27　第三章　第26课时　导数与函数的最值

11/16第26课时导数与函数的最值[考试要求]1．理解函数最值与极值的关系．2．会求闭区间上函数的最大值、最小值．3．了解最值在现实生活中的应用．知识点1函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．知识点2求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[常用结论]1．若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则其极值点为函数的最值点．2．若函数在闭区间[a，b]上的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点．1．(湘教版选择性必修第二册P49复习题一T7改编)已知f(x)＝x3－12x＋1，x∈-13，1，则f(x)的最大值为______________13427－10[f'(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)因为x∈-13，1，所以f'(x)<0，故f(x)在-13，1上单调递减，所以f(x)的最大值为f-12．(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T14)用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5m，那么高为______________m时，容器的容积最大，最大容积为______________m3．

1.21.8[设该容器底面矩形短边的长为xm，则另一边的长为(x＋0.5)m，此容器的高为y＝14.84－x－(x＋0.5)＝3.2－2x，则此容器的容积为V(x)＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，其中0<x<1.6．令V'(x)＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，得x1＝1，x2＝－415(舍去)．因为V(x)在(0，1.6)内只有一个极值点，当x∈(0，1)时，V'(x)>0，函数V(x)单调递增；当x∈(1，1.6)时，V'(x)<0，函数V(x)单调递减，所以V(x)max＝V(1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8(m3)，即当高为1.2m时，长方体容器的容积最大，且最大容积为1.8m33．(用结论)函数f(x)＝xlnx在1e，e22e2[由题意得，f'(x)＝lnx＋1，令f'(x)＝0，解得x＝1e，所以当1e<x≤e2时，f'(x)>0，f(x)在1e，e2上单调递增，故f(x)在1e，e2上的最大值为f(e2考点一求已知函数的最值不含参数的函数的最值[典例1](人教A版选择性必修第二册P93例6改编)求函数f(x)＝x3－x2－x＋1在区间-12[解]因为f(x)＝x3－x2－x＋1，所以f'(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，令f'(x)＝0，即(3x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－13或x＝1列表如下：x-1－1-11(1，2]f'(x)＋0－0＋f(x)单调递增单调递减单调递增当x∈-12，-13时，f'(x)>0当x∈-13，1时，f'(x)<0，f当x∈(1，2]时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的极大值为f-13＝3227，f(x)的极小值为f又f-12＝98，f所以函数y＝f(x)在区间-12，2上的最大值为通性通法：求函数f(x)在[a，b]上的最值时：(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]上有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．【教用·备选题】(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为()A．－π2，π2 B．－3πC．－π2，π2＋2 D．－3π2，D[f'(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)cosx＝(x＋1)cosx，令f'(x)＝0，解得x＝π2，x＝3π2或x＝－1(舍去)，所以在区间0，π2和3π2，2π内f'(x)>0，f(x)单调递增；在区间π2，3π2又f(0)＝f(2π)＝2，fπ2＝f3π2＝－3π2+1＋所以f(x)在区间[0，2π]上的最小值为－3π2，最大值为π2＋2含参函数的最值[典例2]求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[0，＋∞)上的最小值．[解]f'(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，令f'(x)＝0，得x1＝－a3，x2＝a①当a>0时，3x＋a>0，令f'(x)>0，则x>a，令f'(x)<0，则0≤x<a，所以f(x)在[0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．