微专题22 单调性及应用12种常考题型总结-高一数学微专题突破

微专题22单调性及应用12种常考题型总结

高频考点

题型1对单调性定义的理解

题型2判断函数的单调性（增减-区间）

题型3定义法讨论函数的单调性

题型4图象法求函数的单调区间

题型5复合函数的单调性区间

题型6利用函数的单调性求参数范围

题型7利用函数的单调性比较大小

题型8利用函数的单调性解不等式

题型9利用单调性求解析式

题型10利用单调性找出多元变量之间的关系

题型11利用单调性求最值

题型12抽象函数的单调性

解题策略

I、增、减函数的定义

(1)函数在区间①*)上是增函数

x

c对任意.,x2G(a㈤,为<..都有，(项)vf(i)i

<=>对任意X]€(。,〃),五]工尢，都有"*)—>0;

为一为

Q对任意X],x2G(a,〃),X1Ax2都有(Xj-x2)(f(xi)-/(%))>0

=函数/(幻在区间(。*)上的图像从左往右看，图像逐渐上升；

o函数f(x)在区间(a,b)上的图像上任意两点连线的斜率都大于零；

(2)函数在区间(a,同上是减函数

0对任意工142£(。，。)了|〈工2.都有/(再)>f(X2)；

<=>对任意X],X7G(«,/?),Xj工X,都有­'(与’<0;

为一W

Q对任意.,x2G(a,〃),X1w2都有(x1-X2)(f(xl)-f(x2y)<0

Q函数fM在区间(a,b)上的图像从左往右看，图像逐渐下降；

o函数/(%)在区间(。力)上的图像上任意两点连线的斜率都小于零；

注：(1)函数在某区间上具有单调性，则函数在该区间的子区旬上具有相同的单调性；

(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调

性；

2、单调函数的运算性质

若函数/(x)与g(x)在区间。上具有单调性，则在区间。上具有以下性质：

(1)与/(x)+C(。为常数)具有相同的单调性.

(2)/*)与一/(幻的单调性相反.

(3)当a>0时，af(x)与/(x)单调性相同；当。<0时，af(x)与f(x)单调性相反.

2

（4）若/（x）X）,则/（X）与JTTK具有相同的单调性.

（5）若/（x）恒为正值或恒为负值，则当。＞0时，/（幻与_匕具有相反的单调性;

/（-V）

当。＜0时，f（x）与，一具有相同的单调性.

/（A-）

（6）/1）.与g（x）的和与差的单调性（相同区间上）：

简记为：7+7=7;（2）、+、=、；（3）7-\=7;（4）

3、函数单调性的判断方法

（1）定义法：在定义域内的某个区间。上任取小巧并使得内＜*2,通过作差比较/（为）与/（/）的大小来

判断单调性。

注：1、定义法证明函数单调性的步骤

①取值；设/，勺为该区间内任意的两个值，且不〈勺；

②年差变形：做差/（X）-/（W），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号

的方向变形；

③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论；

④定论：根据定义做出结论，指出函数），=/（另在给定区间上的单调性.

2、利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧

（1）因式分解：当原函数是多项式时，通常做差变形进行因式分解；

（2）通分：当原函数是分式函数时，做差后往往先进行通分合并，然后对式子进行因式分解；

（3）配方：当原函数是二次函数时，做差后可以考虑配方；

（4）分子有理化：当原函数是根式函数时，做差后往往考虑分子有理化.

（2）性质法：若函数/（幻为增函数，8（幻为增函数，力。）为减函数，例外为减函数，则有

①f（x）+g（x）为增函数，②fM-h（x）为增函数，

③力（x）+以外为减函数，④力⑴-g（x）为减函数。

（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。

由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调

区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“U”连接.

（4）复合函数法：对于函数y=/[g（x）],可设内层函数为〃=＜式五），外层函数为》=/（“），可以利

用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数

3

y=/［gW］在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反,则函数y=/［g（x）］

在区间D上单调递减.

〉=g(x)增函数rT减函数增函数rT减函数

y=于3增函数yT减函数yT减函数增函数54

y随着x的增大而增）'随着x的增大而增）'随着才的增大而y随着x的增大而

大大减小减小

增函数增函数减函数减函数

注：复合函数单调性问题

若函数y=/（〃）在A内单调，〃=g（x）在8内单调，且集合｛〃|〃=g（x）,xw母土A.

