数学文化创新题型(高三数学高考中的数学文化)

2020年4月22日高中数学作业

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和

澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速lOOAm/m

现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画出频率分布直方图（如图），

根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90）的车辆数和行驶速度超过

90km/h的频率分别为（）

A.300，0.25B,300，0.35C.60,0.25D.60,0.35

【答案】B

【解析】

【分析】

由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90）的频率即可得到车辆

数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90h〃//z的频率.

【详解】

由频率分布直方图得：

在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90）的频率为0.06x5=0.3,

・•・在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90）的车辆数为：0.3x1000=300,

行驶速度超过90粒//?的频率为：（0.05+0.02）x5=0.35.

故选:B.

【点睛】

本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

2.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠

算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问

题都是以歌诀形式呈现的•“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不

知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公

年龄最小的儿子年龄为（）

A.8岁B.11岁C.20岁D.35岁

【答案】B

【解析】

【分析】

九个儿子的年龄成等差数列，公差为3.

【详解】

由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3.记最小的儿子年龄为%,则59=9%+

羊X3=207,解得2=11.

故选B.

【点睛】

本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解.

3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都

是直角三角形的四面体称之为鳖麝，在鳖腐A■月CO中,平面且有

AB=BD=lfCD=2f若该鳖膈的顶点都在一个球面上，则该球的体积为（）

O/7

A.不B.疯■C.8向D.24〃

3

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意易得鳖膈外接一个长方体，旦外接球与长方体外接球为同一个球，根据长方体体对

角线等于外接球直径，利用公式计算即可.

【详解】

易得鳖膈外接一个长方体，且外接球与长方体外接球为同一个球，故画出如图所示鳖蠕.

试卷第2页，总20页

A

设长方体体对角线即外接球直径为。则。2=『+12+22=6,

故外接球体积V

故选：B

【点睛】

本题主要考查J'长方体中三棱锥的外接球问题,注意体对角线等于外接球直径即可.属于

基础题型.

4.《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直

于底面的四棱锥称为“阳马%若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰

长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为（）

A.1+72

B.1+272

C.2+V2

D.2+2夜

【答案】C

【解析】

【分析】

由三视图知该几何体是测棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积。

【详解】

由三视图知该几何体是恻棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；

正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，

••・四棱锥的底面是正方形，且边长为1,

其中一条侧棱夕£>_1_底面43c。，且侧棱AO=1，

••・四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且PA=PC=6，

••・四棱锥的表面积为

S=S底面八88+2S.4-2S.SAB=l+2x—xlxl+2x—xlx>/2=2+>/2

22

故选C

【点睛】

本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题.

5.《九章算术》中记载了一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示（单位：寸）,

则该几何体的容积为（）立方寸.（7B3.14）

'h--------；-----5.4----------qinh-------c-15-----l---H

:哎.&:

A.12.656B.13.667C.11.414D.14.354

【答案】A

【解析】

试卷第4页，总20页

由三视图可得，该几何体是一个圆柱和一个长方体组成的几何体，该几何体

（IV

的体积为：v=;rxMxl.6+（5.4-1.6）x3xl=12.656.

6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如

图所示，则它的表面积为（）

A.2B.4+2夜C.4+4A/2D.6+4加

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，n三视图求出几何元素的长度，由

面积公式求出几何体的表面积.

【详解】

根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角

边分别是夜,斜边是2,且侧棱与底面垂直，侧棱长是2,

，几何体的表面积5=2乂2+2><2乂&+工2乂血）<啦=6+4五

2

故选D.

【点睛】

本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间

想象能力.

7.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵%已知某“堑堵”的三

视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（）

A.3B.V2C.y/3D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

先将三视图还原成直观图，然后利用体积公式计算即可.

【详解】

由三视图可知该几何体为底面是腰为后的等腰直角三角形，高为2的直三棱柱，如图:

故体积为旷=,、夜x夜x2=2.

2

故选：D.

【点睛】

本题考杳由几何体的三视图求体积的问题，解题关键是正确将三视图还原成直观图，属

于常考题.

8.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要文献.

