山西省2024届高三数学下学期第二次学业质量评价试题含答案

2024届山西高三第二次学业质量评价

数学试题

试卷满分：15()分考试用时：12()分钟

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.命题(),巳，e'+2sinx>2x”的否定是()

2

A.uVxe0,—,ev+2sinx>2xB."Vxe0,—Le'+2sinx<2x

<2)2

C.a,e*+2sinx«2x”D.3xG0,—,e'+2sinx<2x

k2；I

g

2.已知集合人={0,1,2,3},B=x<-\,则(•

2

A.{0,1,2}B.{2,3}

9

C.'x]<x<-'D.{1,2,3)

3.已知z=三巴为实数，则4=()

2+i

33

A.1B.-C.2D.

22

4.设。，/为不同的平面，a,b,c为三条不同的直线，则下列命题中为真命题的是()

A.若a_L£,aua，aT/3=c,oJLc,则々_1_力

B.若，oua,bu0,则a〃Z?

C.若a〃a,bua,则。与〃异面

D.若aJ_分，au。，则。与〃相交

5.方程4|cos，|一〃二0的实数根的个数为()

A.9B.10C.11I).12

6.从集合S={1,2,3,4,5,6,7,8}中任取两个不同的数,和为2的倍数的概率为()

3I,113

A.-B.-C.—D.一

54127

7.已知cos(2—尸)=2cos(a+0,tantz>0,则tan(a+6)的最小值为()

A.-4B.-3C.GD.2

8.己知双曲线C:二—二二1（。〉0力〉0）的左、右焦点分别为《，鸟，过点E的直线与V轴交于点M,

a~b~

—.3一-----

与双曲线。的右支交于点P,且£尸=56加，生/耳=0,则双曲线。的离心率为（）

A.~~~B.-C.2I）.>/3+1

22

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.2023年1（）月份诺贝尔奖获奖名单已经全部揭晓，某校为调研同学们对诺贝尔奖获奖科学家的了解程度，

随机调查了该校不同年级的8名同学所知道的获得过诺贝尔奖的科学家人数，得到一组样本数据：1,1,2,4,

1,4,1,2,则（）

A.这组数据的众数为1B.这组数据的极差为2

C.这组数据的平均数为2I）.这组数据的40%分位数为1

10.已知函数/（X）=&COS2%4-2—,则（）

I4

（3、

A.f（x）的一个对称中心为一三名0

（8J

37r

B./（x）的图象向右平移-[一个单位长度后得到的函数是偶函数

8

C.f（x）在区间-—上单调递减

88

（]3-

【）.若/（x）在区间（0,加）上与），=1有且只有6个交点，则〃7W2肛一比

11.在正四棱台A8CO—48cl。中，A5=2A4=4jLA4,=>/10,点P在四边形ABC。内，且正四

棱台ABCD-AgGR的各个顶点均在球。的表面上，A户=4,则（）

A.该正四棱台的高为3

B.该正四棱台的侧面面积是12向

7

C.球心Q到正四棱台底面A8CQ的距离为万

I）.动点P的轨迹长度是上叵

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.二项式（正+g）展开式中常数项为____.

13.写出一个过点（3,4）且与圆C:Y+y2-4x+3=0相切的直线方程____.

14.已知抛物线）/=2川（〃>0）的焦点为尸（2,0）,过点C（—2,0）的直线/与抛物线交于A,B两点，且

/若为△从人?的角平分线，则直线/的斜率为_____.

四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

山西作为汾河文化的发源地，是我国文明古省，有山西老陈醋、平遥古城、杏花村汾酒等文化资源，山西文旅

局相关工作人员通过自媒体以图片、短视频、视频等形式展示了汾河文化的魅力所在，其中大同刀削面为山西

饮食文化的代表某校进行了有关是否喜欢吃山西大同刀削面的调查问卷，并从参与调查的同学中随机抽取了男、

女各10（）名同学进行分析，从而得到如下列联表（单位：人）：

喜欢情况

性别合计

喜欢不喜欢

男同学6()

女同学20

合计60140

（1）完善列联表并依据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与

性别有关联？

（2）用分层随机抽样的方法，从喜欢和不喜欢吃山西大同刀削面的同学中随机抽取10人，再从这10人中随

机抽取3人进一步调查，设其中不喜欢吃山西大同刀削面的人数为X求随机变量I的分布列和数学期望.

n(ad-be)2

,其中〃=a+/?+c+d.