⑴若y=是增函数，〃=g（x）是增（减）函数，则y=因（工）］是增（减）函数

⑵若y=/（〃）是减函数，〃=g⑴是增（减）函数，则y=/似刈是减（增）函数解决此类问题遵循以下步骤:

第一步：求函数的定义域

第二步：令内函数为〃=g（x）,画出其图像，从而确定其函数的单调性

第三步：画出外函数y=/（"）的图象并确定其单调性

第四步：利用结论同增异减判断.4、函数单调性的应用

（1）比较大小.比大小常用的方法是①利用单调性比大小；②搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；

③数形结合比大小。

注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于L一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像

判断大小。

（2）解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“广符号脱掉，使其转

化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.

解抽象函数不等式问题（如：fia2+a-5）＜2.）的一般步骤：

第一步：（定性）确定函数4x）在给定区间上的单调性；

第二步：（转化）将函数不等式转化为的形式；

第三步：（去力运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号，tT，转化成一般的不等式或不等式组；

4

第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；

第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.

注：利用单调性解不等式的相关结论

(1)正向结论：若y=/(x)在给定区间。上单调递增，则当且用时，/(N)</(/)；

当\/王,工2£。，且X］>工2时，/(X)>/(冗2).

(2)逆向结论：若)，=/(幻在给定区间。上单调递增，x^x2eD,则当/(%)</(工2)时，王<々；当

/(w)>/。2)时，%>天.

当y=/(X)在给定区间。上单调递减时，也有相应的结论.

(3)利用函数单调性求参数的取值范围.

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

②二次函数的单调性与开口和对称轴(对称轴左右两侧单调性相反)有关。

③需注意若函数在区间［a,6］上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

④分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点

处的函数值的大小有要求，如果是增函数，则在断点处左边的函数值4右边的函数值，如果是减函数，则在

断点处左边的函数值2右边的函数值，

注意：(1)“单调区间”与“在区间上单调”的区分

①函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域.

②单调区间是完整的区间，在区间上单调可能只是部分单调区间.

(2)含有对称轴型比大小解题方法如下：

①首先根据题中所给的函数解析式，判断函数类型，根据题中所给的条件，判断出函数图象的对称轴；

②利用对称性，将自变量所对应的函数值进行转换；

③根据函数的单调性求得结果.

5、几类抽象函数的单调性的证明

(1)已知函数/(X)满足：/(x+y)=/(x)+.f(y)-4,x,)，£A,且x>0时，/(x)>q

证明：函数fM为R上的增函数。--------------背景函数为/(x)=kx+a

(2)己知函数/⑴满足：/(ry)=/(x)+/()，),x,)，£R+,且x>l时,/(%)>0

证明：函数/(幻为(0,+8)上的增函数。------------背景函数为/(x)=k)g〃x

(3)已知函数/(x)满足：/(x+y)=/(x)"(y),x,y£R,且x>0时,f(x)>1

5

证明：函数/")为R上的增函数。--------------背景函数为/(x)=a*

6、“V”字形函数y=|以-切的图像和性质

图像：把直线>下方的图像沿x轴翻折即可；

性质：(1)(—8,2)为减函数，(2,+8)为增函数；(2)对称轴为工二2

aaa

7、函数的最大值

(1)定义：对于函数y=/&)其定义域为。，如果存在xoWD,«幻="，使得对于任意的.隹。，都有

那么，我们称M是函数y=Kr)的最大值，即当工=即时，人次)是函数_y=7(x)的最大值，记作1ymax=./Uo).

(2)几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标.

8、函数的最小值

⑴定义：对于函数尸危)，其定义域为。，如果存在&WQ,危尸M,使得对于任意的xWQ,都有外心M,

那么，我们称M是函数y=/(x)的最小值，即当x=x0时，/Uo)是函数y=«r)的最小值，记作1ymin=/Uo).

(2)几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.

9、函数最值的常用结论

(1)如果函数y=/(x)在区间［凡例上单调递增，在区间［仇c］上单调递减，那么函数y=/(x),xe［a,c］

在x=b处有最大值/(/?):

(2)如果函数y=/(x)在区间［出以上单调递递减，在区间g,c］上单调递增，那么函数)=/(可，

/€［。,。］在工二〃处有最小值/(》).

