苏科版八年级数学上册压轴题攻略专题05利用轴对称的特性解决问题压轴题四种模型全攻略(原卷版+解析)

专题05利用轴对称的特性解决问题压轴题四种模型全攻略

【考点导航】

目录

【典型例题】....................................................................................1

【类型一几何图形中的最小值问题】.........................................................1

【类型二实际问题中的最短路径问题】........................................................3

【类型三一次函数中线段和最小值问题】......................................................6

【类型三一次函数中线段差最大值问题】......................................................8

A・三【典型例题】

【类型一几何图形中的最小值问题】

例题：（2023秋•重庆南川•八年级统考期末）如图，是等腰一：角形，底边的长为6,面积是3（）,腰

AC的垂直平分线夕'分别交AC、A8于点£、F.若点D为BC边的中点,点、M为线段EF上一动点、,则

VCDM周长的最小值是（）

【变式训练】

1.（2022春•七年级单元测试）如图，中，ZACB=9（）,AC=BC,A3=4,点E在上，且8E=2,

点P在/ABC的平分线4。上运动，则PE+PC的长度最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2023秋•甘肃•八年级统考期末）如图，ZAQ8=15。，M是边。4上的一个定点，且OM=12cm,MP分

别是边。4、08上的动点，则PM+PN的最小值是.

3.（2023春•福建漳州•七年级福建省漳州第一中学校考期末）如图，在等边三角形A8C中，ADJ.BC,垂

足是且4）=5,点E,产分别是线段4。，AC上的动点，则EC+所的最小值是.

4.（2023春・广东揭阳•七年级惠来县第一中学校考期末）如图，在等腰“8C中，AI3=AC,BC=7,作

于点。，=点E为AC边上的中点，点P为BC上一动点，则F4+总的最小值为.

5.（2023春・全国•七年级专题练习）如图，等边（三边相等，三个内角都是60。的三角形）的边长为10cm,

动点。和动点七同时出发，分别以每秒1cm的速度由A向8和日C向A运动，其中一个动点到终点时，另

⑴在运动过程中，C。与BE始终用等吗？请说明理由；

⑵连接OE,求，为何值时，DE!/BC、

（3）若丁点点尸为6M上的点，且使2£＞十尸£最短.当/=7时，产。十?E的最小值为多少？请

直接写出这个最小值，无需说明理由.

6.（2023春•广东佛山•八年级校考期中）如图，已知AABC团将沿4C所在的直线折曹至

的位置，点8的对应点为8',连结BB'.

Bl---------------小

（备用图1）

⑴直接填空：8%与AC的位置关系是_________；

⑵点。、Q分别是线段AC、AC上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知△BB'C的面积为36,BC=8,

求PB+PQ的最小值；

⑶试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？

【类型二实际问题中的最短路径问题】

例题：（2023春・广东广州•八年级华南师大附中校考期中）如图，A、8两个村子在笔直河岸的司侧，A、B

两村到河岸的距离分别为AC=2km,30=5km,CL>=6km,现在要在河岸C'。上建一水厂£向A、3两

村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短.

⑴在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）;

（2）求水厂E到A、8两村的距离之和的最小值.

【变式训练】

1.（2023春•八年级课时练习）如图,A,4两个村庄在河CQ的同侧，两村庄的距离为〃千米，«2=13,它

们到河C。的距离分别是1千米和3千米.为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建

一水厂向A,6两村输送水.

CD

⑴在图上作出向A,3两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M.（只需作图，不需要证明）

⑵经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这

项工程乡政府投入的资金至少为多少万元.

2.（2021秋•江苏苏州•八年级校考阶段练习）如图，小区A与公路/的距离AC=200米，小区B与公路/的

距离BD=400米，已知CQ=80（）米，

B

A

------=J-------------------------------°—I

C-----------------------------D

⑴政府准备在公路边建造一座公交站台Q,使。到A、8两小区的路程相等，求CQ的长；

⑵现要在公路旁建造一利民超市P，使尸到A、8两小区的路程之和最短，求%+PB的最小值，并求CP的

长度.

3.(2023春・全国•七年级专题练习)问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线/同旁有两个定点A,B,

在直线/上是否存在点使得E4+PA的值最小？

小明的解法如下：如图，作点A关于直线/的对称点A,连接A'4,则A4与直线/的交点即为P,且F4+P4

的最小值为43.

