专题强化练28抽象函数的性质探索问题

专题强化练28抽象函数的性质探索问题授课提示：对应专题强化练55页(分值：73分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1．(2025·江西景德镇模拟)已知奇函数f(x)的定义域为R，且(y＋1)f(x)＝xf(y＋1)＋a，则a＝()A．0B．1C．2D．－1解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.令x＝y＝0，得f(0)＝a＝0.故选A.答案：A2．(2025·湖北十堰模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f12+x＝f12-x，则f(7)A．－1B．0C．1D．2解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，又因为f12+x＝f12-x，则f(x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，可知2为f(x)的一个周期，所以f(7)＝f(1)＝－f(0)答案：B3．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)＝f(2－x)，f(3)＝2，则＝()A．0B．－1012C．－2D．1010解析：已知f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，因为f(x)＝f(2－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，函数f(x)的周期为4，因为f(3)＝2＝－f(1)，f(1)＝－2，f(2)＝f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－2＋0＋2＋0＝0，因为2025＝4×506＋1，前2024项和为506×0＝0，f(2025)＝f(1)＝－2，所以＝0＋(－2)＝－2.故选C.答案：C4．(2025·河南郑州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝(x－3)f(x)的图象关于x＝3对称，若g(－2)＝－5，则f(4)＝()A．－3B．－1C．0D．1解析：因为g(－2)＝(－2－3)f(－2)＝－5f(－2)＝－5，所以f(－2)＝1，因为f(x)是奇函数，f(2)＝－f(－2)＝－1，所以g(2)＝(2－3)f(2)＝1，因为函数g(x)＝(x－3)f(x)的图象关于x＝3对称，所以g(4)＝g(2)＝1，即g(4)＝(4－3)f(4)＝f(4)＝1.故选D.答案：D5．(2025·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，函数g(x)＝(x－2)f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，若g(－1)＝3，则f(3)＝()A．－3B．－1C．0D．1解析：由函数g(x)＝(x－2)f(x)的图象关于点(2，0)中心对称可知，g(2－x)＝－g(2＋x)，即(2－x－2)f(2－x)＝－(2＋x－2)f(2＋x)，可得f(2－x)＝f(2＋x)，因此函数f(x)具有对称轴x＝2，由g(－1)＝(－1－2)f(－1)＝3，可得f(－1)＝－1，由f(x)为R上的偶函数且具有对称轴x＝2，可得f(3)＝f(1)＝f(－1)＝－1.故选B.答案：B6．(2025·山东枣庄模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足∀a，b∈R，f(a＋b)＋f(a)f(b)＝9ab，且f-13≠0，记an＝f(n)，n∈N*，则下列结论错误的是(A．f(0)＝－1B．f(1)＝2C.{anD．＝600解析：对于A，令a＝－13，b＝0，则f-13＋f-13f(0)＝0.又f-13≠0，故1＋f(0)＝0，即f(0)＝－1，故A正确．对于BC，令a＝13，b＝－13，则f(0)＋f13f-13＝9×13×-13＝－1.由f(0)＝－1，f-13≠0，可得f13＝0.令b＝13，则fa+13＝3a，所以f(a)＝3a－1，f(1)＝2，an＝f(n)＝3n－1，故答案：D7．(2025·河北秦皇岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x－1)，且f(x－1)是奇函数，则下列结论错误的是()A．f(－1)＝0B．f(0)＝f(2)C．f(－4)＝f(4)D．f(11)＝－1解析：因为f(x＋3)＝－f(x－1)，则有f(x＋7)＝－f(x＋3)＝f(x－1)，所以f(x＋8)＝f(x)，由此可知f(x)是周期为8的周期函数，又因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，因为f(x＋3)＝－f(x－1)，所以f(x＋3)＝f(－x－1)．对于A，根据f(－x－1)＝－f(x－1)，将x＝0代入得f(－1)＝－f(－1)，解得f(－1)＝0，A正确．对于B，根据f(x＋3)＝f(－x－1)，将x＝－1代入，得f(0)＝f(2)，B正确．对于C，根据f(x＋8)＝f(x)，将x＝－4代入，得f(－4)＝f(4)，C正确．对于D，根据f(x＋8)＝f(x)，有f(11)＝f(3)，又根据f(x＋3)＝f(－x－1)，将x＝0代入，得f(3)＝f(－1)，由A选项可知f(－1)＝0，所以f(11)＝f(－1)＝0，D错误．故选D.答案：D8．(2025·山东滨州模拟)已知定义域为R的函数f(x)为偶函数，f(x＋1)为奇函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－2，则()A．f(x＋2)＝f(x) B．f(log23)＝2C．f20252>0 D．f(－解析：依题意可知f(x)＝f(－x)，f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(－(x＋1)＋1)＝－f((x＋1)＋1)，即f(－x)＝－f(x＋2)，因此f(x)＝－f(x＋2)，即f(x＋2)＝－f(x＋4)，所以可得f(x)＝f(x＋4)，即f(x)是以4为周期的周期函数．对于A，由分析可知f(x)＝－f(x＋2)，故A错误．对于B，由f(x)＝－f(－x＋2)可知f(log23)＝－f(－log23＋2)＝－flog243，显然log243∈(0，1)，所以flog243＝2log243－2＝43－2＝－23，所以f(log23)＝－flog243＝23，故B正确．