【注意】对丁定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进

行比较，值最大(小)者即为函数的最大(小)值.

/，点精析_________________________________________________

题型1对单调性定义的理解

【例1】已知函数“X)的定义域刈0,16］,则“/(13)>〃2)”是“函数/(X)在区间［0,16］上单调递增”的()

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条件

【变式1】如果函数/⑴在［〃回上是增函数，对于任意的西,与«4句(工产看)，则卜.列结论中正确的有

()

6

A.B.(5一天)[/(4)一/(毛)]=。

X\-X2

c./(«)</(x,)</(x2)</(^)D./(%)>/(/)

【变式2】“函数/3在区间［1,2］上不呈增函数”的一个充要条件是()

A.“存在小丘［1,2］,使得"6且/⑷=/修)”

B.“存在m/?€(1,2］,使得"〃旦

C.“存在使得/⑷歹⑴”

D.“存在使得/⑷之/⑵”

【变式3】【多选】下列命题正确的是()

A.若对于^再，x2GR,%#与，都有xj(xj+毛/(i)>%/(汇)+天/(内)，则函数y=/(x)在R上是

增函数

B.若对于±eR,%工々，都有再)〉T，则函数)，=/(x)+x在R上是增函数

C.若对于VXGR,都有〃x+l)<〃x)成立，则函数y=/(x)在R上是增函数

D.若对于VxwR,都有/(x),g(x)为增函数,则函数y=f(x>g(x)在R上也是增函数

题型2判断函数的单调性(增减+区间)

【例2】下列函数中，在区间(0,*o)上单调递增的是()

A.f(x)=-\nxB./*)=£

C./")=」D./(A-)=3U-"

X

【变式1】下列函数中是增函数的为()

A.fM=-xB./(x)=(|rc.f(x)=x2D./(刈二瓶

7

【变式2】若函数e"(x)(«=2.71828...是自然对数的底数)在/(幻的定义域上单调递增，则称函数/(x)具

有M性质，下列函数中具有M性质的是()

A.f(x)=2-AB.f(x)=x2C.f(x)=3-1D./(x)=cos.r

【变式3】下列函数中，是偶函数且在区间(0,+8)上单调递减的函数是()

A.fM=---B,f(x)=(：)rC./U)=x2+1D.yu)=lg|.v|

IxIJ

【变式4】设函数yu)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是()

1

A.尸鬲不在R上为减函数B.尸仪x)|在R上为增函数

C.y=一：K在R上为增函数D.尸一人¥)在R上为减函数

JW

题型3定义法讨论函数的单调性

【例3】用函数单调性定义证明/(工)=/+自在区间［2,4］上是单调递增，并求在此区间上的最值.

X

【变式1］已知函数/")=」1.

⑴求/")的定义域；

8

⑵判断函数/（X）在（，y）上的单调性，并加以证明

【变式2】已知函数〃力=#+2,且/⑴=3J（2）=5.

⑴求函数/（X）的解析式；

（2）证明：/（X）在（1,出）上单调递增.

【变式3】试讨论函数/。）=言（际0）在（一1,1）上的单调性.

【变式4】函数/）=加+：（其中1VK3）在[1,2]上的单调性.

题型4图象法求函数的单调区间

【例4】函数/"）=-一二的单调增区间是（）.

X—2

A.（2*）B.（F,2）C.（-2,2）D.（f2）,（2,+QO）

【变式1】函数/（x）=|x-2|x的单调减区间是（）

A.[L2]B.[-1,0]C.[0,2]D.[2,y）

【变式2]已知函数/（司=-9+2国+3,则/*）的单调递增区间为.

9

题型5复合函数的单调性区间

【例】函数〃力=9-

5的单调递增区间是（)

A.(-oo,l]B.GO),(0,1)

C.(-a),0)J(0,l)D.(1,-KO)

【变式1】函数+3x-2的单调递增区间为.

