福建省2026届高三1月六市联考数学试题（含答案）

福建省2026届高三1月六市联考数学试题及答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.若等比数列满足，，则（）A.B.C.D.3.已知向量均为单位向量，若，则与的夹角为（）A.B.C.D.4.若复数满足，则的虚部为（）A.B.C.D.5.将一个表面积为的铁球溶化后重新浇筑成两个小球（熔化的铁水无损耗，无残留），则这两个小球的表面积之和可能是（）A.B.C.D.6.已知随机变量满足，若，且，则（）A.B.C.D.7.若函数是偶函数，则（）A.B.C.D.8.设椭圆的中心为，右顶点为，若上存在一点满足，则的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组样本数据为80,81,83,85,86,89，则（）A.若剔除80，则样本的极差变小B.若剔除80，则样本的平均数变小C.若剔除83，则样本的中位数变大D.若剔除89，则样本的方差变小10.如图，某石凳可以看作是正四棱柱截去一个三棱锥得到的几何体，已知，，，则（）A.该几何体的体积为11B.直线与所成的角为45°C.D.点到平面的距离是点到平面的距离的2倍11.已知函数，则（）..为的极小值点.的值域为.若存在，使得，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若双曲线的两条渐近线互相垂直，则.13.已知，，则.14.已知数列满足：，，，则；记数列的前项和为，若，则正整数的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）为调研某地民众对于“未来低空出行”的了解情况，用简单随机抽样的方法，从该地调查了300为市民，统计得到如下列联表：（1）根据小概率值的独立性检验，分析对“未来低空出行”了解情况是否与性别有关；（2）在不了解“未来低空出现”的100位市民中，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人去智能飞行器中心实地参观，设为女性市民的人数，求的分布列与期望.附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.82816.（15分）记的内角所对边分别为，已知.（1）求；（2）若在边上，且，，，求.17.（15分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，，，.（1）当时，证明：平面；（2）已知平面平面，,，平面与平面夹角的余弦值为，求的面积.18.（17分）设函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）证明：存在唯一极大值点；（3）记的极大值点为，若存在，使得，求的取值范围.19.（17分）已知抛物线，,，为常数，.按照如下方式一次构造点：过作斜率为的直线交于，两点.使得，令为线段的垂直平分线与轴的交点，记的坐标为.（1）求；（2）证明：；（3）设为的面积，证明：.答案解析一、选择题1.A解析：，，∴.2.D解析：，∴，∵，∴.3.C解析：依题意，，解得，∴与的夹角为.4.B解析：设，则，，解得，.5.C解析：设大铁球的半径为，两个小铁球的半径分别为，∴，即，即，则，，∴，∴，即，∴这两个球的表面积之和满足，∴选项错误；取，这两个球的表面积之和，取，则这两个球的表面积之和为，∴存在，故C正确.6.B解析：依题意，，∴.7.D解析：依题意，项的系数为0，∴，解得.8.B解析：以为直径的圆与椭圆有三个公共点，由可得，，解得或，∴，即，∴的离心率.二、多项选择题9.ACD解析：对于A，原先的极差为9，删去80后极差变为8，故A正确；对于B，原先的平均数为84，删去80后平均数为84.8，故B错误；对于C，原先的中位数为84，删去83后中位数为85，故C正确；对于D，原先的均值，方差，删去89后，均值变为83，方差为，方差变小，故D正确.10.BD解析：对于A，截取三棱锥的体积为，该几何体的体积为，故A错误；对于B，延长交于点，∵，，故，直线与所成角为45°，故B正确；对于C，过且垂直于的平面为平面，平面，故C错误；对于D，∵，∴与到平面距离相等.同理，点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，故D正确.11.ACD解析：，故A正确；，则在区间上的单调性如下：在，，单调递增，在，，单调递减，∴为的极大值点，故B错误；∵,，∴的最大值为1，∵，，∴的最小值为，故C正确；由上可知，只需，即，∴的最小值为，故D正确.三、填空题12.解析：易知为等轴双曲线，∴，解得.13.解析：由，得，∴，即，则有，且，，∴，解得，∴.14.；解析：依题意可得，即是以为首项，2为公差的等差数列，∴；∵，则，∴，下证：，∵，则有，∴，当时，，则有，∵，则，则有，∴，∴，∵，则，则有，∴，∴，综上，，∴，∴.四、解答题15.解：（1）零假设为：对“未来低空出行”了解情况与性别无关联，，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为对“未来低空出行”了解情况与性别无关联.（2）由题可知，不了解“未来低空出行”的100位市民中男女比例为2:3，∴从市民中抽取的5人中，2位男性，3位女性.现在从中随机抽取3人免责女性的人数可能为1,2,3，则；；，∴的分布列为：∴的期望为.16.解：（1）由余弦定理得，化简得，∴，∴.（2）依题意，，且，，∴，解得或，又为锐角，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，由正弦定理可得，，∴.17.解：（1）过作交于，当时，，∴.∵，∴，从而,故四边形是平行四边形，，∵平面，平面，∴平面.（2）由已知得，∵，∴，∵平面平面，在平面上过作的垂线，则平面，以为原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，设平面的法向量为，则，令，得.设平面的法向量为，则，令，得.则，解得（舍），，因此，，∴点到的距离，∴的面积为.18.解：（1）当时，，则，∴，，∴曲线在点处的切线方程为：.（2）的定义域为，，设，则，∴在上单调递减，又，，∴存在唯一的使得，当时，；当时，，∴在单调递增，在单调递减，∴存在唯一极大值点.（3）由（2）可得，且，令，则，即，∴，令，依题意，存在，使得，即，，令，解得或，令，解得，∴在，上单调递增，在上单调递减，当时，，又，则，此时，.∴的取