59　第七章　第54课时　空间直线、平面的垂直

2/39第54课时空间直线、平面的垂直[考试要求]1．从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．知识点1直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直l⊥al⊥性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥(3)直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．②一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°；直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．知识点2二面角(1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(2)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°．知识点3平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直l⊥αl⊂性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直α⊥βα⋂β＝[常用结论]直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．1．(人教A版必修第二册P150探究改编)如图，将一张三角形纸片ABC沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于()A．150° B．135°C．90° D．60°C[由题意可知AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，BD，CD⊂平面α，所以AD⊥平面α，所以折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于90°．故选C．]2．(苏教版必修第二册P187习题13.2(3)T11改编)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的______________心．

(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的______________心．

(1)外(2)垂[(1)易证△POA≌△POB≌△POC，故OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心．(2)易知PA⊥平面PBC，从而PA⊥BC．而PO⊥平面ABC，所以PO⊥BC，从而BC⊥平面PAO，所以BC⊥AO．同理AC⊥BO，所以O为△ABC的垂心．]3．(人教A版必修第二册P164习题8.6T18)如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝2，VC＝1，则二面角V-AB-C的余弦值为______________．

56[取AB的中点O，连接VO，CO，因为VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝2，所以VO⊥AB，CO⊥AB，所以∠VOC是二面角V-AB-C的平面角．又VO＝CO＝3，VC＝1，在△VOC中，由余弦定理的推论，得cos∠VOC＝VO24．(人教A版必修第二册P159练习T2)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是()A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥βD[α⊥γ，β⊥γ⇒α与β相交或平行，故A不正确；因为α∩β＝a，b⊥a，b⊂β，所以β可以绕交线a任意旋转，所以不能得到α⊥β，故B不正确；a∥β，a∥α⇒α与β相交或平行，故C不正确；a⊥β，a∥α，过直线a作平面与平面α交于直线b，所以a∥b，又a⊥β，所以b⊥β，又b⊂α，所以α⊥β，故D正确．]考点一与线、面垂直相关命题的判定[典例1](2025·天津卷)已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，n⊂α，则m∥nB．若m⊥α，m⊥β，则α⊥βC．若m∥α，m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α，α⊥β，则m⊥βC[对于A，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，故A错误；对于B，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B错误；对于C，若m∥α，m⊥β，则α⊥β，故C正确；对于D，若m⊂α，α⊥β，则m∥β或m与β相交或m⊂β，故D错误．故选C．]通性通法：与线、面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线、面关系要做到作图快、准，甚至不需要作图，通过空间想象来判断．(2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确．(3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．