所以f(x)min＝f(a)＝－a3；②当a＝0时，f'(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0；③当a<0时，x－a>0，令f'(x)>0，则x>－a3，令f'(x)<0，则0≤x<－a3，所以f(x)在所以f(x)min＝f-a3综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3；当a＝0时，f(x)的最小值为0；当a<0时，f(x)的最小值为527a3[母题探究](综合变式)当a>0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值．[解]f'(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，令f'(x)＝0，得x1＝－a3，x2＝a所以f(x)在-a在-a3，a内单调递减，在(a，2因为f(－a)＝－a3，f-a3＝f(a)＝－a3，f(2a)＝2a3．所以f(x)max＝f(2a)＝2a3，f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3．通性通法：求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．【教用·备选题】(2026·抚州模拟节选)已知函数f(x)＝alnx－2x－a2x(a≠0)．求f(x)在区间(0，1][解]由题意，得f'(x)＝ax－2＋a2x2＝－2x2-若a≥1，当x∈(0，1]时，f'(x)≥0，f(x)在区间(0，1]上单调递增，此时f(x)的最大值为f(1)＝－2－a2；若0<a<1，当x∈(0，a)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(a，1]时，f'(x)<0，f(x)单调递减，此时f(x)的最大值为f(a)＝alna－3a；若－2<a<0，则0<－a2<1，当x∈0，-a2时，f'(x)>0，当x∈-a2，1时，f'(x)<0，f此时f(x)的最大值为f-a2＝aln-a若a≤－2，则－a2≥1，当x∈(0，1]时，f'(x)≥0，f(x)在区间(0，1]此时f(x)的最大值为f(1)＝－2－a2．综上，f(x)max＝-2-考点二由函数的最值求参数(范围)[典例3](2025·莆田期中)已知函数f(x)＝ax2x-1(x>1)有最大值－8，则实数aA．－2 B．－4C．－8 D．－12A[f'(x)＝2ax(x-1)-ax2(x-1当a＝0时，不符合题意；当a>0时，若x∈(1，2)，则f'(x)<0，此时函数f(x)在(1，2)内单调递减，若x∈(2，＋∞)，则f'(x)>0，此时函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，此时f(x)无最大值，不符合题意；当a<0时，若x∈(1，2)，则f'(x)>0，此时函数f(x)在(1，2)内单调递增，若x∈(2，＋∞)，则f'(x)<0，此时函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在x＝2处取得极大值，也是最大值，即f(2)＝4a＝－8，解得a＝－2，符合题意．综上可知，a＝－2．故选A．]通性通法：已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．[多维变迁](2025·湘豫名校联考)已知函数f(x)＝x3－3x2＋3在区间(a，a＋6)内存在最小值，则实数a的取值范围为()A．[－1，2) B．-C．-2，32 D．[－1A[由题意得f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当f'(x)>0时，得x<0或x>2，当f'(x)<0时，得0<x<2，故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，即x＝2时，函数f(x)取得极小值f(2)＝－1，画出f(x)的图象如图．当x3－3x2＋3＝－1时，(x＋1)(x－2)2＝0，解得x＝－1或x＝2，故要使函数f(x)＝x3－3x2＋3在区间(a，a＋6)内存在最小值，需有a+6>2，-1≤a<2，解得即实数a的取值范围为[－1，2)．故选A．]考点三生活中的优化问题[典例4](2025·日照月考)某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植x万千克莲藕的销售额(单位：万元)是f(x)＝－16x3＋54x2＋x，则要使利润最大，每年需种植莲藕______________万千克5[由题意，利润g(x)＝f(x)－2－x，且0≤x≤10，所以g(x)＝－16x3＋54x2－则g'(x)＝－12x2＋52x＝x2(5－当0≤x<5时，g'(x)≥0，即g(x)在[0，5)上单调递增；当5<x≤10时，g'(x)<0，即g(x)在(5，10]上单调递减，所以当x＝5时，利润最大．]通性通法：解决最优化问题，应从以下几个方面入手：(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域；(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．[多维变迁](2025·吉安月考)已知某厂生产某种产品x件的总成本C(x)＝1200＋127x2(单位：万元)，产品单价的平方与产品件数x成反比．若生产100件这样的产品，单价为50万元，则产量定为______________件时总利润最大．225[设产品单价为m万元，则m2＝kx(其中k为非零常数)所以502＝k100，故k＝250000记生产x件产品时，总利润为f(x)，则f(x)＝mx－C(x)＝500x－1200－127x2，x>0，f'(x)＝250x由f'(x)>0，得0<x<225；由f'(x)<0，得x>225．