°-NCOB)-?2=(180°-72°)+2=54。；

(2)连接OE,

;。。的直径48=3,

・・・OA=1.5,

•・•ZCOE=2ZCAD=2x36°=72°,

.72x4x1.53

••EC=--------------=17T•

1805

【例题3】如图，已知扇形A04的圆心角为120。，半径04为6cm.求扇形A08的弧长和面积.

【答案】弧长为4jrcm：扇形面积为12兀cm?.

【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式求解即可.

【解析】解：由题意可知:

120•万x6

扇形AOB的弧长==4%(cm)：

ISO

13/37

扇形4。3的扇形面积=---------=12不(cm?).

360

【例题4】如图，扇形圆心角NA08=a,半径04=6,把扇形做成圆锥后，其底面半径为2.

⑴求a；

(2)点C是。4上的一点，若。。=4,求S阴快

【答案】(1)120°；(2)12万一6百

【分析】(1)设乙4。8=〃。，由于这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等「圆锥的母线长,

则利用弧长公式得到27rx2=喂^然后解方程即可;

180

(2)过C点作CD_LB。于D,如图，先利用含30度的直角二角形二边的关系求出CD,然后根据扇形的

面积公式，利用5峨=5./。8-52\8。。进行计算.

【解析】(1)解：设/4。4=〃。,

根据题意得2万*2=需;

1o()

解得n=120,

二.a为120°；

(2)过C点作C7)_L8O于/),如图,

VZ«OC=120°,

.,.ZCOD=60°,

・・・。。=!"=2,

2

:,CD=6OD=20,

:,S叱=S由明AOB-SABOC

=12^-673.

课后习题巩固一下

一、单选题

1.如图，在边长为2的菱形ABC。中，以顶点A为圆心，4。为半径画弧，若顶点C恰好在B。瓠上，则

14/37

图中阴影部分的面积等于（）

【答案】c

【分析】先证得aABC是等边三角形，进而利用扇形面积和菱形面积即可求出.

【解析】解：连接AC,BD,交于点0,

•・•菱形人8C。的边长为2,

:・AB=BC=2,ACLSD,

又・.・4A=AC.

・・・^ABC是等边三角形，

AZfi4C=6（F,AB=AC=2f0A=\,0B=0D,

・•・0B=OD==V22-I2=百，

••BD=2y/3,

:.CD=BC=2,/84£>=120。，

，图中阴影部分的面积为普箸4x2x28=9-2白.

故选：C.

2.分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲

边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为4,则勒洛三角形的周长为（）

15/37

【答案】D

【分析】根据勒洛三角形的周长为三个圆心角为60。，半径为4的扇形的弧长之和即可.

【解析】解：由题意可知：勒洛三角形的周长=3乂黑3二4万,

IoU

故选D.

3.如图，△ABC内接于。O,若乙4=45。，。。的半径r=4,则阴影部分的面积为（）

A.4/rB.2乃C.4乃一8D.4万一16

【答案】C

【分析】根据圆周角定理，扇形面积公式和三角形面积公式解答.

【解析】解：•・•4=45°,

；・N8OC=24=90,

9（）.x421

・•・阴影部分的面积=，诋8太—S3=^1r^--LX4X4=4兀一8.

UJAKA.3602

故选：c.

4.如图，在边长为6的正方形ABC。中，以8c为直径画半圆，则阴影部分的面积是（）

【答案】A

【分析】设AC与半圆交于点E,半圆的圆心为O,连接BE,0E,证明8后CE,得到弓形8E的面积二弓

形CE的面积，则5引影=SAffE=S^BC—S^BCE=—x6x6——x6x3=9.

【解析】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O,连接BE,OE,

•・•四边形A8CO是正方形，

:.ZOC£=45°,

•；OE=OC,

：.ZOEC=ZOCE=45°,

・•・NEOC=9（T,

16/37

・・・0E垂直平分BC,

；・BE=CE,

，弓形BE的面积二弓形CE的面积，

$阴影"SABE=S^BC-SQBCE=5x6x6-—x6x3=9,

J4

故选A.