【变式2]已知函数/（x）=2*+2x,则单调递增区间为

【变式3】函数y=log05（-f+。）的单调递增区间是（）

A.[2,4）B.[2,-KO）

C.（0,2]D.（』2]

题型6利用函数的单调性求参数范围

【例6】函数y=（2〃?-I）x+b在R上是减函数.则（）

A.m>B.m<—C.in>--D.m<--

2222

【变式1]若函数）=丁+（为-l）x+l在区间（Y,2]上是减函数，则实数。的取值范围是（)

A」]-』B.J]C.|，+8

D.

L2)\2.

【变式2】函数，x）=x、4x+3在区间上单调递增，则〃的取值范围是（）

10

A.(2,+oo)B.[2,+oo)

C.S2)D.(-oo,2J

【变式3】【多选】已知函数-g+1在区间[3,8]上单调，则实数〃?的值可以是（）

A.2B.7C.14D.20

【变式4】设函数/（力=2小引在区间（0,1）上单调递减，则。的取值范围是（）

A.（—co,—2]B.[—2,0）

C.（0,2]D.[2,4oo）

【变式5】已知函数/（x）=lg*2-2办-.）在区间（-00,-3）上是减函数，则实数。的取值范围是,

一+2〃Y<—1

【变式6】若函数,';在R上是单调函数，则。的取值可以是（）

A.0B.1C.2D.3

【变式7】函数/（“）=产％?：；2":[在R上单调递减的一个充分不必要条件是（）

C.

(3〃-2)x+3〃,x<I

【变式8】已知fW=.在R上单调递减，则实数。的取值范围是

logux,.r>l

【变式9】已知函数y=,一向在区间口,例）上是严格增函数，则实数，〃的范围是

II

题型7利用函数的单调性比较大小

【例7】设函数y=/(x)满足:对任意的公/cR都有〃八；二；h)>0,则〃-3)与/(-兀)大小关系是()

A./(-3)>f(-n)B./(-3)>/(-H)

C./(-3)</(-n)D./(-3)</(-7i)

【变式1］已知函数/(x)在区间(0,5)上单调递减，且〃X+5)=/(T+5),则()

A./(8)>/(3)>/(4)B./⑶"⑻>/(4)

C./(3)>/(4)>/(8)D./(4)>/(3)>/(8)

【变式2】已知定义在R上的函数“X)满足〃1+力=/(1一可，且L5时，

[/(与)一/(毛)](玉72)<°，记)

C.c>b>aD.c>a>b

02

【变式3】已知定义在R上的函数/(x)=GJ,记。=/(0.3。)/9=/(In(log43)),c=/(3),则〃，b,

。的大小关系是()

A.b<a<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<h<a

【变式4】已知函数/(X)的定义域为(o,+e),fi/(A-)>0,对定义域内任意的Z，当入<七时,

占)，若〃=；/(/)，c=1/则b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

【变式5]已知定义在R卜的函数满足〃l+x)=〃l—x).在区间(F,1)卜满足

(.f)"02)-/"JI〉。，则下列关系式中一定成立的是()

A./（-1）＜/（3）B./（-1）</（2）

C./（-2）＞/（3）D./（0）=0

【变式6］已知定义在R上的函数/(刈满足：/(-x)+/(x)=O,/(2-x)=/(x),且/(x)在内单调

递增，则（）

A./（-5.3）＜/（5.5）＜/（2）

B./（-5.3）＜/（2）＜/（5.5）

C./（2）＜/（-5,3）＜/（5.5）

D./（5.5）＜/（2）＜/（-5.3）

【变式7】已知函数〃x+2)是偶函数，当.毛«2,e)时，卜(内)一/(占)］(%72)＜。恒成立，设

”/()，力=/(|)，，•=/(-；),则4、汰C的大小关系为()

A.c＜b＜aB.b＜a＜cC.c＜a＜bD.a＜b＜c

【变式8］已知函数/（x）=^/^77，若Ov%vx2VS＜2,则（）

J（』3）/（再）

--------<---------<-----------------<---------<---------

X]x3Xxxx2Xy

/（%）/（马）/（七）/（N）

------<------<--------------<---------<---------

七&X%七N

题型8利用函数的单调性解不等式

【例8］已知/(x)是定义在R上的增函数，且/，［2)＜/(T)：则x的取值范围是.

【变式1】已知函数/(X)的定义域为［-2,2］,且在区间［-2,2］上是增函数，“1-式＜/»,求实

数〃?的取值范围.