故函数f(x)在(0，225)内单调递增，在(225，＋∞)上单调递减．因此，当x＝225时，f(x)取最大值，即产量定为225件时，总利润最大．]【教用·微点突破】与三次函数有关的问题三次函数是一类重要的函数，其规律性强，内容相对独立，且有一些独有的结论和技巧．常用结论如下：结论1：三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象关于点-b3结论2：已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)中心对称点的横坐标为x0，两个极值点分别为x1，x2，则f＝23f'(x0)＝－a2(x1－x2)结论3：三次函数的零点：(1)若三次函数f(x)没有极值点，则f(x)有1个零点．(2)若三次函数f(x)有2个极值点x1，x2，则f(x1)f(x2)>0时f(x)有1个零点；f(x1)f(x2)＝0时f(x)有2个零点；f(x1)f(x2)<0时f(x)有3个零点．[典例](多选)(2026·昆明模拟)已知f(x)＝x3－3x2＋1，则()A．x＝2是f(x)的极大值点B．f(x)有且仅有三个零点C．当且仅当x<－1时有f(x)<－3D．点(1，－1)是曲线y＝f(x)的对称中心BCD[对于A，因为f(x)＝x3－3x2＋1的定义域为R，所以f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，所以在(－∞，0)上f'(x)>0，f(x)单调递增，在(0，2)内f'(x)<0，f(x)单调递减，在(2，＋∞)上f'(x)>0，f(x)单调递增，所以x＝2是函数f(x)的极小值点，故A错误；对于B，由上可得f(x)极大值＝f(0)＝1，f(x)极小值＝f(2)＝－3，所以函数f(x)有且仅有三个零点，故B正确；对于C，由上可知f(x)的单调性和极值，当x<－1时，f(x)单调递增，又f(－1)＝－3，所以当x<－1时，f(x)<－3，当x≥－1时，f(x)≥f(2)＝－3，所以当且仅当x<－1时，f(x)<－3，故C正确；对于D，f(1＋x)＋f(1－x)＝(1＋x)3－3(1＋x)2＋1＋(1－x)3－3(1－x)2＋1＝－2，所以点(1，－1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故D正确．故选BCD．]1．(链接考向1)(2025·乌鲁木齐天山区期中)函数f(x)＝xex的最小值为()A．1e B．C．－1e D．eC[根据函数f(x)＝xex，得f'(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f'(x)＝0，解得x＝－1，因此当x∈(－1，＋∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－∞，－1)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，所以当x＝－1时，函数f(x)有最小值，即f(－1)＝－1·e-1＝－1e故选C．]2．(链接考点二)(2025·天津期中)若函数f(x)＝13x3＋x2在区间(a－1，a＋5)内存在最小值，则实数a的取值范围是(A．[－5，1) B．(－5，1)C．[－2，1) D．(－2，1)C[由f'(x)＝x2＋2x，令f'(x)＝0，可得x＝－2或x＝0，由f'(x)>0得x<－2或x>0，由f'(x)<0得－2<x<0，所以函数f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)内单调递减，所以函数f(x)在x＝0处取得极小值f(0)＝0，令f(x)＝13x3＋x2＝0，解得x＝0或x＝－3若函数f(x)在(a－1，a＋5)内存在最小值，则－3≤a－1<0<a＋5，解得－2≤a<1，即实数a的取值范围是[－2，1)．故选C．]3．(链接考向2)(多选)(2025·鹤壁二模)已知函数g(x)＝ax＋lnx，x∈(0，e]，则(A．当a≤0时，g(x)有最大值B．当0<a<e时，g(x)可以取得最小值－1C．当0<a<e时，g(x)可以取得最小值2D．当a≥e时，g(x)可以取得最小值3ABD[g'(x)＝－ax对于选项A，当a≤0时，g(x)在(0，e]上单调递增，此时g(x)有最大值，故A选项正确．对于选项B，C，当0<a<e时，若0<x<a，则g'(x)<0，故g(x)在(0，a)内单调递减；若a<x≤e，则g'(x)>0，故g(x)在(a，e]上单调递增．令g(x)min＝g(a)＝aa＋lna＝－1，得a＝1令g(x)min＝g(a)＝aa＋lna＝2，得a＝e，不满足条件，故B选项正确，C选项错误对于选项D，当a≥e时，若0<x≤e，则g'(x)≤0，所以g(x)在(0，e]上单调递减，令g(x)min＝g(e)＝ae＋lne＝3，得a＝2e，所以此时g(x)有最小值3，故D选项正确故选ABD．]4．(链接考点三)(2026·榆林模拟)滑县木版画是河南安阳传统的手工艺品，创始于明朝初期，距今已有六百多年的历史，滑县木版画制作工艺考究，至今一直都是纯手工制作，颜色精细淡雅，色彩和谐，人物造型夸张，线条刚劲有力，极具当地的民俗特色．张华的伯伯制作滑县木版画并出售，寒假期间张华通过调研得知伯伯制作的A系列木版画的成本为30元/套，每月的销售量f(x)(单位：套)与销售价格x(单位：元/套)近似满足关系式f(x)＝(x－90)2，其中30<x<90，则当A系列木版画销售价格定为__________元/套时，月利润最大．