(a+l)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.010.001

2.7066.63510.828

16.(本小题满分15分)

如图，在四棱锥P—A3C。中，AC与3。交于点。，点P在平面A8CQ内的投影为点。，若△3CQ为正

三角形，且A8=AO=，AC,PO=OC.

(1)证明：AC_L平面P8Q；

(2)求直线总与平面外。所成角的正弦值.

17.(本小题满分15分)

已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且4,二鼻°.

(1)探究数列｛q｝的单调性；

(2)证明：45„-9<0.

18.(木小题满分17分)

2

已知F为椭圆C:二+)2=1的右焦点，过点F且斜率为勺的直线与椭圆C交于点A,B,勺20且匕工1.

(1)求|力?|的取值范围；

(2)过点/作直线EO与椭圆C交于点E,。，直线ED的倾斜角比直线A8的倾斜角大王,求四边形

4

4EBQ面积的最大值.

19.(本小题满分17分)

已知函数/(工)=$皿工+1110+1)-4¥,且)，=/(工)与X轴相切于坐标原点.

(1)求实数。的值及f(X)的最大值;

(2)证明：当xw—、兀时，f(x)+2x>—；

62

(3)判断关于尢的方程/(x)+x=O实数根的个数，并证明.

2024届山西高三第二次学业质量评价

数学试题参考答案及多维细目表

题号123456

答案CBBACD

题号7891011

答案C1)ACDACBC

1.【答案】C

7171

【解析】依题意全称命题“VXE0-,e'+2sinx>2x”的否定为特称命题“Me0,-,e'+2sinx<2x"

I2；I2；

2.【答案】B

【解析】由题意可得A8={2,3}.

3.【答案】B

2

_,ZJ.....3+671(3+〃i)(2-i)=6-3i+2a\-a\_(6+a)+(2a-3)i

【解析】由z=-------

2+1(2+i)(2-i)-4+i―F

・・・z为实数，.•.生3=(),解得〃=3.

52

4.【答案】A

【解析】对于A,根据面面垂直的性质定理可得A正确；

对于B,若a///?,aua,buf,则a//b,或。与/?异面，故B错误；

对于C,若。〃a,bua,则。〃》，或。与Z?异面，故C错误；

对于D,若a_L/7,aua,bu，,则a〃b,或。与/?异面，或。与相交，故D错误.

5.【答案】C

【解析】设y=4|cosr|,%=«.在同一直角坐标系内画出y=4|cos/|与％=〃的大致图象，当/=5乃

时，y=4>J5*=%；当，=6万时，y=4</疏=必•根据图象可得两个函数共有11个交点•

6.【答案】D

【解析】由题知和为2的倍数的有(1,3),(1,5),

(1,7),(3,5),(3,7),(5,7),(2,4),(2,6),(2,8),

123

(4,6),(4,8),(6,8)共12种可能，

Cg7

7.【答案】C

【解析】；cos(a—P)—2cos(a+p)，cosacosft+sinasmp=2cosacos/7-2sinasin，,

/.3sincusin0=cosacosp,

又cosacos尸#0，

laniztan=-,即lanp--!——，

33tana

1

.0、tan«+tan/?tana+j(］、

tan(cr+/?)=----------=-------_3tancr4--------------.

1-tancrtanp〕_12(tana7

-3

tancr>0,3tana+—!—>2J3tana——!—=2>/3，

tanaVtana

1

.♦.当且仅当3tana=----,即tana='一等号成立，

tana3

/.tan(cr+。)的最小值为V3.