I/

:/

4，

问题提出:

(I)如图，等腰的直角边长为4,E是斜边A8的中点，夕是AC边上的一动点，求P4+PE的最小

值.

;匕

问题解决：

⑵如图，为了解决A,8两村的村民饮用水问题，A,8两村计划在•水渠上建造一个蓄水池M,从蓄水池

M处向A,8两村引水，4,B两村到河边的距离分别为AC=3千米，4。=9千米，8=9千米.若蓄水

池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠CO上选择蓄水池”的位置，使铺设水管的

费用最少，并求出最少的铺设水管的费用.

8村

4村

-J....................——水渠

【类型三一次函数中线段和最小值问题】

例题：（2023春・山东德州•八年级校考阶段练习）如图，一次函数），=；工+2的图象分别与x轴、轴交于点

A、B,以线段A4为边在第二象限内作等腰RI&43C,N8AC=90。.（可能用到的公式：若

⑴求线段的长;

⑵过以。两点的直线对应的函数表达式.

⑶点。是中点，在直线A4上是否存在一点P,使得PC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；若

不存在，则说明理由.

【变式训练】

1.（2023春•河北石家庄•八年级石家庄市第四十一中学校考期中）一次函数），=去+〃的图像经过两点A（4,0）,

3（0,8）.点。（见4）在这个函数图像上

⑴求这个一次函数表达式;

(2)求加的值;

⑶点C为。4的中点，点尸为08上一动点，求PC+PD的最小值.

2.(2023春・湖南长沙•八年级校联考期中)如图，直线4经过点A(4,0),与直线4：N=x交于点8(出；

⑴求。的值和直线4的解析式;

⑵直线4与y轴交于点c,求“30C的面积;

(3)在y轴上是否存在点尸，使得P3+B4的值最小，若存在，请求出网+R4的最小值，若不存在，请说明

理由.

3.⑵23春・重庆万州・九年级重庆市万州第一中学校联考期中)如图I,直线4：尸-3+1与、轴，，，轴分

别交于4,B两点,直线4与4轴，丁轴分别交于。，。两点，两直线相交于点P，已知点。的坐标为(-2,0),

图1图2备用图

⑴直接写出点人、P的坐标，并求出直线〃的函数表达式;

⑵如图2,过点A作x轴的垂线，交直线&于点M,点。是线段AM上的一动点，连接QDQC,当AQDC

的周长最小时，求点Q的坐标和周长的最小值.

（3）在第（2）问的条件下，若点N是直线AM上的一个动点，以。，Q,N三点为顶点的三角形是等腰三角

形，请直接写出此时点N的坐标.

【类型三一次函数中线段差最大值问题】

例题：（2023秋•四川成都•八年级统考期末）如图所示，直线/Q=x-1与V轴交于点A,直线仆y=-2x-4

与x轴交于点3,直线4与A交于点C.

⑴求点4。的坐标；

⑵点P在直线4上运动，求出满足条件SM"C=S*3C且异于点A的点尸的坐标；

⑶点。（2,0）为“轴上一定点，当点。在直线右上运动时，请直接写出2Q|的最大值.

【变式训练】

1.（2022秋•重庆沙坪规•八年级重庆八中校考期中）如图1所示.在平面直角坐标系中.点A（0.2）,点A

在x轴负半轴上，OB=2OA.

⑵点C（-x/5，，〃）是第三象限内一点，d8C的面积为6-6，若点2是人轴上一动点，求俨4-0。的最大值；

⑶如图2,在第（2）间的条件下，过点C作直线CQ〃工轴，点。为直线C7）匕一动点，是否存在以A,B,

。为顶点的三角形是以人8为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点。的坐标，若不存在，请说明理由.

专题05利用轴对称的特性解决问题压轴题四种模型全攻略

【考点导航】

目录

【典型例题】....................................................................................1

【类型一几何图形中的最小值问题】.........................................................1

【类型二实际问题中的最短路径问题】........................................................3

【类型三一次函数中线段和最小值问题】......................................................6

【类型三一次函数中线段差最大值问题】......................................................8

A

・三【典型例题】

【类型一几何图形中的最小值问题】

例题：（2023秋•重庆南川•八年级统考期末）如图，是等腰一：角形，底边的长为6,面积是3（）,腰

AC的垂直平分线夕'分别交AC、A8于点£、F.若点D为BC边的中点,点、M为线段EF上一动点、,则

VCDM周长的最小值是（）

A.11B.13C.18D.24

【答案】B

【分析】连接A。，AM,由是等腰三角形，点。是3C边的中点，可得ADJ.BC,再根据三角形的

面积公式求出A。的长，然后根据线段垂直平分线的性质得出4D的长为CM+DM的最小值，由此即可得

出结论.