现拟把这4部著作分给甲、乙、丙3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到《周髀算

经》的分配方法共有（）

A.18种B.24种C.30种D.36种

【答案】B

【解析】

试卷第6页，总20页

分析：先不考虑限制条件，则共有种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况:

甲分到一本（只有《周髀算经》），甲分到2本（包括《周髀算经》），减去即可.

详解.：先不考虑限制条件，则共有用=36种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种

情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），此时共有用=6种方法；

甲分到2本（包括《周髀算经》），此时共有&=6种方法，

则分配方法共有36-6-6-24种.

点睛：本题考查了分组分配的问题，关键在于除去不符合条件的情况，属于基础题

9.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如《周髀算经》和《易经》

里对二十四节气的唇值叫影长的记录中，冬至和夏至的暑影长是实测得到的，其他节气

的唇影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气署影

44

长的记录，其中115.1^寸表示115寸1乙分（1寸=1。分）.已知《易经》中记录的冬

66

至唇影长为130.0寸，夏至唇影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的唇影长应

为（）

节气小寒大寒立春雨水惊短春分

冬至

（大雪）（小雪）（立冬）（箱降）（寒露）（秋分）

疑影上

135115.1285.4275.5

125士105.2-95.3-

（寸）66666

节气清明谷雨立夏小满芒种

夏至

（白露）（处暑）（立秋）（大暑）（小号）

愚影长25.9i16.0

66.5-55.6-45.7-35.8-

《寸）66666

A.72.4寸B.81.4寸C.82.0寸D.91.6寸

【答案】C

【解析】

设替影长为等差数列｛a,｝，公差为d,a,=\30.0,阳=14.8,则130.0+124=14.8,

解得〃=—9.6,•••4=130.0-9.6x5=82.0,.•・《易经》中所记录的惊蛰的密影长是

82.（）寸，故选C.

10.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊望、

春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、

立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺,前九个节气日影长度之和为85.5尺，

则谷雨这一天的日影长度（）

A.5.5RB.4.5尺C.3・5尺D.2.5R

【答案】A

【解析】

【分析】

先设等差数列{q},首项为%，公差为"，根据题意有％+/+%=3%+94=31.5,

Sg=9dj+36J=85.5,然后由两式求解.

【详解】

设等差数列{q},首项为4,公差为d,

根据题意得

4+处+%=34+9d=31.5,

Sg=9q+36"=85.5,

解得q=13.5,d=-1,

所以为=q+8d=5.5.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本运算，还考杳了运算求解的能力，属于基础题.

11.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示

意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区

域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）种

【答案】D

【解析】

由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，

则共有5x4x3x1x3+5x4x3x2x2=180+240=420

试卷第8页，总20页

故选。

12.如图，是三世纪汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图.它也被2002年在北京

召开的国际数学家大会选定为会徽.正方形A8CO内有四个全等的直角三角形.在正方

形内随机取一点，则此点取自中间小正方形（阴影部分）的概率是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题干可设小方格的边长为1,进而得到三角形的边长和正方形的边长，再根据几何

概型的面积公式得到结果.

【详解】

根据条件可设小方格的也长为1,则三角形的边长为3和4,由勾股定理得到正方形的

边长为5,最中间的小正方形的边长为1,面枳为1,故根据几何概型中的面枳型的公

式得到概率为

»大正方形23

故答案为：B.

【点睛】

本题考查了几何概型概率的求法：在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测

度”可以是长度、面积、体枳、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等

可能性主要体现在点落在区域。上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的

顶点的一条射线落在C的区域（事实也是角）任一位置是等可能的.

二、填空题

13.“方锥”，在《九章算术》卷商功中解释为正四棱锥.现有“方锥”-A6CD,其中

44=4,SA与平面ABCD所成角的正切值为士工，则此“方锥”的外接球表面积为

4

2891

【答案】

丁

【解析】

【分析】

如图所示，连接AC,BD相交于0,连接S。，计算得到S0=3,在Rt^O'OA中，利

用勾股定理计算半径R=U,代入球的表面积公式得到答案.

6

【详解】

如图所示：连接4C，8。相交于。，连接S。，故SOI■平面A8C。

则lan/SAO二反二还，解得5。=3

A04

易知四棱锥S-A48的外接球球心0在直线SO上

17

设外接球半径为R,则在RhO'OA中，（3-Rf+（2夜）2=火，解得宠二"

6

故所求外接球表面积S=4"代=44x丝=生也.