8.【答案】1)

【解析】

-PF2PF1=O,：.PF2LPF^

二周r隅即阳•旧=］研阀

3

又6P=己4加，

121

••"。卜归用二红等疗用，

即|P用2=3c“，.1P周=心，

又怛用一|「用二勿，.•.归耳=&_20,

又”口耳，.•.|电邮产图2=比周2,

即3c2+(6。-2。)2=4(2,

22

:.(\!3c-2a)=c1=2a,

2

•,可F3s

9.【答案】ACD

【解析】数据从小到大排列为1，1,1,b2,2,4,4.对于A,该组数据的众数为1,故A正确；对于B,

极差为4—1=3,故B错误；

对于C,平均数为“4+2X2+4X2=2,故c正确;

8

对于D,・.・8x40%=3.2,.•.这组数据的40%分位数为第4个数1,故D正确.

10.【答案】AC

【解析】由/（一（乃5兀3、

=V2cos2x—乃=0,故A正确;

T8}

f（x）向右平移—个单位长度后得y=f(x-

8

—|=V2cos2G54

=V2cos[2x+-=-V2sin2x,为奇函数，故B错误;

8)IT2

„5乃171,则2若571

当X6甘,丁时,€——^7t,由余弦函数单调性知，/（X）在区间-6-，《一上单调递减,

OO288

故C正确:

得cosf2x+

对于D,由f(x)=1，»解得X=2+々4或工+左;T,ZwZ,f\x)在区间(0,m)上

I4242

7171543不94

与y=1有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为:而第7个交点的

7~2TtTT2

横坐标为空5万,13乃..八...

—<机W----,故D锢误.

24

11.【答案】BC

【解析】对于A,取正方形44GA的中心正方形ABC。的中心。，连接A01,A。，00],则。。JL

平面ABCD,过点4作1A。于点M,则AM1平面ABCD，AR=OM，=00},

・「AB=244=46,AA]=A/10,:.AB=46,AB、=2E,故入0、=OM=遥,AO=2>/6,

AM=A0-0M=>/6,•••例二厢，由公股定理得4加=5442-4例2=J]（）-6=2,故A错误;

对于B,过点A作于点W,则AW='(AB-ABJ=J5,故于W=JAA2_AW2=布,正

2

四棱台ABCO-AgCA的侧面面积是4X生叵土竽"立=12夜T,故B正确；

对于C,正四棱台ABCO-4gG。的外接球球心。在直线OO1上，连接AQ,AQ,则AQ=4Q=R,

如图所示.

设OQ=〃，则Q«=OQ+OQ=2+/?,

222222222

由勾股定理得AQ=AO+OQ=24+h,A,Q=A。；+O]g=6+(2+h),24+/?=6+(2+A),

7

解得〃二一，故C正确；

2

对于D,由勾股定理得尸M二小4尸2-4加2=66—4=24,故点P的轨迹为以M为圆心，以2j3为半

径的圆在正方形内部部分，如图，

其中M7=MK=6，散DT=BK=34,又SM=ML=2g,

由勾股定理得ST=KL=J12-3=3,

Q*TT*0r/Q<

由于一=——=—,:./SMT=/LMK=X,故4SML=Z,故动点尸的轨迹长度是

SMLM236

¥x2G=Wk,故D错误.

63

12.【答案】28

【解析】(加+g)的展开式的通项公式为

&=仁(五)「(£|’=(2袅子,

令三”二(),解得r=2,故(加+g)的展开式中常数项为C；=28.

13.【答案】x=3或15x—8y-13=O(答案不唯一，写出一个即可得分)

【解析】依题意，将圆。化为标准方程可得(x—2-+)，2=1,则惧|C表示以C(2,0)为圆心，半径厂=1的圆，

当切线的斜率不存在时，过(3,4)的直线x=3止好与圆C相切：

当切线的斜率存在时.，设切线方程为、-4=攵。一3),则J%一,」,解得女=£,此时切线方

程为15x—8y—13=().