【详解】解：连接40，AM,

c

团AABC是等腰三角形，点。是8c边的中点，

自ADJ.BC,

团S’ABC=gBCAD=gx6xAD=30,

解得4）=10,

（3所是线段AC的垂直平分线，

13CD+CM+DM=CD+AM+DM,

^AM+DM>AD,

回AD的长为CW+OM的最小值，

（3VCDM周长的最小值为：AD+CD=AD+-BC=\O+3=\3,

2

故选:B.

【点睛】本题考查的是轴对称一最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

【变式训练】

1.12022春•七年级单元测试）如图，中，ZAC8=9。，AC=BC,AA=4,点E在8c上，且BE=2,

点。在NA8C的平分线8。上运动，则PE+PC的长度最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析1利用最短路径直接将点对称，然后连线求两线段和的最小值即可.

［详解】将E关于4。对称至点E,连接CE',

中EP=PE,

由PE+PC=PE+PC,

0(PE+POmin=cr,

0ZAC5=9O,AC=BC,44=4,且4石=2,

回E是A3中点，

QCE,=-AB=2.

2

肌PE+PQ「2

【点睛】此题考查最短路径，解题关键是将一个定点对称，当三点共线时线段之和最短.

2.（2023秋•甘肃•八年级统考期末）如图，ZAO“=15。，M是边04上的一个定点，且OM=12cm,MP分

别是边04、08上的动点，则PM+PN的最小值是.

【答案】6c〃?/6厘米

【分析】作M关于。8的对称点Q,过Q作QNJ.Q4于M交0B于P,则此时HW+QN的值最小，连接

。2,得出NQO8="。8=15。，%=0W=12cm，PM=PQ,NQVO=90°,根据含30度角的直角三角形性质求

出QN即口J.

【详解】作M关于08的对称点。，过。作QV_LQ4于N,交08于P,则此时PM+PN的值最小，连接

O。，

Q

贝IJN或6=ZAO6=15°,OQ=QA/=12cm,PM=PQ,NQNO=90°,

团NQON=30。，

用QN=goQ=6,

中PM+PN=PQ+PN=QN=&:m,

故答案为：6cm.

【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形的性质，轴对称一最短路径问题，垂线段最短的应用，确定点

P、N的位置的解题的关键.

3.（2023春•福建漳州•七年级福建省漳州第一中学校考期末）如图，在等边三角形48c中，AD1BC,垂

足是。，且4）=5,点、E,尸分别是线段A。，AC上的动点，则EC+E厂的最小值是.

【分析】根据等边三角形的对称性可得£8,根据垂线段最短即可求EC+即的最小值.

【详解】解：由等边三角形的对称性可得£C=£8

故EC+EF=EB+EF

过点8作6G_LAC,如图所示：

则（科+■）

•：sXXXX

©AbReC=2-BCAD=-2ACBG,AC=BC

,.BG=AD=5

故答案为：5

【点睛】本题考查了等边三角形的对称性、“垂线段最短〃等知识点.熟记相关结论是解题关键.

4.（2023春・广东揭阳•七年级惠来县第一中学校考期末）如图，在等腰△AAC中，A13=AC,I3C=1,作

ADJ.BC于点D,=点E为AC边上的中点，点P为BC上一动点，则Q4+总的最小值为.

【分析】作点A关于BC的对称点A,延长AO至A,使AT>=A'。，连接AE,交BC于P,此时A4+PE的

值最小，就是AE的长，证明AE=CD即可.

【详解】解：作点A关于8C的对称点A,延长A。至A,使45=4。，连接AE,交BC于P,此时R4+PE

的值最小，就是AE的长，

vAB=AC,BC=7,ADIBC,

：.BD=CD=-

2t

•••AD=-AB

2t

/.ZB=30°,

.•.N8AO=NC4O=60。，

AD=A'D,

.•.△44'C是等边三角形，

•.•点E为AC边上的中点，

:.AE±AC,

77

.■.AE=CD=-t即RUPE的最小值为5，

故答案为：—.

