全国高中数学联赛模拟试题（十九）（后附答案解析）

全国高中数学联赛模拟试题（十九）

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一、填空题

1.已知三角形A8C的三个边长a、b、c成等比数列，并且满足2c.则-A的取值

范围为.

2.已知圆。:/+丁=|与x轴相交于人力两点，抛物线C:/=2”与圆。相交于C、D

两不同的点，则悌形/历。面枳的最大值是.

3.在校长为3的正方体ABCO-A4GR上，点P为/W中点，从点P发出的光线经侧

面4CC西内部（不含边界）一点。反射后投射到侧面。CG"内部（不含边界），则满

足条件的点。所组成区域的面积为.

r+11

4.设F（Z）=T―；，其中i为虚数单位，26。.设20=彳+。2”]=尸（2.）,/?6川，则Z2g）的

iz-\3

实部为.

5.从正方形的四个顶点及四条边的中点中随机选取三个点，则“这三个点能够组成等腰

三角形”发生的概率为.

6记S=20+2020+202020+••+2020二20,则§=

7.已知正三棱锥P-A8C高为2,底面边长为3,现在将三棱锥切去一部分，得到一个

顶点为。，底面在ABC'内的正四棱锥，则该四棱锥的体积最大为.

8.设/生L,%是1,2..9的一个排列，如果它们满足

4va2V%>4>牝>%>4</<%,则称之为一个“波浪形排列则所有的“波浪形排

列”的个数为.

二、解答题

9.求所有的函数广z->K,满足/（i）=g,且对于所有整数x、y,有

/（x）〃y）=〃x+y）+/（x-y）.

10.已知4」,S.=q+a,++a“/eN,.求证：wfvA.

n"t-i院

II.已知A（N，y）、4优，幻、4（花,），3）是抛物线），2=2川（〃>0）上三个不同的动点，

△A&A有两边所在的直线与抛物线丁=2分（q>0）相切.证明：的重心在定直

线上.

12.证明；对每个大于1的奇数〃，，arccos(，=)是无理数.

冗yjn

13.如图，A8是圆。的直径，C。是圆上的两点，圆。在点A处的切线与直线。。交

于点尸，〃。与8C交于点E.证明：AE1AD.

14.已知平面上100个不同的点构成的集合S,S中每两点的距离不小于1.证明：能从S

中选出4个点，使得它们两两之间的距离至少为2.

15.已知八=｛知4，，。｝，8=体也，…An｝是两个整数集合，且对于任意整数〃,存

在唯一的qeA,bje8使得“三q+0/mo<i2020).记(%=《,(%=%.证明：对任意的

awA/eB,存在使得。=(1014+8)八.

试卷第2页，共2页

参考答案:

【详解】由条件序="，结合余弦定理cosB=人士生，则有cosB=4(q+£T)N:，

2ac2ca2

从而Be(O,2],而A是最大角，从而Ac孑不，

故答案为：

、3场

乙•----

4

【详解】解析：设点C(x,y),ie(o,i),则梯形的面积为(i+x)y,

而/+,2=]消元，可得面枳为S=(l+X)Jl-f,

^S2=(l+x)3(l-A)=-(l+xy(3-3x)<-xf-Y=^,当且仅当.丫=:时等号成立，

33(4)162

故面积最大值为些.

4

故答案为：述.

4

3.4

【详解】设点P关于8的对称点为6，

以<为顶点，以。CG。为底面，作四棱锥6-OCGA，

该四楂锥与侧面HCC出的截面即为满足条件的区域.

该梯形的面积为4.

故答案为：4.

4.±

37

【详解】尸(2)=芸=3,故川收))=^21=子-叱.=g,

iz-1Z+12-1t.z(l+l)-l-lZ-1

z+i

故F(F(F(z)))=留一=z,

答案第I页，共7页

Li-i

故ZMo=b(Z刈,J=尸(Z°)=^----=T7^—.从而实部为1.

1

——1：+.1：01+13/

3

故答案为：

5.-

14

【详解】解析：按照选取点中正方形顶点的个数进行分类，依次可以为3、2、1、0个，

205

相应的等腰三角形个数为C：+4xl+4x2+C=20,因此所求概率为至二寸.

故答案为：J

14

620000向-100-99〃)

,9801

2

【详解】S=2O(1XW+1OOX(H-1)+1OOX(»-2)++1源)=20(l0(F—00—99〃)

9801

故答案沏20(100100-99〃)

9801

7.8-46

【详解】作图可知该四棱锥底边边长最大为3-6，

从而可得相应的体枳为8-44.

故答案为：8-443.

8.379

【详解】解析：％只能取7、九9,按照出取值依次分成三类，

若q=9,有C；C；=280种排列;

若4=8,有C；C：=84种排列:

若6=7,有G=15种排列;

可得总数为379.

故答案为：379.

9.函数只有一个：/*)=2、2

答案第2页，共7页

【详解】令y=i,得|〃x)=/(x+i)+/(x—i),即

/(x+l)=|/(.V)-f(x-1).①

令x=y=O,得,(o)=2/(O),所以/(0)=0或2.

若"0)=0,由①，〃2)=一X,〃3)=号1()5,〃4)=爰495.

4X10

令工=丁=2,得/2(2)=/(4)+/(0).但(夕)2=蜡+0不成立，矛盾.