13

【变式2】定义在(0,内)的函数/⑺满足且/但=2,则不等式f(x)-4x>。的

与一W)

解集为.

【变式3】若外可是偶函数且在[。,+8)上单调递增，又/(-2)=1,则不等式/(X)>1的解集为()

A.{x|-2<x<2}B.{x|x<-2或x>2}

C.{x|xv-2或0<x<2}D.{x\x>2^-2<x<0]

【变式4】设奇函数/(、)在(0.+3)上为单调递减函数，/⑴=0,则不等式亘上业⑻NO的解集为()

X

A.(-co,-l]U(0,l]B.1]

C.[-1,0)U[1,-KX))D.[-l,O)U(O,l]

【变式5】已知函数〃x)是定义在区间上的奇函数，且在(-11)上是单调递增的，若实数〃满足

/(1-«)+/(1-2«)<0,求实数a的取值范围.

13-v

【变式6]若/(力=炉+log.—,则满足不等式"2〃L3)+/W)>0的实数〃，的取值范匡是______.

5，十x

【变式7]已知函数)，=/(x)的定义域为R,对任意的演、%且芭。&都有[/($)-/(%)](内一占)>。

成立，若/(f+1)>/(『一一1)对任意xeR恒成立，则实数f的取值范围是.

题型9利用单调性求解析式

【例9】已知函数/(x)是单调函数，且xc(0,48)时，都有/+=则/⑴=().

【变式1】定义在R上的单调函数/(X)，满足对祗wR,都有/[〃力-2[=6,贝廿＜3)=

【变式2】若/("是定义域为(0,内)上的单调递减函数，且对任意实数不«0,转)都有

f/(x)-/'+1(无理数0=2.71828...),则“In2)=()

C.e+\

2

【变式3】已知/(x)是定义域为R的单调函数，且对任意实数盯都有/“可+K=-,则〃1。43)

4।1J

的值为()

题型10利用单调性找出多元变量之间的关系

【例10］若⑵〃+〃严3+〃产+3〃?+〃=0,则3"?+〃=(

【变式1】【多选】若m，〃eR+,25-221=3"1-产,则(

A.w>nB.0<nm<—C.—+——>4D.2'向+2”23

8m2n

□7

【变式2】已知实数。,此(0,3),且满足八〃2一9=故-3"-劭,则+8的最小值为(

15

题型11利用单调性求最值

1

【例11］设x〉0,y>0,若21+—=1,则上的（）

yx

A.最小值为8B,最大值为8

C.最小值为2D.最大值为2

【变式1】已知

x+1

⑴判断并证明/（X）在区间,-2）上的单调性；

（2）求该函数在区间［-5,-3］上的最值.

-ar+1,xva,

【变式2】设函数/（力=/小2若/Xx）存在最小值，则”的一个取值为________；"的最大值为

（X-2J,X>CL

【变式3】已知八幻=』一心+£在区间［0,1］上的最大值为身⑷，则g（a）的最小值为（）

A.0B.yC.1D.2

【变式4］已知函数/（幻=点2—人+8在［5,10］上单调递减，且/V）在［5,10］上的最小值为-32,则实数〃的

值为（）

44I

A.——B.0C.。或——D.0或一

557

【变式5］已知函数/（x）=log“（/7+l）（〃>0旦a"）

16

⑴若"2）=5,求。的值;

（2）若/（x）在区间［0,2］上的最大值为2,求4的值.

题型12抽象函数的单调性

【例11】已知八由是定义在R上的增函数，且对任意xeR,都有/（N）/（X2）=/（N十七），则不等式

2

的解集为（）

A.(-3,-KO)B.(2,4-oo)

C.(-oo,-3)D.(—2)

【变式。已知函数/（%）的定义域是（。,+8）,且满足/3）=/（工）+/3，/（9=1

如果对于o<x<y,

都有/（力>/（力，则不等式“2X）+/（3T）2—2的解集为（）

A.[u]B.(^c,l]o[2,+oc)

C.(0,1)(2,3)D.(O,l]u[2,3)