【点睛】本题考查了轴对称，最短路径问题和直角三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的性质作出对

称点，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质与判定的灵活运用.

5.（2023春・全国•七年级专题练习）如图，等边AABC（三边相等，三个内角都是60。的三角形）的边长为10cm,

动点。和动点E同时出发，分别以每秒1cm的速度由4向B和曰C向A运动，其中一个动点到终点时，另

一个也停止运动，设运动时间为/,0<Z<10,DC和BE交于点,F.

⑵连接。石，求，为何值时，DE//BC；

⑶若8WJ.AC于点M,点P为3M上的点，且使夕£>+也最短.当/=7时，9+依的最小值为多少？请

直接写出这个最小值，无需说明理由.

【答案】⑴。。与跖始终相等

（2）5

⑶7

【分析】（1）证明AAOC@KEWSAS）即可；

（2）根据。E〃8C,得到八£>=.佐，gPr-10-z,求出，即可：

（3）作。点关于8M的对称点加交8C于点ZX,连接交BM于点、P,则/）P+PE=DP+PE=,

证明△C0E为等边三角形，即可求。E的值.

【详解】（1）解：由已知可得AQ=/,EC=1,

团AD=CE,

回是等边三角形

0ZA=ZACB=6()U,BC=AC,

0AADC知CEB(SAS),

0BE=CD,

团CD与房始终相等;

,1

Dt

BZ-------------------V

解：国是等边三角形

□ZABC=ZACB=60°,

^DE//BC,

ZADE=ZABC=ZAED=ZACB=60。,

^AD=AE,

QAB=AC=10,

Br=10-/,

0r=5；

(3)回AM_LAC,

回我平分N48C,

作D点关于8M的对称点次交8c于点扰，连接〃£,交BM于点P,

团Z)P=。'尸，

当点。，;七三点共线时，尸£>+庄有最小值,

aDP+PE=DP+PE=DE,

I3Z=7,

^AE=BD=BD,=3,AD=CE=7,

007=7,

又NC=60。，

0ACDE为等边三角形,

©DE=CD=7,

团夕。+小的最小值为7.

【点睛】本题考查动点及等边三角形的性质，利用轴对称性确定线段/4+夕£=〃石，再由等边三角形的性

质求解77E的长是解题的关键.

6.（2023春・广东佛山•八年级校考期中）如图，已知“3C团△CD4,将灰?沿AC所在的直线折叠至VAB'C

的位置，点3的对应点为R',连结BB'.

（备用图1）（备用图2）

⑴直接填空：BB与4。的位置关系是；

⑵点。、Q分别是线段AC、AC上的两个动点（不与点八、仄。重合），已知△班'C的面积为36,BC=8,

求尸8+PQ的最小值；

⑶试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？

【答案】（1）E8_LAC

（2）9

⑶当NAC3=45。时，N4E&-90。；当N4BC—90。时，NA&E=90。

【分析】（1）根据轴对称的性质即可判断；

（2）根据对称的性质，在8'C上取点M,使得CQ=CM,结合对称性质推出尸8+PQ=P8+P/W,确定三

点共线且垂直于B'C时，取得最小值，结合面积进行计算即可；

（3）分NA?E=90。和NA瓦T=900两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答.

【详解】（1）解：团“8C沿AC所在的直线折叠至VABC的位置，点B的对应点为8',

由B8LAC,

故答案为：B上上AC；

（2）解：如图所示，在9C上取点M,使得CQ=CM,连接PM,

根据对称的性质，PQ=PM,

田PB+PQ=PB+PM,

要求总+PQ的最小值，求?8+?M的最小值即可，

团当8、P、M三点共线，且8M_L£C时，P8+PM取得最小值，

此时=如图所示，

由对称的性质，B'C=BC=S,

回取得最小值时,BM±B'C,

。S’BBP=5B，C・BM,

即：36=1x8.解得：BM=9,

2

团用+尸。的最小值为9；

(3)解：①当NAC8=45。时，乙@=90。：

团由翻折变换的性质可知，ZBCA=ZBCA,

回4CB'=90。，

□△ABC02X64,

回4C4=NZMC,

^AD//BC,

aHB=/BCB'=90。；

②由翻折的性质，当N4BC-900时，NA®E=90。.