[多维变迁](多选)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出如下命题，其中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥βB．若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥αC．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥αD．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βAC[根据平面与平面垂直的性质知A正确；B中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；C中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只能有m∥α，正确；D中，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α与β相交，故D错误．故选AC．]考点二直线与平面垂直的判定与性质[典例2]如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE．[证明](1)在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC．又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD．又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．思维建模：线面垂直的证明模型第1步找线线垂直翻译题干条件，转化出所有可能的线线垂直，为寻找目标直线做准备．类型1：共面垂直；类型2：已知线面垂直⇒线线垂直；类型3：已知面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．第2步分析法，逆向思考：确定要证的逆向逻辑链条．第3步正向写过程：根据正向表述的逻辑书写证明过程．【教用·通性通法】证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线与平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．【教用·备选题】(人教A版必修第二册P163习题8.6T4改编)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上．(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．①F为BB1的中点；②AB1＝3；③AA1＝2．[证明](1)∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°．又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1．∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥平面AA1B1B．(2)选①③能证明AB1⊥平面C1DF．如图，连接A1B，∴DF∥A1B．在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，则AB＝2，又AA1＝2，则A1B⊥AB1，∴DF⊥AB1．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．∵DF∩C1D＝D，DF，C1D⊂平面C1DF，∴AB1⊥平面C1DF．考点三平面与平面垂直的判定与性质[典例3](2025·北京期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝12AA1＝1，BC＝2，D是棱AA1的中点，C1D⊥BD(1)求证：C1D⊥BC；(2)求证：平面BCC1B1⊥平面ACC1A1；(3)求四棱锥C-ABB1A1的体积．[解](1)证明：连接CD，由于AC＝12AA1＝1，BC＝2，D是棱AA1的中点，则CD＝C1D＝2因为CD2＋C1D2＝4＝CC12，所以C1D⊥又由C1D⊥BD，且CD∩BD＝D，CD，BD⊂平面BCD，则C1D⊥平面BCD，而BC⊂平面BCD，所以C1D⊥BC．(2)证明：由(1)知，BC⊥C1D，因为CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则CC1⊥BC，因为CC1∩C1D＝C1，CC1⊂平面ACC1A1且C1D⊂平面ACC1A1，则BC⊥平面ACC1A1，又由BC⊂平面BCC1B1，由面面垂直判定定理，必有平面BCC1B1⊥平面ACC1A1．(3)根据题意，由(2)知，BC⊥平面ACC1A1，由于AC⊂平面ACC1A1，则BC⊥AC，故AB＝12过点C作CH⊥AB，交AB于点H，如图，又由12×1×2＝12×3×因为AA1⊥平面ABC，而CH⊂平面ABC，则AA1⊥CH，因为AA1∩AB＝A，而AA1，AB⊂平面ABB1A1，则CH⊥平面ABB1A1，则CH为四棱锥C-ABB1A1的高，故V四棱锥C－ABB1A1＝通性通法：1．证明面面垂直首先要根据条件证明线面垂直，则所有经过平面垂线的平面都与已知平面垂直，而面面垂直判定的常用两种方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．2．若条件中已知面面垂直，则通常会应用面面垂直证明线面垂直，即一个面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．【教用·备选题】(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°．