5.如图，以边长为2的等边AABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与8C边相切，分别交A8,

AC于。，£则图中阴影部分的面积是（）

A."B.C.D.6g

4

【答案】D

【分析】作再根据勾股定理求出AR然后根据阴影部分的面积二5丫砂-S扇形吹得出答案.

【解析】过点A作A/LL8C,交BC于点F.

•••△ABC是等边三角形，BC=2,

:・CF=BF='.

在RIAACF中，便=J心-=6・

故选：D.

17/37

A

6.如图，扇形O8A中，点C在弧44上，连接AC,P为BC中点.若。4=6,44。"=120。，则点C沿弧

从点4运动到点4的过程中，点P所经过的路径长为（）

A.4%B.2乃6

【答案】B

【分析】连接。C、0P,易得NOPB=90。，点P是在以08的中点D为圆心，BD为半径的圆I:运动，求8产

即可.

【解析】连接。C、0P,

,/OB=OC,

・•・△HOC为等腰三角形,

••,P为BC中点,

：.OP±BC（三线合一）,

即NOP8=90°,

・••点P是在以OB的中点。为圆心，为半径的圆上运动，如图所示,

当点C运动到点A时，点。到达P'位置,

点P所经过的路径长为BP'，

连接。/，•・•。为08中点，P'为A8中点,

/.O产〃04,

/.4BDP=ZAOB=120°,BD=；0A=3,

/^=120^=2

180°

即点P所经过的路径长为2江，

故选：B.

18/37

A

p

B，...w

\bJO

7.如图，在菱形ABC。中，NA=60°,4B=2,以点A为圆心,AB为半径作8Q,向菱形内部作6C，使8C=B。，

则图中阴影部分的面积为（）

A乎痒与

-T-fB*-2C.2yD.R

【答案】B

【分析】连接80,分别求出△460、△BC。以及弓形4。的面积，再计算阴影的面积即可.

【解析】解：如图所示：连接8。，

二

•・•四边形ABCD是菱形，

：.AB=AD,

VZBAD=60°,

是等边三角形，

；・AB=BD=2,

作。"_LAQ于”，则A〃=l,

；・DH=M-l2=折

・・・S阴影=S菱形-S扇形8A。-S弓形BEC=2x正x2-竺军老--（^r£_^x2）=38—%

236036023

故选:B.

8.一个扇形的弧长是10nm,其圆心角是150。，此扇形的面积为（）

19/37

A.3071cm2B.6071cm?C.120兀cm'D.180兀cm'

【答案】B

【分析】先求出该扇形的半径，再求其面积即可；

10乃_19

【解析】解：该扇形的半径为：r~150°.-IZCm

----------171

360°

150°

・••扇形的面枳为：5=^122^=60^cm,

故选:B.

9.如图，aABC内接于。。，CDLAB于点、D,若CD=BD,0。的半径为4,则劣弧4c的长为()

【答案】D

【分析】连接OC,根据圆周角定理可得NAOC=90。，内艰据弧长公式计算可得答案.

【解析】解：连接04OC,如图，

JZB=45°,

・•.NA。。=24=90。,

又。。=4,

・•・劣弧AC的长为丝怒型;2必

1o()

故选：D

10.如图是一张圆心为。，半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折叠，使得AC经过点。，将纸片O。

20/37

展平后，作半径OBJ.OA,则图中阴影部分的面积等于（）

A.(4^--4\/3jcm2

【答案】A

【分析】作O。，AC交圆于点。、交AC于点、E,根据垂径定理，0D平分AOC和AOC，又因为AC是对

折线，所以与AC互相垂直平分，所以OOCO组成的图形面积是AOC与AOC组成的图形面积的一半，

也就等于AOC以组成图形面积，此部分面积可用扇形OAC的面枳减去△OAC面积求出，再用求出的面积

减去扇形ODB的面枳即得阴影部分面积.