【点睛】本题考查全等三角形的性质、翻折变换的性质、轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质等，熟

知折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等

是解题关键.

【类型二实际问题中的最短路径问题】

例题：(2023春・广东广州•八年级华南师大附中校考期中)如图，4、B两个村子在笔直河岸的司侧，4、B

两村到河岸的距离分别为AC=2km,BD=5km,CD=6km,现在要在河岸C。上建一水厂E向A、8两

村输送自来水，要求水厂E到4、B两村的距离之和最短.

B

A

clD

⑴在图中作出水厂七的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

⑵求水厂E到A、8两村的距离之和的最小值.

【答案】（1）见解析

⑵785km

【分析】（1）延长AC,取AC=4C,再连接AB,与。力交于点E即可：

（2）作出以44为斜边的直角△.«/孙，，求出直角边，利用勾股定理求出结果.

【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置；

（2）如图，作出以A3为斜边的直角ZVTB产，

由（1）可知：AE=AE,

由题意可得：AC=2km,BD=5km,CD=6km,

0A'C=AC=2km,BF=5+2=7km,AT=CD=6km,

13水厂E到4、〃两村的距离之和的最小值为4。一石?T57.J函km.

【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于CD的对称点是确

定建水厂位置的关键.

【变式训练】

1.（2023春•八年级课时练习）如图，4,B两个村庄在河C。的同侧，两村庄的距离为。千米，片=13,它

们到河CO的距离分别是1千米和3千米.为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河C。边上修建

一水厂向A,8两村输送水.

B

D

⑴在图上作出向4B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M.（只需作图，不需要证明）

⑵经预算，修建水厂需20万元,铺设水管的所有音用平均每千米为3万元，其他费用需5万元.求完成这

项工程乡政府投入的资金至少为多少万元.

【答案】⑴见解析；

⑵50万元

【分析】（1）作点A关于直线C。的对称点4,连接A7?,交CD于M点，即M为所求；

（2）连接AA交于，点，过点B作0根据勾股定理求出研，A'B=5km即可得出答案.

【详解】（1）解：如图，作点A关于直线CD的对称点4,连接43,交8于M点，即M为所求.

（2）解：如图，连接AA交CD于〃点，过点B作PRJ_八H,

由题意可知；AH-A//-1km,PH=3km,AB->/i3km,

^PA=PH-AH=2km,PA1=PH+AfH=4km

(3在中，阶=-研=J13-2?=3km，

回在RtZ\A'PB中，AB=JAP2+PB，=14?+32=5km，

由对称性质可知：AM=AM,

水管KAM+BM=A!M+BM=AB=5km,

完成这项工程乡政府投入的资金至少为30+5x3+5=50(万元)

【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，勾股定理，题FI比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生

的动手操作能力和计算能力.

2.(2021秋•江苏苏州•八年级校考阶段练习)如图，小区A与公路/的距离AC=200米，小区4与公路/的

距离4。=40()米，已知CO=8()0米，

B

A

-----=1-------------------------□—i

CD

⑴政府准备在公路边建造一座公交站台。，使Q到4、B两小区的路程相等，求CQ的长：

⑵现要在公路旁建造一利民超市巴使P到人、8两小区的路程之和最短，求租+PB的最小值，并求CP的

长度.

【答案】⑴475米

⑵1000米，等米

【分析】(1)根据勾股定理歹IJ出方程2(X)2+犬=4002+(800-幻2,解方程即可；

(2)如图，作点4关于直线/的对称点4,连接48,交直线)于点P.则AP=A，P,AP+BP=AfP+BP,

%+P8的最小值为AB.

(1)

解：如图1,

B

h••、・一/hI

CQD

图1

此时AQ=BQ.

设CQ=x,则。Q=800-x,

02002+x2=4002+(8(X)-x)2,

解得K=475,

即CQ的长为475米;

(2)

解：如图2,

B

作点A关于直线/的对称点4,连接48,交直线/于点P.

则AP=AP,

AP+BP=A'P+BP,

PA^PB的最小值为JgOO?+(40()+200)2=100()米.

团AA'〃班)，

CPA!C_200_1

CP1

CD-3

0CT=-CD=-x8OO=—（米）,

333

即CP的长度为弊米.

【点睛】本题考查了轴对称■最短路线问题，作图■应用与设计作图，坐标与图形的性质，确定出Q、P的

位置是本题的关键.