369

2891

故答案为:

9

【点睛】

本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

14.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈.如图，在鳖膈

P—A3C中，PA_L平面ABC,A8_L3C,且AP=AC=1,过点A分别作AE_LP8

于点£,A产_LPC于点尸，连结所，当AM厂的面积最大时，tanN8PC=

试卷第10页，总20页

p

【答案】@

2

【解析】

【分析】

利用Q4_L平面ABC,根据线面垂直的性质定理可得力_LAC,结合己知，利用线面

垂直的判定定理可以证明出AC_L平面进而可以证明出AC_L4石，再结合已知，

利用线面垂宜的判定定理可以证明AE_L平面尸8C,因此可以证明出AE_LPC,最

后利用线面垂直定理证明出PC_L平面4E/，因此得到AE_L斤，PC1AF,且尸

为PC中点.

解法1：

设=x,8C=y,利用三角形面积公式可以求出4万的长，在利用"FEs"BC,

求出川的长，最后求出A4EF的面积表达式，利用换元法和配方法求出AA£户面积

平方的最大值，最后求出tanN8PC的值；

解法2：

设N8PC=e，求出即、BC、PB、的大小，再求出AE的大小，最后求出

5.研表达式，利用同角三角函数的关系中商关系和基本不等式求出最大值，根据等号

成立的条件求出tanNBPC的值.

【详解】

因为尸A_L平面ABC,所以B4J_8C,又A3J_8C,

所以8C_L平面Q4B,所以8C_LAE,又PB1.AE，

所以AE_L平面P3C,所以AE_LPC,又A^_LPC,

所以PC_L平面AE尸，综上AE_LM,PC.LAF,且尸为PC中点.

解法1：

X

设=BC=y,则/+y2=[,又AP=AC=1,则AE=/：,

Vx-+1

，所以治"•二g，E尸,AE二M，

又，可得产二

"FEs&PBCE2阳

X」）

所以b二令f+1=/,

8(/2+1)"86+])“

(7-1)(2-/)-/+3/—2123।1131

则S2=-r+一一1

8/8产84U464

IQI9।

所以当；=1时即/=丁=(SA4FF)_=-,此时

，4JJO

BC

tanABPC=—

PB甘冬故吟

解法2.

FFEF

tant^=—=-^,所以EE=^tan。.

设N8PC'=e，则PFV2

2

2

又BC=6sme，PB=6CGSB，所以48=亚嬴万二i，所以

PAABJ2cos2夕一1

AE=

PBV2cos^

2八2cos20-\

所以$以口=-EF/4E=--tan6>—=-tan-0--------------

由222夜cos。4cos20

cos2^2-sin201/Itan2<9+1-tan2\_

21-tan2夕)

]婀"COS26>442~8

当且仅当tan2^=1-tan26即tan0=亚时,取等号.

2

故答案为：叵

2

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的综合应用，考查了基本不等式的应用，考

查了配方法的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.

15.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳌膈”.如图，平面四边形

ABCD中,AB=CD=\t8。=J5,8。_L将其沿对角线7?力折成一个整瞬

A!-BCDt则该鳌腐内切球的半径为

试卷第12页，总20页

■出etaF—1

【答案】-——

2

【解析】

【分析】

结合几何体的内切球的特点，把几何体分割为四个小几何体，小几何体的体积之和等于

大儿何体的体积.

【详解】

因A'O=CD=1,且AA'C。为直角三角形，所以C£>_L4O,又

CDA.BD,BDcA，D=D,所以COJL平面430,所以CO_LA'3.

又由A'8=4'。=1,8。=血得43_14'。所以43_1平面4'8,所以

A'BIA'C,易得A'C=6,设内切球的半径为小则

§(5.八"c+SA，。。+5.48力+Ssc。)r=5八/吐

即14+9941”京J,解得一药.

3(2222)322

【点睛】

本题主要考查数学文化,空间几何体与球的相切问题，考查空间想象能力.

16.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执

行该程序框图，若输入的a,b分别为98、63,则输出的。=.