(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高．[解](1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，又BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C．(2)如图，过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1H⊂平面ACC1A1，所以A1H⊥平面BB1C1C，即四棱锥A1-BB1C1C的高为A1H．由题意知AB＝A1B，BC＝BC，∠ACB＝∠A1CB＝90°，则△ACB≌△A1CB，故CA＝CA1．又AA1＝2，∠ACA1＝90°，所以A1C1＝CA1＝2．法一：由S△CA1C1＝12·CA1·A1C1＝12·A1H·CC故四棱锥A1-BB1C1C的高为1．法二：在等腰直角三角形CA1C1中，A1H为斜边中线，所以A1H＝12CC1＝1故四棱锥A1-BB1C1C的高为1．考点四平行、垂直关系的综合应用[典例4](2026·沈阳模拟)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．[解](1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意知SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，又SO∩BD＝O，因为SO，BD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD，因为SD⊂平面SBD，所以AC⊥SD．(2)连接OP，若SD⊥平面PAC，则SD⊥OP，设正方形ABCD的边长为a，则SD＝2a，OD＝22a则OD2＝PD·SD，可得PD＝OD2故可在SP上取一点N，使PN＝PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连接BN，BE．在△BDN中知BN∥PO，又NE∥PC，BN⊄平面APC，PO⊂平面APC，NE⊄平面APC，PC⊂平面APC，可知BN∥平面PAC，NE∥平面PAC，BN∩NE＝N，BN，NE⊂平面BEN，故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC，由于SN∶NP＝2∶1，故SE∶EC＝2∶1．通性通法：求解三种平行、垂直的综合问题时，应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用，可通过作辅助线进行线线、线面、面面平行、垂直间的转化．【教用·备选题】1．(多选)把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时()A．AB⊥CDB．直线BD与平面ABC所成角的大小为πC．二面角A-BD-C的余弦值为－1D．四面体ABCD的内切球的半径为2－3BCD[如图所示，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，记E为AC的中点，连接BE，DE，此时DE⊥平面BAC．对于A，因为AB⊂平面BAC，所以AB⊥DE，因为CD∩DE＝D，所以AB与CD不垂直，A错误；对于B，直线BD与平面ABC所成的角即为∠EBD，因为tan∠EBD＝EDBE＝1故∠EBD＝π4，B对于C，由于BC＝CD＝BA＝AD，取BD的中点G，连接AG，CG，则有CG⊥BD，AG⊥BD，故∠CGA为二面角A-BD-C的平面角．则cos∠CGA＝A＝32+32-4对于D，设内切球球心为I，内切球半径为r，由等体积法知，V四面体ABCD＝V三棱锥I-ABC＋V三棱锥I-BCD＋V三棱锥I-ACD＋V三棱锥I-ABD＝13rS四面体ABCD其中，V四面体ABCD＝13BE·S△ACD＝1S四面体ABCD＝2×12×2×1+1故r＝3V四面体ABCDS四面体ABCD＝132．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，DE⊥AB．沿DE将△AED折起到△A1ED的位置．连接A1B，A1C，M，N分别为A1C，BE的中点，连接MN，如图2．(1)求证：DE⊥A1B；(2)求证：MN∥平面A1ED；(3)在棱A1B上是否存在一点G，使得EG⊥平面A1BC？若存在，求出A1G[解](1)证明：∵在直角梯形ABCD中，DE⊥AB，沿DE将△AED折起到△A1ED的位置，∴DE⊥A1E，DE⊥BE．∵A1E∩BE＝E，A1E，BE⊂平面A1BE，∴DE⊥平面A1BE，又A1B⊂平面A1BE，∴DE⊥A1B．(2)证明：取CD的中点H，连接NH，MH，如图．∵M，N分别为A1C，BE的中点，∴MH∥A1D，NH∥DE．∵MH⊄平面A1ED，A1D⊂平面A1ED，∴MH∥平面A1ED，∵NH⊄平面A1ED，DE⊂平面A1ED，∴NH∥平面A1ED，又NH∩MH＝H，NH，MH⊂平面MNH，∴平面A1ED∥平面MNH，又MN⊂平面MNH，∴MN∥平面A1ED．(3)取A1B的中点G，连接EG，如图．在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，DE⊥AB，∴BC∥DE，∵AB＝2CD，∴AE＝BE，即A1E＝BE，∴EG⊥A1B，由(1)知DE⊥平面A1BE，又∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1BE，又EG⊂平面A1BE，∴EG⊥BC，又A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，∴EG⊥平面A1BC．