3.(2023春・全国•七年级专题练习)问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线/同旁有两个定点A,B,

在直线/上是否存在点儿使得QA+依的值最小？

小明的解法如下：如图，作点A关于直线/的对称点连接则A'8与直线/的交点即为尸，且PA+PB

的最小值为A8.

问题提出：

(I)如图，等腰RtaAAC的直角边长为4,石是斜边43的中点，。是AC边上的一动点，求心+庄的最小

值.

问题解决：

⑵如图，为了解决A,B两村的村民饮用水问题，A,8两村计划在一水渠上建造一个蓄水池M,从蓄水池

M处向A,8两村引水，4,8两村到河边的距离分别为AC=3千米，8。=9千米，CO=9千米.若蓄水

池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠CD上选择蓄水池M的位置，使铺设水管的

费用最少，并求出最少的铺设水管的费用.

5村

4村

4-----L水渠

【答案】（1）2后

⑵最少的铺设水管的费用是225000元

【分析】⑴作点8关于AC的对称点用,连接3E交4c于尸，此时尸B+夕后的值最小，连接人B先根据

勾股定理求出的长，再判断出N&W=90。，根据勾股定理即可得出结论；

⑵根据轴对称的性质确定水厂位置，作AZJ.B力交BD的延长线于点£根据矩形的性质分别求出DE.AfE,

根据勾股定理求出43,得到尸A+P3,结合题意计算即可.

【详解】（1）解：如图，作点B关于AC的对称点B'，连接BE交AC于P，此时PB+PE的值最小，连接AB'.

因为等腰RtZ\A8C的直角边长为4,£是斜边A8的中点，

所以==JAC'BC2=>/42+42=4近，

AE=-AB=2y/2,

2

因为N8'AC=N84C=45。，所以428=90。，

所以PB+PE=PBf+PE=B'E=yjB^+AE2=440+Q&j=2M.

（2）如图，延长4c到点/V,使C4'=AC,连接BA交CD于点用，点例即为所选择的位置，过点4作

大七，8。交8。的延长线于点石.

母寸

/

/

/

,4村/

\/

\/

______*_______________水渠

C1/M万小乐

L__________I

4'E

在RtaBAE中，8石=9+3=12千米，AE=9千米，

所以AZ=j8必+4®=正+叱=15（千米），

所以最短路线4W+AA/=A8=15（千米），

最少的铺设水管的费用为15x15000=225000（元）.

答：最少的铺设水管的费用是225000元.

【点睛】本题考查的是三角形综合题，轴对称最短路径问题、勾股定理的应用，掌握轴对称的概念和性质、

两点之间，线段最短的性质是解题的关键.

【类型三一次函数中线段和最小值问题】

例题：（2023春・山东德州•八年级校考阶段练习）如图，一次函数y=；x+2的图象分别与x轴、），轴交于点

A、B,以线段A3为边在第二象限内作等腰RSAAGNB4C=90。.（可能用到的公式：若

乂），以巧，九），①人4中点坐标为（电乜，号a}②=『+（）1-必•

⑴求线段A/3的长;

⑵过反。两点的直线对应的函数表达式.

⑶点。是中点，在直线人B上是否存在一点P,使得PC+尸。有最小值？若存在，则求出此最小值；若

不存在，则说明理由.

【答案】⑴48=2百

⑵y=-；x+2

⑶存在，最小值是5人

【分析】（1）求出点A、8的坐标，再根据勾股定理求解即可；

（2）先证明得出点C坐标，再根据待定系数法求解即可；

（3）作点C关于AB的对称点M,连接交直线于点P,则此时PC+尸。有最小值，即为的长，

根据中点坐标公式分别求出点。、M的坐标，再根据两点距离公式求解.

