2026年广东省广州市重点学校高一入学数学分班考试试题及答案

2026年广东省广州市重点学校高一入学数学分班考试试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）

1.已知函数$f(x)=2x^33x^2x+1$，下列结论正确的是（）

A.$f(x)$在$x=1$处取得极小值

B.$f(x)$在$x=1$处取得极大值

C.$f(x)$在$x=1$处既不取得极大值也不取得极小值

D.$f(x)$在$x=1$处取得极值，但无法判断是极大值还是极小值

答案：A

2.若$a^2+b^2=1$，则$\frac{ab}{a+b}$的取值范围是（）

A.$[1,1]$

B.$[\sqrt{2},\sqrt{2}]$

C.$[\sqrt{2},1)$

D.$(1,\sqrt{2}]$

答案：D

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=15$，$S_{10}=30$，则$S_{15}$等于（）

A.45

B.60

C.75

D.90

答案：C

4.若直线$l$：$x+2y5=0$与圆$x^2+y^2=9$相交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是（）

A.$(1,2)$

B.$(2,1)$

C.$(\frac{5}{3},\frac{2}{3})$

D.$(\frac{2}{3},\frac{5}{3})$

答案：C

5.下列关于$\sin\theta$与$\cos\theta$的大小关系，正确的是（）

A.当$\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$时，$\sin\theta>\cos\theta$

B.当$\theta\in(\frac{\pi}{2},\pi)$时，$\sin\theta>\cos\theta$

C.当$\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$时，$\sin\theta<\cos\theta$

D.当$\theta\in(\frac{\pi}{2},\pi)$时，$\sin\theta<\cos\theta$

答案：B

二、填空题（每题5分，共25分）

6.若函数$f(x)=x^22x+c$在$x=1$处取得极小值，则$c=$________。

答案：0

7.已知等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2n3$，则前$n$项和$S_n=$________。

答案：$n^2n$

8.若直线$l$：$2xy+1=0$与圆$x^2+y^2=4$相交于A、B两点，则线段AB的长度是________。

答案：$\sqrt{3}$

9.若函数$f(x)=\sqrt{1x^2}$的定义域是$[1,1]$，则其值域是________。

答案：$[0,1]$

10.若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，则$\cos\alpha=$________。

答案：$\frac{4}{5}$

三、解答题（共50分）

11.（本题10分）求函数$f(x)=x^33x+1$的单调区间。

答案：增区间为$(\infty,1)$和$(2,+\infty)$，减区间为$(1,2)$。

12.（本题10分）已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n1$，求证数列$\{a_n\}$是单调递增的。

答案：由$a_{n+1}a_n=2^{n+1}2^n=2^n>0$，可知数列$\{a_n\}$是单调递增的。

13.（本题15分）已知直线$l$：$3x+4y5=0$与圆$x^2+y^2=1$相交于A、B两点，求线段AB的中点坐标。

答案：设线段AB的中点为$M(x_0,y_0)$，则$M$在直线$l$上，即$3x_0+4y_05=0$。又因为$M$是线段AB的中点，所以$M$也在圆的直径上，即$x_0^2+y_0^2=1$。解方程组

\[

\begin{cases}

3x_0+4y_05=0\\

x_0^2+y_0^2=1

\end{cases}

\]

得$M(\frac{1}{5},\frac{4}{5})$。

14.（本题15分）已知函数$f(x)=\frac{1}{x^23x+2}$，求$f(x)$的定义域。

答案：$f(x)$的定义域