【变式2】已知/⑺是定义在R上的减函数,对任意“、”1<,〃/丁）=/（力/（。恒成立,若/（-5）=3,

贝IJ“37）<27的解集为（）

A.（-cc,15）B.（f18）C.（15,-HX.）D.（18,+oo）

微专题22单调性及应用12种常考题型总结解析式

17

考点精析

题型1对单调性定义的理解

【例1】已知函数/⑺的定义域为［0,16］,则“/(13)>/(2片是“函数/(”在区间［0,16］上单调递增”的()

A.充要条件R.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D,必要不充分条件

【答案】D

【解析】由/(13)>/(2)得不到“函数/(力在区间［0,16］上单调递增”，

如f*)=-(X-13)2+1,X€［0,16］,/(13)=1,/(2)=-120,

显然满足/(13)>八2),但是函数”力在［0,13］上递增,在［13,16］上递减，

故“/(13)>〃2)”不是“函数/(x)在区间［0,16］上单调递增”的充分条件；

而由“函数f3在区间［0,16］上单调递增”可得⑵.

则叮。3)>/⑵”是“函数〃力在区间［0,16］上单调递增”的必要不充分条件.故选:D.

【变式1】如果函数/(X)在可上是增函数，对于任意的巧与«。肉(内工/)，则下列结论中正确的有

()

A./㈤一”>>()B.(5-七)[/(8)一/(工2)]=。

内一再

D./(^)>/(^)

【答案】A

【解析】对于A项，因为『(X)在上是增函数,

所以对于任意的〜，声亡团,切(百工壬)，

/(A-)-/(X2)^0

当占时，/(x,)>/(x2),所以王一七>。，/(x,)-/(x2)>0,所以

为一七

当为<占时，/(%)</(占)，所以％一%<°，/(%)一/(电)<0,所以““)一/"">0,

X\~X2

综述：弋书〉。，故A项正确;

对于B项,因为在14加上是增函数,

18

所以对于任意的巧，々©伍，加(为工吃)，

当石>再时,f(x])>f(x2),所以7-任>0，fa)-f(S)>。，所以()一可)"(％)-/(看)]>0,

当今<与时，fw<f(x2),所以5-代10,/U,)-/(x2)<0,所以<一不2)"(%)-/。2)]>°，

综述：—"，)-/。2)]>0,故B项不成立；

对于C项、D项，由于巧，与的大小关系不确定，

所以/($)与/(勺)的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立.故选：A.

【变式2】”函数”X)在区间[1,2]上不号增函数”的一个充要条件是()

A.“存在”，be[\,2]f使得av。且/(〃)=/(〃)”

B.“存在a,z?e[l,2],使得avb且

C.“存在〃£(L2],使得/(小/⑴”

D.”存在使得〃。)之一(2)”

【答案】B

【解析】若函数/")在区间[L2]是增函数，即任意使得aV。且/(〃)</(〃)，

则若函数/(%)在区间[1,2]不是增函数，即存在〃力41,2],使得”,且故选:B

【变式3】【多选】下列命题正确的是()

A.若对于V%,x2eR,用工%，都有％了(内)+9/(9)>王/(9)+9)(%)，则函数y=/(%)在R上是

增函数

B.若对于V百，A2eR,工产々，都有/(•[)：/(£)>一1,则函数)，=/(x)+x在R上是增函数

西一々

C.若对于VxwR,都有/(x+l)</(可成立，则函数y=f(x)在R上是增函数

D.若对于VxwR,都有〃“，g(x)为增函数,则函数y=f(ag(力在R上也是增函数

【答案】AB

【解析】x"(xJ+W/(W)>Xi/(S)+W/(xJ，化简为(572乂〃%)一/(%))>。，

设则As)>/(%)，

设々〈K，则/(<2)<f(E)，

故函数/‘(X)在R上是增函数，故A正确；

19

设巧>演，由,>T得/(工1)一/伍)<一百十工2，即f(内)+玉</(工2)+与，

X一9

设々〈内，由/(“)/'")>-1得/(%)―/(1)>_%+电,即f(xJ+X［〉/(占)+为，

%一9

故函数y=/("+x在R上是增函数，故B正确；

令f(x)=［x］，因表示不超过X的最大的整数,

满足/"+1)>〃力，但/(X)在R上不是增函数；故C借取；

令f(x)=g(x)=x,则“X),g(x)为增函数,

但函数)，=/(力送(力=/在R上不单调，故D错误.故选：AB.