对于C，易知f20252＝f12+4×253＝f12＝212－2<0，可得答案：B二、多项选择题(每小题6分，共18分)9．(2025·河南郑州模拟)已知对于任意非零实数x，函数f(x)均满足f(x)＝f2x，f(x)＝2－f1x，下列结论正确的有(A．f(1)＝1B．f(2x)关于点(0，1)中心对称C．f(2x)关于x＝1轴对称D．f(2)＋f(22)＋f(23)＋…＋f(210)＝10解析：对于A，由f(x)＝2－f1x可得f(1)＝2－f(1)⇒f(1)＝1，故A正确；对于B，由f(x)＝2－f1x可得f(x)＋f1x＝2，即f(2x)＋f(2－x)＝2，所以f(2x)关于点(0，1)中心对称，故B正确；对于C，由f(x)＝f2x可得f(2x)＝f(21－x)，所以f(2x)关于x＝12轴对称，故C错误；对于D，由f(x)＝f2x中令x＝1可得f(1)＝f(2)＝1，设g(x)＝f(2x)＝f22x＝g(1－x)①，又g(x)＝f(2x)＝2－f12x＝2－g(－x)②，由①②可得g(1－x)＝2－g(－x)，所以g(1＋x)＝2－g(x)，即g(x＋2)＝2－g(x＋1)＝2－[2－g(x)]＝g(x)，所以f(2x)＝f(2x＋2)，所以f(2)＝f(22)＝f(23)＝…，所以f(2)＋f(22)＋f(23)＋…＋答案：ABD10．(2025·河北张家口模拟)已知函数f(x)的定义域为R，当p>0时，f(p)>0，且对于任意的pq<1，都有f(p)＋f(q)＝fp+q1-pq，则(A．f(0)＝0B．f(x)为偶函数C．当－1<x<0时，f(x2)>f(x)D．当0<x<1时，f(x2)<f(x)解析：对于A，令p＝q＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，解得f(0)＝0，故A正确；对于B，令q＝－p，则f(p)＋f(－p)＝f(0)＝0，所以f(x)是奇函数，故B错误；对于C，当－1<x<0时，x2>0>x，因为当p>0时，f(p)>0，f(x)是奇函数，所以当p<0时，f(p)<0，所以f(x2)>0>f(x)，故C正确；对于D，设－1<x1<x2<0，令p＝x2，q＝－x1，则pq＝－x1x2<0<1，因为f(x1)＝－f(－x1)，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝fx2-x11+x1x2，因为x2-x11+x1x2>0，所以fx2-x11+x1x2>0，因此f(x2)－f(x1)>0，即f(x)在(－1，0)上单调递增，因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(－1答案：ACD11．(2025·河北秦皇岛模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若满足f(1－x)＋f(x)＝－1，且函数f(x＋1)是奇函数，则下列结论正确的是()A．f(0)＝－1B．f(2025)＝2023C．f(x＋2024)＝f(x)D．＝－2025解析：函数f(x)的定义域为R，由函数f(x＋1)是奇函数，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，对于A，由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，得f(1)＝0，由f(1－x)＋f(x)＝－1，得f(1)＋f(0)＝－1，则f(0)＝－1，A正确；对于B，由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(1－x)＋f(x)＝－1，得f(x＋1)－f(x)＝1，f(2025)＝f(1)＋f(2)－f(1)＋f(3)－f(2)＋…＋f(2025)－f(2024)＝2024，B错误；对于C，f(2025)＝2024，而f(1)＝0，即f(2025)≠f(1)，因此f(x＋2024)≠f(x)，C错误；对于D，由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，得f(1－x)＋f(1＋x)＝0，则＝－f(2026)＋f(－2024)＋f(2026)＋f(－2023)＋f(2025)＋…＋f(－1)＋f(3)＋f(0)＋f(2)＋f(1)＝－f(2026)＋f(1)＝－[f(2025)＋1]＋f(1)＝－(2024＋1)＋0＝－2025，D正确．故选AD.答案：AD三、填空题(每小题5分，共15分)12．(2025·黑龙江大庆模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝3，且f(1)＝－1，则f(2024)＋f(2025)＋f(2026)＝________．解析：由f(x＋1)＋f(x－1)＝3，令x＋1代替x，可得f(x＋2)＝3－f(x)，则f(x＋4)＝3－f(x＋2)＝f(x)，可得f(2025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝－1，由f(x＋1)＋f(x－1)＝3，令x＝2025，则f(2026)＋f(2024)＝3，所以f(2024)＋f(2025)＋f(2026)＝2.答案：213．(2025·安徽滁州模拟)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R.若f(－1－2x)＋f(3＋2x)＝0，f(－1)＝1，且f′(x)的图象关于直线x＝－1对称，则＝________．解析：因为f′(x)的图象关于直线x＝－1对称，故f′(－1－x)＝f′(－1＋x)，故f(－1－x)＋f(－1＋x)＝C(C为常数)，令x＝0，则C＝2f(－1)＝2，故f(－1－x)＋f(－1＋x)＝2，故f(x)＋f(－2－x)＝2，而f(－1－2x)＋f(3＋2x)＝0，故f(x)＋f(2－x)＝0，所以2－f(－2－x)＋f(2－x)＝0，所以f(2－x)＝f(－2－x)－2，所以f(x＋4)＝f(x)－2，故f(3)＝f(－1)－2＝－1，在f(x)＋f(2－x)＝0中令x＝1，则f(1)＝0，故＝[f(1)＋f(5)＋…＋f(97)]＋[f(3)＋f(7)＋…＋f(99)]＝0×25＋25×242×(－2)＋(－1)×25＋25×242×答案：－122514．(2025·河北名校联考)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为g(x)，f(2x＋1)＋2x为偶函数，且g(1＋x)＝g(3－x)，则＝________．解析：由f(2x＋1)＋2x为偶函数得f(－2x＋1)－2x＝f(2x＋1)＋2x，则f(2x＋1)－f(1－2x)＝－4x.两边