故棱A1B上存在中点G，使得EG⊥平面A1BC，且此时A1GGB几何法求线面角、二面角1．求线面角的三个步骤一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解．2．作二面角的平面角的方法作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．[典例5](2025·衡水期末)如图1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝AB＝12BC＝2，∠BAD＝90°，现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD，如图2(1)求证：CD⊥PB；(2)求PC与平面BCD所成角的正弦值；(3)求二面角P-BC-D的平面角的余弦值．[解](1)证明：因为AD＝AB＝12BC＝2，∠BAD＝90°，则BD＝CD＝22可得BD2＋CD2＝BC2，则BD⊥CD．又因为平面PBD⊥平面BCD，且平面PBD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，可得CD⊥平面PBD，且PB⊂平面PBD，所以CD⊥PB．(2)过点P作PE⊥BD，交BD于点E．因为PB＝PD，则E为BD的中点，又因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，PE⊂平面PBD，所以PE⊥平面BCD．连接CE，则∠PCE为PC与平面BCD所成的角．由(1)知BD＝CD＝22，因为PE＝2，CE＝CD则PC＝PE2+C所以直线PC与平面BCD所成角的正弦值sin∠PCE＝PEPC(3)由(2)知PE⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以PE⊥BC．过点E作EF⊥BC交BC于点F，连接PF，因为PE∩EF＝E，PE，EF⊂平面PEF，所以BC⊥平面PEF，且PF⊂平面PEF，所以BC⊥PF，可知∠PFE为二面角P-BC-D的平面角．在△BCD中，EF＝14BC＝1，则PF＝P可得cos∠PFE＝EFPF所以二面角P-BC-D的平面角的余弦值为33【教用·备选题】1．(2025·西安质检)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为()A．12 B．C．55 D．D[在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，所以∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角，连接AC，且AC⊂平面ABCD，则AA1⊥AC，又AB＝1，BC＝2，AA1＝5，所以AC＝AB在Rt△A1CA中，tan∠A1CA＝AA1AC＝55＝5，即A2．(2025·嘉兴调研)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，PO＝1，底面半径为2，M，N是底面圆周上两点，且∠MON＝π3，则二面角P-MN-O的大小为(A．π12B．π6C．π4B[取MN的中点E，连接OE，PE，因为OM＝ON，所以OE⊥MN，因为PM＝PN，所以PE⊥MN，所以∠PEO是二面角P-MN-O的平面角，因为PO⊥平面OMN，OE⊂平面OMN，所以PO⊥OE，因为∠MON＝π3，OM＝2所以OE＝OM·cosπ6＝2×3因为PO＝1，所以PE＝PO2+所以cos∠PEO＝OEPE结合图知∠PEO＝π6所以二面角P-MN-O的大小为π6．三余弦定理与三正弦定理1．三余弦定理．如图1，设A为平面α内一点，过点A的斜线AO在平面α上的射影为AB，AC为平面α内的一条直线．已知∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，∠OAC＝θ，则cosθ＝cosθ1·cosθ2．三余弦定理，也称最小角定理、折叠角公式、“爪子定理”等．该定理表明，直线与平面所成的角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，即线面角是线线角的最小值．2．三正弦定理．如图2，设二面角α'-AB-β'的平面角为α，在平面α'内有一条射线AC，AC与棱AB所成的角为β，AC与平面β'所成的角为γ，则sinγ＝sinα·sinβ．该定理表明，二面角是半平面内的一条直线与另一半平面所成角的最大值，即二面角是线面角的最大值．注意，以上两个定理在解答题中不能直接使用．[典例6](多选)如图，三棱台DEF-ABC中，平面ADFC⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC，则()A．EF⊥DBB．EF⊥DCC．二面角B-DC-A的正弦值为6D．DF与平面DBC所成角的正弦值为3ACD[由三余弦定理，得cos∠BCD＝cos∠ACD·cos∠ACB＝cos45°·cos45°＝12，所以∠BCD＝60°．由DC＝2BC，得BC⊥DB．又EF∥BC，所以EF⊥DB，故A正确，B错误如图，过点B作BH⊥AC于点H，HK⊥DC于点K，连接BK．因为平面ADFC⊥平面ABC，平面ADFC∩平面ABC＝AC，所以BH⊥平面ADFC．易得BK⊥DC．设BC＝1，则BK＝32，BH＝2所以sin∠BKH＝BHBK＝23因为AC∥DF，所以DF与平面DBC所成角，即为AC与平面DBC所成角，设为θ．由三正弦定理，得sinθ＝sin∠ACD·sin∠BKH＝22×63故选ACD．]【教用·教材拓展】三垂线定理及其逆定理1．三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．2．三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．如图：若PO，PA分别是平面α的垂线、斜线，OA是PA在平面α上的射影，a⊂α，则a⊥OA⇔a⊥PA．[典例](1)如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行 B．垂直相交C．垂直但不相交 D．相交但不垂直(2)如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有_______条．