【脩析】作OO_LAC交圆于点。，交AC于点E,连接0C,如图，

・・・。/）垂直平分弦人C,平分AOC和AOC，

,.MC是ADC向圆内的折线，且弦AC折叠后经过点。，

・•・点。是点D关于AC的对称点，即0D与AC互相垂直平分，

，OE=DE=^0D

设ADC与弦AC构成的图形面积为SADC,ADC'jAOC构成的图形面积为SADCO,DBC'J0C和线段

0。构成的图形面积为S0DC,

则SADC=gs4OCO,S0DC=gsADC0,

：.S0DC=SADC,

，：0D、。4都是圆。的半径，半径为4cm,

・•・0E=j0D=g04=gx4=2cm,

21/37

NOAE=30。，

・•・N40E=90°-30°=60°,

/.ZAOC=2ZAOE=2x60°=120°,

•・S^r=-^-x4-=--r(cnr),

33

\'AC=2AE=2\IOA2-OE2=2^4,-2,=46cm，

2

.,.54OAC=^4CxOE=lx4>/3x2=4x/3(cm),

SADC=S^OAC-SAOAC=笈一4百)(cm2),

SODC=(g乃一4有)(cm2),

•・・OB_LQ4,NAOE=60。，

，ZBOD=ZAOB-ZAOE=90°-60°=30°,

.°八30°、1〃4/八

••S^OBD=——7rr-=—x4-=-T(cm-),

-501/I/iTJ

**•Sff/i/^SODC-Sfiofi0BD=—7r—4\^3——^=(4^—4\/3)(cm~),

故选A.

二、填空题

11.如图，扇形OAB中，408=90。，以4。为直径作半圆.若力0=2,则阴影部分图形的周长为

【答案】2+27

【分析】根据弧长的计算公式即可得到结论.

I90TTX2

【解析】解：有阴影部分的周长为：］X2TT+黑六+2-2+271.

故答案为：2+2万.

12.如图，线段与AC是。。的两条弦，且人8=4C,NABC=75o,BC=4,则图中阴影部分的面积是

22/37

b

【答案】8+y

【分析】如图，连接04，OB,0C,延长A0交BC于点凡SW=SAABC-SAOBC+S^OBC,求

解即可.

【解析】解：如图，连接。4,OB,0C,延长4。交4C于点儿

*：AB=AC,

：.NA8C=NACB=75。，

・・・NBAC=30。，

：.ZBOC=2ZBAC=60°t

'：OB=OC,

•••△OBC是等边三角形，

:.0B=0C=BC=4,

：,0A=4,

\*AB=AC,

**•为B=，

・・・40_L8C,

:,BH=CH=2,

.・.0”=26,

・"〃=4+2G

•••SaA8C=〈・8C・4”=!X4X(4+26)=8+46,§△O8C=3x2Gx4=46,SOBC=^^-=—

2223603

O-

5第=S1ABC-SA0BC+S的影0BC=8+-^-.

故答案为：8+^^.

J

23/37

13.如图，等腰三角形ABC中，/4=90。，BC=2,分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径

作圆弧，交AB、BC、AC于点。、E、F,则图中阴影部分的面枳为一.

【答案】1-7

4

【分析】先根据等腰直角三角形的性质计算出AB,AC的长，再计算出^ABC的面积，根据N8-NC=90。，

两个扇形的半径相等，即可算出扇形的面积，再根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，

计算即可得出答案.

【解析】解：VAB=AC,N4=90。，

/.BC2=AB2+AC2,

***AB=AC=\/2，

/.5AABC=—AB*AC——x>/2x>/2=1,

22

•••/B+NC=90。，BE=CE=gBC=1,

2

._n7rr290^xI2n

••0)n-....=-------=—»

3603604

S蒯=5AABC-Sa=1—.