【答案】7

【解析】

【分析】

模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即

可得到输出。的值.

【详解】

由程序框图可知：。=98>63=人，

a<-35=98—63,。—28=63-35,

7=35-28,/?<-21=28-7,

a—14=21—71—7=21-14,

〃―7=14—7,则。=〃=7,因此输出的。为7,故答案为7.

【点睛】

本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意

以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是

循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时

一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结

果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

17.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术%

执行该程序框图，若输入分别为14,18,则输出的。等于.

【答案】2

试卷第14页，总20页

【解析】

由0=14,b=18,a<b,

则。变为18-14=4,

由a>b,贝ija变为14-4=10,

由a>b,则。变为10-4=6,

由公功，则。变为6-4=2,

由则〃变为4-2=2,

由a=b=2,

则输出的4=2.

18.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒

43co中，A3,平面8c。，且A3=8D=CD=1,则此鳖儒的外接球的表面积为

【答案】3冗

【解析】

【分析】

利用四个面都是直角三角形，48_1_平面8。。，且AB=BD=CD=1,将三棱锥补

成以4伐AQ,C。为棱的正方体，则此鳖儒的外接球即为边长为1的正方体的外接球,

即可求解.

【详解】

根据题意，将鳖儒A3CO补成以AB,BD,CD为棱的正方体，

边长为1的正方体的外接球半径为其表面积为37r.

2

故答案为：34

【点睛】

本题考杳三楂锥外接球的表面积，运用割补法转化为特殊图形的外接球的表面积，属于

基础题.

19.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对

二十四节气的唇影长的记录中，冬至和夏至的辱影长是实测得到的，其他节气的唇影长

则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气号影长的记录，

44

其中115.1—寸表示115寸分（1寸=10分）.

66

小的大大大（小立葡立雨水（霜惊更累吞分（秋

节气冬至

雪）雪）冬i露：分）

昙匐长521

135125.T115.1：105.2295.3785.4775.5

（寸）OOO66

清明旧谷雨（处立夏（立小满（大芒种（小

节气夏至

露）»秋）1）署）

县黑长445.7125.9；

SS.635.82160

（寸）65.5T0Z0000

已知《易经》中记录的冬至唇影长为130.0寸，夏至暑影长为14.8寸，那么《易经》中

所记录的惊蛰的曷影长成为寸.

【答案】82

【解析】

设《易经》中二十四节气号影长为等差数列｛小｝,公差为&〃尸130,03=14.8,

148-130

则"一—=-9.6,所以惊蛰悬影长为。6=m+5d=82.

13-1

20.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示

意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区

域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为.

【答案】420

【解析】

【分析】

分成1,2,3号区间用2种颜色和3种颜色两种情况，分别计算涂色方案种数，再根据加

法原理求得结果.

【详解】

将区域标注数字序号如卜图：

试卷第16页，总20页

当1,2,3号区间共用2种颜色，即1,3同色且与2异色时

共有涂色方法：&C；C；=I8。种

当1,2,3共用3种颜色时，共有涂色方法：4C；C；=240种

则不同的涂色方案总数为：180+240=420种

本题正确结果：420

【点睛】

本题考查排列组合问题中的涂色问题，解决涂色问题的关键是能够找到“中轴线”，根据

“中轴线”的颜色数量确定剩余区域的可选颜色数最；也可以根据对称区间同异色来进行

讨论.

21.《周髀算经》是我国最古老的天文学与数学著作，书中讨论了测量“日高”（太阳高

度）的方法,大意为：“在A8两处立表（古代测望用的杆子，即“髀”），设表高均为万，

测得表距为4,两表日影长度差为£（£〉（）），则可测算出日高”由所学知识知，日高

H=__________・（用力,4表示）

2

［答案］h（£+d）

【解析】

【分析】

如图，由题意可知AZ）=3C=a,AB=d,设EF=H,AE=x,AA=y则

BB1=y+£,由题可知且△qBCsA^Eb,利用三角形相似得到

边的比例关系，再化简即可得到.

【详解】

解：如图，由题意可知AD=BC=〃，AB=d,

设EF=H,AE=x,/14]=＞则84=＞一£

由题可知加①。sMf■/且