(1)C(2)4[(1)因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MA．又点M在平面ABCD外，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．(2)因为PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC．又AC⊥BO，PO∩BO＝O，PO，BO⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，所以图中共有4条直线与AC垂直．]通性通法：三垂线定理的几种应用(1)证明线线垂直：在几何证明中，可以通过构造平面内的垂线和射影，利用三垂线定理证明两条直线垂直．(2)计算几何量：三垂线定理可以用于计算三角形的面积和三角形的垂心，以及其他相关的几何量．(3)解决空间几何问题：在解决空间几何问题时，三垂线定理可以用来找出平面角的度数或者异面直线所成的角．1．(链接考点二)(2025·陕西期中)已知直线m，n和平面α，且m∥α，则“n⊥m”是“n⊥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[若m∥α，n⊥m，则n⊂α或n∥α或直线n和平面α相交，则“n⊥m”不是“n⊥α”的充分条件；若m∥α，n⊥α，则n⊥m，则“n⊥m”是“n⊥α”的必要条件，所以“n⊥m”是“n⊥α”的必要不充分条件．故选B．]2．(链接考点一)(人教A版必修第二册P162练习T2改编)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βD[若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊂β或l∥β或l与β相交，A错误；若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l与β相交但不一定垂直，B错误；若α⊥β，l⊂α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，C错误；若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β，由面面垂直的性质定理可知D正确．故选D．]3．(链接考点三)(人教A版必修第二册P158例8改编)如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直圆柱的底面，则必有()A．平面ABC⊥平面BCDB．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACDD．平面BCD⊥平面ABDB[因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD，所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．故选B．]4．(链接考点四)(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是()A．BC1⊥平面A1B1C1D1B．BC1∥平面ACD1C．平面A1C1B⊥平面B1D1CD．平面A1C1B⊥平面B1CDBD[选项A，由题意知，BC1和CC1是两条不同的直线，由正方体的性质知，CC1⊥平面A1B1C1D1，若BC1⊥平面A1B1C1D1，则这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直相矛盾，故选项A错误；选项B，由正方体的性质知，AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1∥AD1，而AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，所以BC1∥平面ACD1，故选项B正确；选项C，连接BD，因为正方形A1B1C1D1，所以A1C1⊥B1D1，由正方体的性质知，BB1⊥平面A1B1C1D1，因为A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，又B1D1∩BB1＝B1，所以A1C1⊥平面BDD1B1，而A1C1⊂平面A1C1B，所以平面A1C1B⊥平面BDD1B1，若平面A1C1B⊥平面B1D1C，则这与过同一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直相矛盾，故选项C错误；选项D，因为正方形BCC1B1，所以BC1⊥B1C，由正方体的性质知，CD⊥平面BCC1B1，因为BC1⊂平面BCC1B1，所以CD⊥BC1，又B1C∩CD＝C，B1C，CD⊂平面B1CD，所以BC1⊥平面B1CD，而BC1⊂平面A1C1B，所以平面A1C1B⊥平面B1CD，故选项D正确．故选BD．]5．(链接考点四)在正四棱锥P-ABCD中，AB＝2，二面角P-CD-A的大小为π4，则该四棱锥的体积为______________．