【详解】（1）又寸于），=3毛+2,令x=0.贝i」y=2,

令y=0,则，x+2=0,解得x=Y,

2

134（-4,0）,8（0,2）,

04£?=V22+42=2>/5：

（2）作CF_Lx轴于点R如图，则NCE4=NAO8=90。，

13等腰RLA8C,N班C=90°,

（3AC=AS,ZACF=90°-ZC4F=ZBAO,

^^ACF^BAO,

^CF=OA=4,AF=BO=2,

0C（-6,4）,

设直线8C的解析式为y=/"+〃，

,—Vbin+/i=4/rn=——1

则r，解得彳3,

n=2c

、[n=2

回直线BC的解析式为y=-$+2：

。点。的坐标是（-3,3）,

作点C关于的对称点M,连接用。交直线于点P,则此时PC+灯）有最小值，且

PC+PD=PD+PM=MD,即PC+PD的最小值是MD的长，

团"48=90。，

0C,人、M三点共线，且人是CM中点,

则誓I等皿

设例（PM）,

解得〃=-2应=-4,

团朋(-2T),

22

0MD=A/(-2+3)+(-4-3)=5五,

故PC+PD存在最小值，是5友.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质、利用轴对称的性质求线

段和的最小值以及两点间的距离公式等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识、明确求解的方法是

解题关键.

【变式训练】

1.（2023春•河北石家庄•八年级石家庄市第四十一中学校考期中；一次函数），=去+〃的图像经过两点4（4,0）,

B(0,8).点在这个函数图像上

⑴求这个一次函数表达式：

(2)求加的值；

⑶点C为Q4的中点，点尸为0B上一动点，求PC+9的最小值.

【答案】(1)丁=一2、+8

(2)2

(3)472

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)将Q(机,4)代入一次函数解析式求解即可；

(3)作C与。关于直径)，轴对称，连接C。交y轴于P,则PC+P。的最小值就是线CD的长度，再求出

最小值即可.

【详解】(1)将A(4,0),8(0,8)代入产区十〃得,

4k+b=0k=-2

解得

8=b力=8

0y=-2x+8；

(2)将。(叽4)代入y=-2x+8得，4=-2〃?+8

解得m=2；

(3)解：如图，

由十面坐标系中的对称性可知，。与C关于直径)，轴对称，连接CD交y轴JP,则PC+PQ的最小值就是

线CO的长度，

0A(4,O),5(0,8),

□C(2,0),D(2.4),

团。与。'关于直径y轴对称，

0C(-2,O),

13c£>="2+42=4&，

回PC+PD的最小值为4企，

故答案为：4^2.

【点睛】此题是一次函数函数综合题，主要考查了轴对称性，一次函数的性质，勾股定理，解本题的关键

是找到使距离之和最小时的点尸位置.

2.(2023春・湖南长沙•八年级校联考期中)如图，直线4经过点4(4,0),与直线七)=彳交于点

(2)直线乙与>轴交于点C,求必。。的面积：

(3)在丁轴上是否存在点使得P4+F4的值最小，若存在，请求出Q4+PA的最小值，若不存在，请说明

理由.

41

【答案】（1）4=1,直线4的解析式为y=—gx+2

J4

⑵;

⑶存在,小的最小值为平

414

【分析】（1）由直线小经过点8即可求得。=三，然后利用待定系数法即可■求得直线4的解析

3

式;

（2）由直线4的解析式求得点C的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可；

⑶作点。关于）'轴的对称点连接A9,交y轴于点尸，则此时“+P4的值最小，依+Q4的

最小值为48"利用两点之间的距离公式求解即可得.

【详解】（1）解：点代入y=x得：4=g,

设宜线4的解析式为y-6+"

必+8=01

将点4（4,0）,8仁,力代入得：＜4=——

解得2,

=2

则直线4的解析式为），=-；x+2.

（2）解：对于直线（：y=-；上+2,

当工=0时，y=2,HPC（0,2）,OC=2,

144

则hBOC的面积=-x2x—=—.

233

（3）解：存在，求解过程如下：

如图，作点8关于y轴的对称点连接A9,交y轴于点儿则此时P8+Q4的值最小，PB+PA

的最小值为A9,

QA(4,0),

.•.M+E4的最小值为生叵.

3

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握

待定系数法是解题的关键.

3.（2023春・重庆万州•九年级重庆市万州第一中学校联考期中）如图1,直线小），=-£+1与x轴，轴分

别交于A,4两点，直线4与x轴，），轴分别交于C,。两点，两直线相交于点P,已知点C的坐标为（-2,0）,

⑴直接写出点八、夕的坐标，并求出直线4的函数表达式;

（2）如图2,过点A作工轴的垂线，交直线4于点M,点。是线段A用上的一动点，连接QDQC,当AQ。。

的周长最小时，求点。的坐标和周长的最小值.