14.【答案】±@

2

【解析】由题意得抛物线方程为9=8x,故设直线/的方程为工=/町，一2,不妨设机>(),

联立),2=8X,可得)，2-8〃h+16=0,且△>(),设A(N，yJ,8(%,%)，则X>。，y2>0»

则)1+)'2=8〃7,=16,

则A8=Jl+/♦帆-力|，

22

BC=y/l+m-|y2|=A/1+/n-y2,

CFBCA/4B

由正弦定理得

sinZCBFsin/CFBsinNABF-sinNAFB

・.・8/为的角平分线，

即NAFB=NCFB,又NCBF+ZABF=兀,

CFBC

「•X》色•~AF~~AB

4_11+4.昆|二为

即

"川+病.民y—为

乂由焦半径公式可知AF=芭+2=iny\-2+2=〃职，

则—=力，即〃7y必=4y-4%=4］（乂+%）2-4），|%，

冲］y-％

iO/o

即16m=4«4帆2-64,解得m-——-,

3

1h

故直线/的斜率为一二、二.

m2

同理，根据对称性可知，当加＜0时;直线/的斜率为-

综上所述，直线/的斜率为土里.

2

15.解：⑴完善列联表如下:

性别喜欢情况合计

喜欢不喜欢

男同学4060100

女同学2080100

合计60140200

零假设为“°:该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别无关.

200x（20x60-40x80）2

则Z2=h9.5>6.635=x,

60x140x100x100001

根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断“0不成立，即认为该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与

性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.

（2）按分层随机抽样的方法从喜欢吃山西大同刀削面和不喜欢吃山西大同刀削面中随机抽取1C人，则抽取的

人中喜欢吃山西大同刀削面的人数为3,不喜欢吃山西大同刀削面的人数为7,故X的所有可能取值为（），1,

2,3,

1*3*6

P（X=O）=^rVC°-=—I,

C；0120

…）喏磊

P(X=2)=萼=21

Jo而

C°c37

P(X=3)=当•='故X的分布列为

3

JCo524

X0123

P17217

120404024

1721721

则E(X)=0x——+lx—+2x—+3x—=

120404024To

16.证明：（1）由题意可得△ABZZiAOC,

冗

:.ZACB=ZACD=~,

6

：.CO1BD,即4cl8。.

又点P在平面A3CQ内的投影为点。，

即PO1平面48CQ,

又ACu平面ABC。，.,.PO_LAC,

又BDC\PO=O,BD,POU平面P8。，

.*.AC_L平面尸80.

（2）由（1）可得OB,OC,OP两两垂直，建立以。为原点如图所示的空间直角坐标系,

，p\0,0,,4(0,一李0,

设平面PAD的法向量为m=(x,)，,z),

x/33G

rn-PA=yz=0,

则有422

所.PD=_AX_生~z=0,

22

/.直线必与平面PAD所成角的正弦值为

|cos(^.PB)|=|/n'PB|V39

I而「1依|~13~

17.解：(1)由题意可得q.1二〃+2

“2+3〃+2〃2+〃_2(1_〃2)

故。山一可------n-----------------=-------；—S0，

3〃3”

即4M</，故数列｛。〃｝中q=%,且从第二项起单调递减.

(2)证法一：由题意可得

工学+.+U

“3323”

22

1eI+12+2n+n

§5=3^+33++

3H+,

有S「；S〃=2x12nn"+n

—H---r+…+—

3323”3w+,

即S“=3X(L4'+…+2tv+n

"13323〃2x3”

12n

令乩-+—+

332

则支12n

F7

则有=-+4+-+-——

”333?3"3M+,

21

即有二”〃二3"+i

32x3"

31n

即乩北

4X3”T2x3"

..f31n'ln2+n

故Sc/=3Qx----------；-----------------

"(44x3"“2x3"J2x3〃

91tv+^n

-4-4X3,,_2_2X3W

2

」1n+4〃9

Z-----------7H--------------->0,故

4x3""2X3”

即4s4—9<0.