43[连接AC，BD相交于点H，则H为正方形ABCD故PH⊥底面ABCD，取CD的中点Q，连接HQ，PQ，则HQ⊥CD，PQ⊥CD，HQ＝12AD＝1故∠PQH为二面角P-CD-A的平面角，所以∠PQH＝π4，故PH＝HQ＝1所以该四棱锥的体积为13×AB2·PH＝43课时作业(五十四)空间直线、平面的垂直一、单项选择题1．(2025·宝鸡月考)已知两个相交平面α，β，过平面α内一点作交线的垂线l，则“α⊥β”是“l⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件D[当点在交线上时，若α⊥β，则l与β的位置关系可能是l与β相交或l⊂β，故充分性不成立；当点在交线上时，若l⊥β，此时l⊂α或l⊄α，所以α，β不一定垂直，故必要性不成立．所以“α⊥β”是“l⊥β”的既不充分也不必要条件．故选D．]2．已知a，b是空间内两条不同的直线，α，β，γ是空间内三个不重合的平面，则下列说法正确的是()A．若α⊥β，a⊂α，则a⊥βB．若a⊥β，α⊥β，则a∥αC．若α∩β＝a，α⊥γ，β⊥γ，则a⊥γD．若α⊥β，α∩β＝a，b⊥a，则b⊥α或b⊥βC[对于A，由α⊥β，a⊂α，设α∩β＝l，当a∥l时，可得a∥β，故A错误；对于B，由a⊥β，α⊥β可得a∥α或a⊂α，故B错误；对于C，如图，设α∩γ＝b，β∩γ＝c，在平面α内作不与a重合的直线m，使m⊥b，因为α⊥γ，则m⊥γ，因为β⊥γ，m⊄β，则m∥β，因为α∩β＝a，则m∥a，于是a⊥γ，故C正确；对于D，当α⊥β，α∩β＝a，b⊥a时，若b⊄α，且b⊄β，则b可以和平面α，β成任意角度，故D错误．]3．(2026·哈尔滨模拟)已知直线m，n与平面α，β，γ，则能使α⊥β的充分不必要条件是()A．α⊥γ，β⊥γB．m⊥n，m⊂α，n⊂βC．m⊥n，α∩β＝m，n⊂βD．m∥α，m⊥βD[对于A选项，若α⊥γ，β⊥γ，则α，β平行或相交，与A选项不符合，所以A不正确；对于B选项，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α，β平行或相交，与B选项不符合，所以B不正确；对于C选项，若m⊥n，α∩β＝m，n⊂β，则α，β斜交或垂直，与C选项不符合，所以C不正确；对于D选项，如图所示，因为m∥α，过直线m作平面γ，使得α∩γ＝n，由线面平行的性质定理可得m∥n，因为m⊥β，则n⊥β，因为n⊂α，故α⊥β，而反过来不成立，D满足要求．故选D．]4．(2026·合肥模拟)在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，如图，则在三棱锥A-BCD中，下列结论不正确的是()A．CD⊥ABB．CD⊥BDC．平面ADC⊥平面ABDD．平面ABC⊥平面BDCD[对于B，如图，因为AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，所以∠ABD＝∠ADB＝45°，又因为∠BCD＝45°，AD∥BC，所以∠ADC＝135°，所以∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝135°－45°＝90°，所以CD⊥BD，所以B正确；对于A，由B选项知CD⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，因为AB⊂平面ABD，所以CD⊥AB，所以A正确；对于C，由选项A知，CD⊥平面ABD，因为CD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面ABD，所以C正确；对于D，如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E，因为平面ABD⊥平面BCD，AE⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD，显然AE⊄平面ABC，所以平面ABC与平面BDC不垂直，所以D错误．故选D．]二、多项选择题5．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是()A．异面直线AB1与CD所成角的大小为45°B．异面直线A1B1与AC1所成角的大小为45°C．直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为3D．二面角C1-AD-B的大小为45°ACD[如图所示，对于A，因为CD∥AB，则AB1与CD所成的角为∠BAB1＝45°，A正确；对于B，因为AB∥A1B1，所以AC1与A1B1所成的角为∠BAC1或其补角，因为AB＝2，BC1＝2BC＝22，AC1＝3AB＝23，所以AB2＋BC12＝A则AB⊥BC1，所以tan∠BAC1＝BC1AB＝2，故∠BAC1≠对于C，因为B1C1⊥平面ABB1A1，故直线AC1与平面ABB1A1所成的角为∠B1AC1，因为AB1⊂平面ABB1A1，则B1C1⊥AB1，所以sin∠B1AC1＝B1因此直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为33，C对于D，因为AD⊥平面CC1D1D，CD，C1D⊂平面CC1D1D，则AD⊥CD，AD⊥C1D，所以二面角C1-AD-B的平面角为∠CDC1＝45°，D正确．故选ACD．]6．(2025·潮州期末)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是()A．PB⊥ACB．PC⊥BCC．平面ABC⊥平面PACD．