50[设A系列木版画的月利润为g(x)，则g(x)＝f(x)(x－30)＝(x－90)2(x－30)，30<x<90，可得g'(x)＝2(x－90)(x－30)＋(x－90)2＝3(x－90)(x－50)，令g'(x)＝0，则x＝50，当x∈(30，50)时，g'(x)>0，当x∈(50，90)时，g'(x)<0，故g(x)在(30，50)内单调递增，在(50，90)内单调递减，所以当x＝50时，利润g(x)取到极大值，也是最大值，即当A系列木版画销售价格定为50元/套时，月利润最大．]课时作业(二十六)导数与函数的最值一、单项选择题1．(2025·开封期中)已知函数f(x)＝(x＋2)ex，x∈[－5，5]，则f(x)的最小值为()A．－3e-3 B．－3e-5C．7e5 D．－e-3D[由f(x)＝(x＋2)ex，得f'(x)＝ex＋(x＋2)ex＝(x＋3)ex．当x∈[－5，－3)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(－3，5]时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以函数f(x)在x＝－3处取得极小值，也是最小值．f(－3)＝(－3＋2)e-3＝－e-3，即f(x)的最小值为－e-3，故选D．]2．(2026·济宁模拟)已知x>0，y>0，且xy＋2y2－36＝0，则xy2的最大值为()A．12 B．66C．36 D．246D[因为x>0，y>0，且xy＋2y2－36＝0，所以x＝36-2y2y>0，即0<y<则xy2＝(36－2y2)y，令g(y)＝(36－2y2)y＝36y－2y3，0<y<32，则g'(y)＝36－6y2＝6(6－y)(6＋y)，当0<y<6时，g'(y)>0，g(y)单调递增，当6<y<32时，g'(y)<0，g(y)单调递减，故y＝6时，g(y)取得最大值246．故选D．]3．函数f(x)＝x2＋(a－1)x－3lnx在(1，2)内有最小值，则实数a的取值范围为()A．-32，2C．-43，2A[f'(x)＝2x＋(a－1)－3x设g(x)＝2x2＋(a－1)x－3，因为Δ＝(a－1)2＋24>0，因此g(x)＝0有两个不同的实数根，又g(0)＝－3<0，因此g(x)＝0的两根一正一负，由题意可知正根在(1，2)内，所以g解得－32<a<2故选A．]4．已知函数f(x)＝mlnx＋1x的最小值为－m，则实数m＝(A．1e2 BC．e D．e2D[∵函数f(x)＝mlnx＋1x的定义域为(0，＋∞)∴f'(x)＝mx当m≤0时，f'(x)<0，∴f(x)单调递减，无最值，舍去；当m>0时，令f'(x)>0，得x>1m，∴f(x)令f'(x)<0，得0<x<1m，f(x)∴f(x)min＝f1m＝mln1m＋m∴m＝e2>0成立，故选D．]二、多项选择题5．(2026·重庆模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1．则下列结论正确的有()A．a＝2B．b＝－2C．f(x)在[－3，1]上的最大值为13D．f(x)在[－3，1]上的最小值为4AC[根据题意可知，点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，因此f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，所以a＋b＝－2，又根据函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，得导函数f'(x)＝3x2＋2ax＋b，而根据切线y＝3x＋1的斜率可知，f'(1)＝3，所以3＋2a＋b＝3，所以2a＋b＝0，根据a+b＝-2，根据函数f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，可得f'(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f'(x)＝0，得x＝23或x＝－2当x变化时，函数f(x)，导函数f'(x)的变化情况如表，x－3(－3，－2)－2-22231f'(x)＋0－0＋f(x)8↗极大值↘极小值↗4所以f(x)的极大值为f(－2)＝13，又f(1)＝4，所以f(x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值不为4，故C正确，D错误．故选AC．]6．(2026·邢台模拟)已知函数f(x)＝x2＋alnx，则下列结论正确的是()A．当a＝12时，曲线y＝f(x)的切线斜率的最小值为B．当a＝12时，f(x)C．当a＝－12时，f(x)有两个零点D．当a＝－12时，f(x)AD[f(x)＝x2＋alnx的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝2x＋ax当a＝12时，f'(x)＝2x＋12x≥22当且仅当2x＝12x(x>0)，即当x＝因此当a＝12时，曲线y＝f(x)的切线斜率的最小值为2，所以选项A当a＝12时，f'(x)＝2x＋12x>0对任意的x因此当a＝12时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，那么函数f(x)无最大值，所以选项B当a＝－12时，函数f(x)＝x2－12lnx，f'(x)＝2x－由f'(x)<0，可得0<x<12，由f'(x)>0，可得x>1所以此时f(x)的单调递增区间为12则f(x)min＝f12＝14－12ln12＝14＋1所以当a＝－12时，函数f(x)有最小值，且最小值大于0，函数f(x)无零点，C错误，D正确故选AD．]三、填空题7．(2026·临沂模拟)已知函数f(x)＝x2－4x＋(x－2)cosx－sinx在x＝a处取得最小值m，则m＋a＝______________．

－2－sin2[函数f(x)＝x2－4x＋(x－2)cosx－sinx，可得f'(x)＝(x－