4

故答案为：1-

4

14.钟面上的分针长为2cm,从8点到8点15,经过了15分钟，分针在钟面上扫过的面积是一cm?(结

果保留兀)

【答案】兀

【分析】求出分针6()分钟在钟面上扫过的圆的面积，15分钟扫过的面积为圆的四分之一.

【解析】解：依题意，得

^-x^x22-n(cm2),

6()

故答案为：兀.

15.如图所示，分别以〃边形的顶点为圆心，以3cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为一.

24/37

【答案】9^cm2

【分析】由题意得到各顶点的扇形圆心角之和即为〃边形外角和，利用扇形面积公式计算即可求出阴影部

分面积.

【解析】解：由图可得，

阴影部分所对■的圆心角之和为360°,

，图中阴影部分的面积之和为：万x3。=9乃（cm?）.

故答案为：9^-cm2

16.如图，线段A8=2,以A4为直径画半圆，圆心为A，以人A为直径画半圆①；取人出的中点4,以

为直径画半圆②；取的中点％,以&A为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画

出的8个小半圆的弧长之和为.

【答案】发"

【分析】由八区=2,可得半圆①弧长为半圆②弧长为2m半圆③弧长为（；）33……半圆⑧弧

222

长为（；）比，即可得8个小半圆的孤长之和为J/（1）2兀+（；）3兀+...+（；）切=|||兀.

22222256

【解析】解：•・・A8=2,

/.AA=1,半圆①弧长为罟=；万，

同理A4=g,半圆②弧长为3=（［）2乃，

25/37

1

44=!，半圆③弧长为'x4_J

47T

丁一2>

半圆⑧弧长为«）fiY,

个小半圆的弧K之和为，万十—九十—7TH-------1-71=工^~兀

2⑵⑶⑶256

故答案为：—7^".

256

三、解答题

17.如图R3A8C中，ZC=90°,AO平分N84C,AO交3c于点。，点E在A8上，以AE为直径的。O

经过点。.

（1）求证：直线8c是。。的切线.

⑵若4>6,ZB=30°,求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）见解析

⑵阴影部分的面积为争-46.

【分析】（1）连接0。，由A。平分N8AC,可知NOAQ二NCAQ,易证N0D4=N0AQ,所以NOD4;NCA。，

所以OQ〃A。，由于NC=90。，所以NOOB=90。，从而可证直线BC是。。的切线；

（2）根据含30度角的直角三角形性质可求出AB的长度，然后求出NA。。的度数，然后根据扇形的面积

公式即可求出答案.

【解析】（1）证明：连接O。，

26/37

A

cDB

,•YD平分Z6AC,

：.ZOAD=ZCAD,

yOA=OD,

：.ZODA=ZOAD,

：.^ODA=ZCAD,

：.OD//AC,

VZC=90°,

JN008=90。，

:.ODLBC,

••・直线BC是。。的切线；

(2)解：由N8=30°,ZC=90°,NODB=90。,

得：AB=2AC=\2,08=20。，ZAOD=\20°t

ZDAC=30°,

'：0A=0D,

:.0B=20A,

；，0A=0I)=4,

由NDAC=30。，得DC=26,

:・SM后S冷彤OAD&OAD

=^-x42--x4x2\/3

3602

16

=万-45/r3.

18.如图，ABM73cm,NAC8=5()°.

(I)又规作图：作△ABC的外接圆。。(不要求写作法，保留作图痕迹):

⑵在(1)的条件下，求扇形A08的面积.

27/37

AB

C

【答案】（i）见解析

（2）扇形AOB的面积为容cm?.

【分析】（l）作线段BC的垂直平分线MM作线段AB的垂直平分线E凡直线MN交石产于点O,以O为

圆心，OA为半径作。。即可.

（2）连接OA,OB,证明乙4。8二120。，利用垂径定理求得AO=4,再利用扇形面积公式计算即可.

【解析】（1）解：如图，。。即为所求.

（2）解：连接OA,OB,设石厂与A8交于点G.