平面PBC⊥平面PACBCD[对于A，假设PB⊥AC，∵BC⊥AC，PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，∴AC⊥平面PBC，∵PC⊂平面PBC，∴AC⊥PC，∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥PA，在△PCA中，PA⊥AC，PC⊥AC，不能同时成立，故A错误；对于B，∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC，故B正确；对于C，∵PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，∴平面ABC⊥平面PAC，故C正确；对于D，由选项B可知BC⊥平面PAC，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC，故D正确．故选BCD．]三、填空题7．(人教A版必修第二册P152例4改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为______________．

13[连接A1C1，AC(图略)，由题意知∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝22，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝AA18．(2025·青岛期末)如图所示，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边三角形ADB以AB所在直线为轴旋转，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝______________．

2[如图，取AB的中点E，连接DE，CE，∵BC＝AC，∴CE⊥AB，又平面ADB⊥平面ABC，且平面ADB∩平面ABC＝AB，CE⊂平面ABC，∴CE⊥平面ADB，又DE⊂平面ADB，∴CE⊥DE，∵AB＝2，AC＝BC＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC，可得CE＝1，在等边三角形ADB中，由AB＝2，求得DE＝3，在Rt△DEC中，有DC＝DE2+E四、解答题9．(人教B版必修第四册P124习题11-4BT2改编)如图，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的任意一点，过点A作AE⊥PC，垂足为E．求证：AE⊥平面PBC．[证明]因为PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC．又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC．因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE．又PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC．10．(苏教版必修第二册P187习题13.2(3)T8改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，E，F分别是PB，CD的中点．(1)证明：EF∥平面PAD；(2)证明：EF⊥平面PAB；(3)若PB⊥平面AEF，求四棱锥E-ABCF的体积．[解](1)证明：如图，取AP的中点M，连接MD，ME．因为E，M，F分别是PB，PA，CD的中点，四边形ABCD是矩形，所以ME∥AB，ME＝12AB，且DF∥AB，DF＝12AB，所以ME∥DF，ME＝所以四边形EFDM为平行四边形，所以EF∥MD．又MD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．(2)证明：因为PD＝AD＝1，M为AP的中点，所以DM⊥AP，因为PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PD⊥AB，因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥AB，又PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又因为DM⊂平面PAD，所以AB⊥DM，又因为AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面ABP，所以DM⊥平面ABP，由(1)知EF∥MD，所以EF⊥平面PAB．(3)因为PD⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AB，PD⊥AD，又PD＝AD＝1，所以PA＝2，因为PB⊥平面AEF，AE⊂平面AEF，所以PB⊥AE，又E是PB的中点，所以AB＝PA＝2，CF＝22所以直角梯形ABCF的面积S＝12×22+因为点E到平面ABCF的距离d＝12PD＝1所以V四棱锥E-ABCF＝13阶段检测(十一)第53～54课时一、单项选择题1．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，则()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBCD[因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面BDC，所以AD⊥平面BDC．又AD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC．故选D．]2．