证法二：不妨设b”="建；+c,且a.=/?”-4+[,neN'，

J

n,,_3a〃2+3〃?+3c,—a(〃+1)2-Z?(〃+l)-c

人j—3〃

_2atr+(2b-2a)n+2c-a-b

3"

1

ci=­

2〃=1,2

则，2b—2a=l,解得【8=1,

2c-a-b=0,3

4

12。

〃-+n+-

那么Sn=4+%++

=(4一。)+低-4)+…+("-%)=。一%

।3

-(n+l)2+(/7+l)+-

99

<—.

43^4

X-2一1

18.解；（1）设人（不，）［）,3（巧,%），易知尸（1,0），联立，2+）一'

y=^（x-l）,

消去y,得（26+1）/一46%+2（好一1）=0.

•••△=8代+l)>0,%+w=1]

2(#-1)

仪二中-

血+/)2—4砧=2?/；；1)

=及+3.

又2$+1W[1,3)U(3,+8),

,[4B|e"半)j[殍,2上]

71

（2）解法一：设直线48的倾斜角为a£0,—U—,—，则4=tana.

14八42

2a(lan2a+1)2>/24亚

由(1)知|AB|=

2tan2«+114-siira3-cos2a

71

•・•直线OE的倾斜角为a+—,

4

4V21V2

..同理可知|£)£|=--------彳-------r=~~17-

.ARI3+sin2a

3-cos2a+-

l4J

InI

-S^AEB[)=-\AF\\DF\sin-+-\AF\

乙r乙

IEF|sin-+-1||DF|sin-+-1BF|-1EF|sin-=—|AB||DE\,

424244

,«_y/24A/24A/2

.・四边形-■彳.3一cos2a.3+sin2a-

872

9+3(sin2a-cos2a)-sin2acosla

☆f=sin2a-cos2a=&sin2a----U(l,V2],则sin2acos2a=-------------------

,_16加

四边形"即一/+1+17,

当/=一1时，取最大值•

解法二：依题意，，,匕。1,直线EO的倾斜角比直线A3的倾斜角大王,

直线£。的斜率存在.

不妨设直线石。的方程：），=&"—1），且内二

£>(%力),七(%％)・

由（1）同理得|EQ|=J1+确反-月=2♦.与L

2k?+1

S四边形八加二与人严|。尸|sin?+；|A用|M|-

sin-+-\BF\\DF\sin-+-\BF\\EF\sin-

42424

171

咚8.（#+1）（后+1）

.（26+加6+1）

（优f+W+kj+l

=2万

22

4（^^2）+2（^+^）+1

（堆2-1『+（勺+3?

=2万

（2"2-1『+2化+&）2

b//K+k；]1+2区—k；

乂贴=-1——Lk+2=----!~L

1-i-K1-i

、2

1+2人-k；

Ii

-S网边形AEB/)

/26+3『1\2

+2

Ii1—K

4拒（&；+l丫

6片+%+96+24+3

令/（x）=俨+4,x>0,

6X4+4X3+9X2+2X+3

2（x2+l）（2x2+x+l）（x2-2x-1）

（6X4+4X3+9X2+2X+3）2

解方程f一2工一1=0,得x二l±拉.

f(x)在区间［0,1+&)上单调递减，在区间(1+加,+8)上单调递增.

当时，f（x）.

6

*<*/(O)=-»x—>时,/(x),

3o

.-./W</(0)=\

*'

<472/(0)=华.

•q

…°网边形AEB。

19.解：(1)由题意知，/(0)=0且广(0)=0,

/'(X)=cosx+--------a，

x+l

:.f(0)=2-a=0,解得〃=2,

/.f(x}=sinx+ln(x+1)—2x，

f'(x)=COSX+'2,

x+1

当x20时，cos尤KI,—!—<1.故/"(x)<0,

x+]

f(x)在区间10,-HX))上单调递减，

/(x)</(0)=0.

当一l<x<()时，令g(x)=cosx+--------2,

x+\

则g'(x)=-Sinx-----------7

(x+1)2

v-sin