416

若/(0)=2,由条件,对任意的整数x、y,有/&)/(一)，)=〃A.y)+/(,r+)，).

令K=0,得2〃-y)=/(-y)+f(y),即〃-y)=f(y).

所以，f(x)为偶函数.

根据①由数学归纳法可证明，对任意正整数X,有f(x)=2'+27.

再由/(.V)为偶函数知对于任意的整数1,有/(M=2,+2-.

经验证，/*)=2'+2T满足条件.

综上，满足条件的函数只有一个：f(x)=r+2~x.

10.证明见解析

【详解】当〃->8时，S.f8,并且〃>2时，

因此,对任意攵22人eN,存在唯一的使得SM,W伙0+1),SM,T史比&+1).

则有2<<S%T<3,所以229S4=3T-Sv,)</■.

心“川'乙i..w2+i乙L

同理，Z亲<《。=2，，*),

所以之益<之法+E7T+E7F++Z7T(其中攵充分大使得%>〃)

k=]“1=1，修机+1/=.WS+I匕M*+l

till111

234223242k2

答案第3页，共7页

25I11

<--+----1----+----+•1+------------

121x22x33x4d)x&

+i一<4.

ii.证明见解析

【详解】如图，不妨设边AA和4A所在直线与抛物线丁=2/，（4>0）相切，切点分别为7；

和T2.那么切点弦T4所在直线方程为NX=g（y+%）.

喝|,则切线A4的料率为j

q

/2、

把切点刀的坐标代入宜线方程七'=4（）'+丹）中，可得卬M+外,

整理即9二，/

2P

再把中的4代入该式，可得夫

%+%q2P%+y

y；2Ph一X%—2〃%

即I+%，即八厂（2,产可得,MET”"

必+乂(>'3+y、.)

同理，利用切点。可以推得）。式）'2+/）=.

上面两式相减可得y,+乃+*=o，所以的重心的纵坐标恒为o,从而一定在x轴（定

直线）上.

12.证明见解析

【详解】假设存在大于I的奇数〃.Larccos（J=）是有理数.

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设8=arccos白,/arccos(=/,(p,4wZ+,(p,，/)=1),

]2—〃

贝|]夕乃=〃,cos6=-y=,cos29=----.

yjnn

下面证明：对•任何正整数m，cos/2=《铢；，且(三2"i(modn),①

利=1、2时结论成立.

设cos(〃-1)6=(*；=,cos%=(点,且“i三2i(mod，z)M三2i(mod〃)，

由coskOcos^=—[cos(k-\)0+cos(k+1)0]得：

2

cos(k+1)6=2coskOcos0-cos伏-\)0=3--J=-一=四二华心

(G)kG(向I(五严.

4

设ak+l=2at-nak_x,则cos(2+1)6=，且l三2(mod/!).

因此，①对一-切正整数都成立，所以毋7ros^^cos/rnT)。，

故嫁=〃。，因此“学.

与三2，i(mod〃)，所以〃12?…,〃=1或2的方某，这与〃是大于1的奇数矛盾.

13.证明见解析

【详解】取CO中点M,连结OM.延长E。与5。交于G,连4G.

过C做EG的平行线交A8于N,交BD于H,连MN.

因为M为。。中点，以圆为。切线，所以/。“=/。12=90。，

于是O、M、P、八四点共圆.所以NOQM=NO4M.

因为CH〃PG,所以N0PM=NAO7.所以N01M=NA07.

所以N、加、人、。四点共圆.所以N/VMC=NA^C=N8£X?.所以MN〃瓦).

因为M为。。中点，所以N为C”中点.

因为CH〃EG,所以。为EG中点.

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又因为。为A8中点，所以四边形AEBG是平行四边形.所以HEBD.

因为48是圆。的直径，所以乙408=90。.所以NE4O=90°,即AEJ.AO.

14.证明见解析

【详解】建立直角坐标系，我们按如下方式取S的一个子集，其中任两点的距离至少为五.

首先取S中横坐标最小的点A.假设已经取好了点A，，A，在S中与4,…,A每个点的距离

均不小于血的点中取横坐标地小的点4.—S是有限集，经过若干次后将无法再取点了.

假设最终取出的点构成集合S={4，，A},则5；中的点两两之间的距离不小于加,且

S\，中的点与$中至少一个点的距离小72.

任取点3Gs2,则存在/e{l,…闺使得用〈应且网，…，幽

由4的取法知，XBNX%,从而A在半圆环Cj={ph中.

我们得到s'EaGuuG.

任取半圆环C，将它等分成4个中心角为45。的扇环，则在每个扇环中，任两点的距离都小

于1，所以G中最多含有4个S\S1中的点.

[00

因此，IS\SJ=1OO-A«必，—=20.

5

类似于5的构造方式，我们可以取S的子集邑，使得邑中的点两两之间的距离不小于2,且

|S2代与之4.任取其中的4个点，则这4个点属于S,且两两之间的距离不小于2,要证结论

得证.

15.证明见解析

【详解】考虑满足（％+%++%|+助=4且芭,冬,的所有有序数对

（中修，，/。构成的集合X.要证结论等价于：

“存在（牛』,，.％JGX且4=/…=x⑼.”①

对任意整数m,定义映射g：AfAg（4）=（4+，〃，.

引理：g是双射.

设g（q）=g（%），即（4+〃）=（%+矶・