（3）在第（2）问的条件下，若点N是直线AM上的一个动点，以。，Q,N三点为顶点的三角形是等腰三角

形，请直接写出此时点N的坐标.

「46、

【答案】⑴A（4,0）,P；y=x+2

⑵点Q的坐标为Q。］）,周长的最小值2&+4后，

⑶崎）或喝或卜二叼或代竽）

【分析】（1）对于4：＞=一:1+1,令y=o,求出x=4可得点A的坐标，再把点。的横坐标代入y=-另+1,

求出x的值即可得到点P的坐标，再运用待定系数法求出直线〃的解析式即可;

(2)先求出点D的坐标，再运用勾股定理求出CD=2无，过点。作AM的对称点ZX,得。(8,2),连接DC,

交AM于占M,由两点之间，线段最短可知OQ+CQ的最小值为。七的长，从而可得ACOQ周长的最小值,

再运用待定系数法求出直线。。的解析式，进一步可得出点。的坐标;

(3)设N(4j),分别求出ON、QV、OQ的长，再分DN=QN,DN=DQ,QN=OQ三种情况讨论求解即

可.

【详解】⑴对于当尸。时，-3+1=。,

解得，x=4,

/.人(4.0),

4

国点。的横坐标为

14।6

■■J=-------X+1=?

4I5>

设直线4的解析式为y=&+A

,、(46、

把C(-2,0),P-《y代入)，=&+〃,得,

-2k+b=O

'4,.6>

一一k+b=—

55

k=\

解得：，

b=2

殖线4的解析式为丁=工+2；

(2)对于直线y=x+2,当x=0时，y=2,

回。(0⑵，

过点。作点。关于AM的对称点连接。。交AM于点/X,

根据“两点之间，线段最短〃可知，DQ+CQ的最小值为OC的长,

①。。⑵，

回。'(8,2)

又c(-2。)

0CD*=^[8-(-2)]2+(2-0)2=4X^6,CD=M+2=2近

©△COQ的周长最小值为：CO+CD'=2&+4痴,

设DP的解析式为：），=〃”•+〃,

把C（2,0）,少（8,2）代入＞一尔一小得,

-2m+n=0

Sin+n=2

I

m=­

5

解得，

2

n=—

5

\2

团直线0c的解析式为），=不工+不

26

当送=4时，y=-x4+—=—,

02（4,||；

\〉）

(3)设M4J),

(4与，C(-2,0),

0C

0DA^2-(0-4)2+(2-/)2-(2-/)2-16,

。。:（0_4）2+（2事416

25

当DN=QN时，有DN?=QN',

0(2-r)2+16=G-1,

CQ

解得，/=三

当DN=OQ时，有DN'=DQ2、

0（2—/）2+16=,

解得，乙二1三4，一与6（不符合题意，舍去）

国N（得

当QN=。。时，有QN-DQ，,

J6丫416

V5J二石，

解得，.2至一=上叵，

525

c入-6+4后6-4腐）

回N4,--——或N4,---,

…〜……心58）/341//6+47拓）/“6-4后'

粽上，点N的坐标为：或［4.彳~1或4.-----------或［4.

【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、等腰三角形的性质和判定、最短问题等知识，解题的

关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用对称解决最值问题.

【类型三一次函数中线段差最大值问题】

例题：（2023秋•四川成都•八年级统考期末）如图所示，直线4--1与〉轴交于点A,直线A：y=-2x-4

与x轴交于点宜线4与〃交于点C.

备用图

⑴求点AC的坐标;

⑵点P在直线乙上运动，求出满足条件SgBC=S*8C且异于点A的点尸的坐标;

⑶点。（2,0）为x轴上一定点，当点。在直线《上运动时，请直接写出|。。一伙2|的最大值.

【答案】（1）点A的坐标为点C的坐标为（-1，-2）

（2）（-2,-3）

（3）710

【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的特点即可求解，联立两条直线的解析式，解二元一次方程组即可求

解；

（2）根据直线与坐标轴的交点，求出aABC的面积，设P（P，〃-l）,用含〃的式子表示APBC的面积，根据

即可求解；

（3）如图，作点8关于直线4的对称点夕，连接?。并延长交直线乙于。，求|。2-伙2|的最大值转换为求刑）,

根据勾股定理即可求解.

【详解】⑴解：暄线4：y=Z与）'轴交于点A,

国令x=0,plij_y=-l,

回点A的坐标为（0,T）,