题型2判断函数的单调性(增减+区间)

【例2】下列函数中，在区间(0,*o)上单调递增的是()

A./(x)=-lnxB./(x)=

C.f(x)=--D./(x)=3u-"

x

【答案】C

【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ARC,举反例排除D即可.

【详解】对于A,因为y=lnx在i：O,y)上单调递增，尸—在(0,+力)上单调递减，

所以/(x)=Tnx在(0,+8)上单调递减，故A错误；

对于B,因为丁=2,在(0,+8)上单调递增，产;在(0,y)上单调递减，

所以/(x)=M在(°'")上单调递减，故B错误；

对于C,因为>，=1在(0,+a)上单调递减，)'=一工在(0,+8)上单调递减，

X

所以/(司=-，在(0,转)上单调递增，故C正确；

X

对于D,因为个)=3bL3之=后，/⑴=3旧=3。=1,〃2TT=3,

k2y

显然〃x)=3H在(0，+8)上不单调，D错误.

20

故选：c.

【变式1】下列函数中是增函数的为()

A.f(x)=-xB./(x)=(1)rC.f(x)=x2D.以x)=8

答案：D

解答：解：由一次函数性质可知j(x)=-X在"上是减函数，不符合题意；

由指数函数性质可知/0)=(』)'在冗上是减函数，不符合题意；

3

由二次函数的性质可知/")=/在R上不单调，不符合题意；

根据幕函数性质可知/")=正在R上单调递增，符合题意.

故选：O.

【变式2】若函数e"(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在/。)的定义域上单调递增，则称函数/*)具

有M性质，下列函数中具有M性质的是()

A./(A)=2~xB.f(x)=x2C.f(x)=yxD./(x)=cosx

答案：A

解答：解：当/(x)=2T时，函数e"(x)=(,、在R上单调递增，函数/*)具有M性质，

故选：A.

【变式3】下列函数中，是偶函数且在区间(0,+8)上单调递减的函数是()

B./(%)=(1)xC./(x)=x2+1D.Ax)=lgW

答案：A

【分析】由奇偶性的定义判断各个选项函数的奇偶性，排除B；结合反比例函数、二次函数、对数函数的单

调性即可选出正确答案.

21

解：因为/(一"=3'工(g),所以B不正确；A,CD中函数定义域均关于原点对称,

2

f(-x)=-^—=f(x)tA是偶函数；/(-x)=(-x)+l=/(x),C是偶函数;

I—xI

/(-X)=lg|-x|=/(%),所以D也是偶函数;当X£(0,+o。)时,

/(%)=」=2单调递减，故A正确；

|x|X

由二次函数的性质可得，此时/(x)=V+l递增，则C不正确；

/(x)=lg|H=Igx也单调递减,则D不正确;

【变式4】设函数火的在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是()

A.v=Jr;在R上为减函数B.产i/u)i在R上为增函数

1/M\

C.产一二二在R上为增函数D.产一”)在冗上为减函数

fw

【答案】ABC

【解析】令/。)=%可判断出ABC不正确，利用单调函数的定义判断可得结果.

【详解】对于A,若则尸二),在R上不是减函数，A错误；

iJfa)iw

对于B,若«r)=x,则产贝幻|=用，在R上不是增函数，B错误；

对于C,若^y^=-在A上不是增函数，C错误；

fMx

对于D,函数人0在R上为增函数，则对于任意的可，xFR,设XWM2,必有人箝)勺但),

对于尸-fix),则有>'1-^=(~fix\)]-[~fiX2)]=fiX2)-fixI)>0,

则户一/U)在R上为减函数，D正确.

22

题型3定义法讨论函数的单调性

【例3】用函数单调性定义证明/（x）=x+&在区间［2,4］上是单调递增，并求在此区间上的最值.

X

【答案】证明见解析；最小值为4,最大值为5.

【解析】取小，多目2,4］,且石<1,

/、44144

则/(5)一/(工2)=玉+---X2+-=X1~X2+-----------

内Ix2)%%

显然内一12<°，又5,入2«2,4］,所以王/>°，$%2一4>0,

可得f（X）-/（/）=土也（砧