(2026·六盘水模拟)已知a，l是直线，α是平面，且a⊂α，则“l⊥a”是“l⊥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[根据题意，分两步来判断：①由线面垂直的判定，当a⊂α，l⊥a时，不足以判断l⊥α，故由“l⊥a”推不出“l⊥α”；②a⊂α，若l⊥α，由线面垂直的定义可得，l⊥a，即“l⊥a”是“l⊥α”的必要条件，则“l⊥a”是“l⊥α”的必要不充分条件，故选B．]3．(2024·天津卷)若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m⊥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m⊥nD．若m∥α，n⊥α，则m与n相交C[对于A，B，若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，故A，B错误．对于C，D，若m∥α，n⊥α，则m⊥n，且m与n相交或异面，故D错误．故选C．]4．(2024·全国甲卷)设α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α∩β＝m．下列四个命题：①若m∥n，则n∥α或n∥β；②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β；③若n∥α且n∥β，则m∥n；④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n．其中所有真命题的编号是()A．①③ B．②④C．①②③ D．①③④A[对①，当n⊂α时，因为m∥n，m⊂β，则n∥β；当n⊂β时，因为m∥n，m⊂α，则n∥α；当n既不在α内也不在β内时，因为m∥n，m⊂α，m⊂β，则n∥α且n∥β，故①正确；对②，若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，故②错误；对③，过直线n分别作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t，因为n∥α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n∥s，同理可得n∥t，则s∥t，因为s⊄平面β，t⊂平面β，则s∥平面β，因为s⊂平面α，α∩β＝m，则s∥m，又因为n∥s，则m∥n，故③正确；对④，若α∩β＝m，n与α和β所成的角相等，如果n∥α，n∥β，则m∥n，故④错误．综上只有①③正确，故选A．]5．(2025·咸宁期末)如图，在三棱锥P-ABC中，点D，F分别为棱PB，AC上的点，且PD＝BD，AF＝12FC，E为线段BC上的点，若BE＝λBC，且满足AD∥平面PEF，则λ＝(A．12 B．C．14 D．A[如图，取BE的中点M，连接DM，AM，由PD＝BD，可得D为PB的中点，又因为M为BE的中点，可得MD∥PE，又因为MD⊄平面PEF，PE⊂平面PEF，可得MD∥平面PEF，又由于AD∥平面PEF，且AD∩MD＝D，AD，MD⊂平面ADM，可得平面PEF∥平面ADM，由AM⊂平面ADM，可得AM∥平面PEF，又由于AM⊂平面ABC，平面ABC∩平面PEF＝EF，可得AM∥EF，又因为AF＝12FC可得ME＝12EC，可得BE故λ＝12故选A．]6．(2024·北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝PB＝4，PC＝PD＝22，该棱锥的高为()A．1 B．2C．2 D．3D[由题意知△PAB为正三角形，因为PC2＋PD2＝CD2，所以PC⊥PD．如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE＝23，PF＝2，EF＝4，于是PE2＋PF2＝EF2，所以PE⊥PF．过点P作PG⊥EF，垂足为G．易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF⊂平面PEF，且EF∩PF＝F，所以CD⊥平面PEF．又PG⊂平面PEF，所以CD⊥PG．又PG⊥EF，CD，EF⊂平面ABCD，CD∩EF＝F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P-ABCD的高．由12PE·PF＝12EF·PG，得PG＝PE·PFEF二、多项选择题7．(2025·邯郸期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝AD＝1．给出下列四个结论正确的是()A．AC1⊥BD B．A1C⊥B1DC．A1D⊥平面ABD1 D．AB1⊥平面A1BDBC[由题意，底面ABCD是长方形，故AC⊥BD不成立，由于AC⊂平面ACC1，由线面垂直的性质可知BD与平面ACC1不垂直，因为CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD，若AC1⊥BD，由于CC1∩AC1＝C1，CC1，AC1⊂平面ACC1，所以AC1⊥BD不成立，故A错误；由于B1C＝BC2+B1B在长方体中，有B1C＝A1B1＝CD＝A1D，由于CD⊥平面A1D1DA，A1D⊂平面A1D1DA，所以CD⊥A1D，由于A1B1∥CD，所以四边形A1B1CD是正方形，所以A1C⊥B1D，故B正确；由于AB∥CD，所以AB⊥A1D，由于四边形A1D1DA是正方形，所以AD1⊥A1D，由于AB∩AD1＝A，且AB，AD1⊂平面ABD1，所以A1D⊥平面ABD1，故C正确；由于四边形A1B1BA是长方形，所以AB1⊥A1B不成立，由线面垂直的性质可知，AB1⊥平面A1BD不成立，故D错误．故选BC．]8．在