,/NAOB=2/ACB=120°,

・•・ZOAB=ZO8A=30°,

48=46cm,

,'.AG=GB=2\/3cm,

A(J

.\AO=----------=4(cm),

cos30°

・•・扇形AO8的面积=12°万,42=匝©峭）.

3603

19.如图，已知平行四边形048c的三个顶点A、B、。在以。为圆心的半圆上，过点C作。。_LAB,分别

交AB、4。的延长线于点。、E,AE交半圆O于点尸，连接CE

（1）判断直线。F与半圆O的位置关系，并说明理由;

（2）①求证：C尸二AB；

②若半圆。的半径为12,求阴影部分的周长.

28/37

【答案】（DDE是。。的切线，理由见解析

⑵①见解析：②阴影部分的周长为126+12+4〃.

【分析】（1）根据平行四边形0A8C的的性质以及CZXLAB证明NOCZ>90。即可；

（2）①只要证明aOCF是等边「角形即可解决问题；②求出EC、OE、£尸的长，再利用弧长公式即可求

得阴影部分的周长.

【解析】（1）解：结论：OE是。。的切线.

•・•四边形OA8C是平行四边形，

：.AB//OC,

y.*：CDLAB,

・・・OC_LC。，

r.NOCD=90。,

・・・OE是。。的切线：

⑵①证明：连接。8,

•・•四边形OABC是平行四边形，

又人二oc,

，四边形0ABe是菱形，

：.OA=OB=AB=OC=BC,

•••△AB。，aBC。都是等边三角形,

・•・NAOB=NBOC=NCOF=60。,

*：OC=OF,

•••△06是等边三角形，

:・CF=OC=AB；

29/37

②解：在mAOCE中，OC=OF=12,NCOE=60。，NOCE=90。,

：.OE=2OC=24,EOI2G，

：,EF=OF=\2,

，阴影部分的周长为12百+12+44.

20.如图，已知是。。的直径，点尸是。。上一点，连接0P,点A关于OP的对称点。恰好落在。。

上.

⑴求证：OP//13C；

（2）过点C作。。的切线CO,交人P的延长线于点。.如果/。=90。，DP=\,求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）见解析：（2）16—：开

【分析】（1）由题意可知AP=PC，根据同弧所对的圆心角相等得到；NAOC，再根据

同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出利用同位角相等两直线平行，可得出PO与BC

平行；

（2）利用切线的性质得到。。垂直于CD,从而得到OC〃AO,即可得到N”O=/COP,进一步得出N4P。

=ZAOP,确定出△AOP为等边三角形，根据平行线的性质得出NO4C=N4OP=60。，从而得到△04C为

等边三角形，继而得出△POC为等边三角形，可求出NPCO为30。，在直角三角形PC。中，利用30。所对

的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，进而求出CD=3,由扇形的面积和梯形的面积可求出

答案.

【解析1（I）证明：:A关于。。的对称点C恰好落在。。上.

•*-AP=PC

；・NAOP=NCOP,

・•・/4OP=gNAOC,

又,:ZABC=^ZAOCt

30/37

ZAOP=NABC,

：.PO//BCx

⑵解：连接PC，

•••CO为圆。的切线，

・・・OCJ_CD,又4O_LCO,

/.OC//AD,

:.<APO=NCOP,

•・•NAOP=NCOP,

・•・AAPO=/A。尸，

：.OA=APf

•：OA=OP,

•••△A尸。为等边三角形，

/.NA(»=60。，

又，：OP〃BC,

・•・NOBC=NAOP=60。,又OC=OB,

••.△8C0为等边三角形，

・•・NCOB=60。,

.\ZPOC=180°-(N4O尸+NC0B)=60°,XOP=OC,

••.△POC也为等边三角形，

AZPCO=60°,PC=OP=OC,

又•・・NOC7)=90。，

・•・ZPCD=30°,

在处△PCD中,PD=gpC,

APC=OP=2PD=2,CD=yjpd_D产=75,

・