专题强化练27函数的性质

专题强化练27函数的性质授课提示：对应专题强化练53页(分值：73分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1．(2025·江西赣州模拟)已知函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，则f(－5)＝()A．－5 B．0C．2 D．5解析：因为函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，则f(－5)＝f(－5＋4)＝f(－1)，又因为f(－5)＝f(－5＋6)＝f(1)，所以f(1)＝f(－1)＝－f(1)，故f(1)＝0，即f(－5)＝f(1)＝0.故选B.答案：B2．(2025·云南昆明模拟)若函数f(x)＝ax+12x(a>0，且a≠1)是偶函数，则aA．14B．C．2D．4解析：f(x)＝ax+12x＝a2x＋12x，则f(－x)＝a2－x＋12－x，由于f(x)是偶函数，故a2x＋12x＝a2－x＋12－x＝2x＋2ax对∀答案：D3．(2025·广东广州模拟)已知奇函数f(x)和偶函数g(x)的定义域均为R，且满足g(x)＝f(x)＋e－x，则[f(x)]2＋[g(x)]2＝()A．1 B．－1C．f(2x) D．g(2x)解析：∵g(x)＝f(x)＋e－x，∴g(－x)＝f(－x)＋ex.∵f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，∴g(－x)＝g(x)，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＋e－x＝f(－x)＋ex＝－f(x)＋ex，∴f(x)＝ex-e-x2，g(x)＝f(x)＋e－x＝ex-e-x2＋e－x＝ex+e-x2.∴[f(x)]2＋[g(x)]2＝e答案：D4．(2025·广西河池模拟)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(a－1)>f(2)，则a的取值范围是()A．a>3B．a<－1C．a<－1或a>3D．－1<a<3解析：由于f(x)是偶函数，根据偶函数的定义，f(－x)＝f(x).因此，不等式f(a－1)>f(2)可以转化为f(|a－1|)>f(2)．函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以|a－1|>2，解得a<－1或a>3.故选C.答案：C5．(2025·山东济宁模拟)若函数f(x)＝(12)x2－ax在[1，＋∞A．a≤2B．a≥2C．a≤1D．a≥1解析：f(x)＝(12)x2－ax是由y＝(12)u与u＝x2－ax复合而成.因为f(x)＝(12)x2－ax在[1，＋∞)上单调递减，且外层函数y＝(12)u在R上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数u＝x2－ax在[1，＋∞)上单调递增.对于二次函数u＝x2－ax，其图象开口向上，对称轴为x＝－-a2×1＝a2.二次函数在对称轴右侧单调递增，要使u答案：A6．(2025·江西南昌模拟)我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数．推广到一般的情况：如果函数f(x)的图象有对称中心，那么其导函数f′(x)的图象会有对称轴；如果函数f(x)的图象有对称轴，那么其导函数f′(x)的图象会有对称中心．请你运用以上性质研究函数f(x)＝ln2+x3-x的对称性，并判断下列选项中正确的是(A.f(x)有对称中心-B．f(x)有对称中心1C．f(x)有对称轴x＝－1D．f(x)有对称轴x＝1解析：因为函数f(x)＝ln2+x3-x，定义域为(－2，3)，所以f′(x)＝3-x2+x×3-x+x+23-x2＝3-x2+x×53-x2＝5-x答案：B7．(2025·山东泰安模拟)定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f13＝0，则不等式fxx-2≤0的解集为A．-∞B．-C．-∞D．-解析：由函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f-13＝－f13＝0，f(0)＝0，当x∈-∞，-13∪0，13时，f(x)<0；当x∈-13，0∪13，+∞时，f(x)>0.由当x∈(－∞，2)时，x－答案：D8．(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)＝x2＋lnex+e-x－2，则不等式f(x＋2)≤f(2x－3)A．-5B．(－∞，－5]∪C．1D．-∞解析：易知函数f(x)的定义域为R，又f(－x)＝(－x)2＋lne-x+ex－2＝x2＋lnex+e-x－2＝f(x)，故为偶函数．当x≥0时，ex≥1，所以y＝ex＋e－x＝ex＋1ex，令t＝ex≥1，结合对勾函数y＝t＋1t在[1，＋∞)上单调递增，y＝ex在[0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知y＝ex＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，又y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，故y＝ln(ex＋e－x)在[0，＋∞)上单调递增，易知f(x)＝x2＋lnex+e-x－2在[0，＋∞)上单调递增．结合函数为偶函数，所以由f(x＋2)≤f(2x－3)可得|x＋2|≤|2x－3|，平方得3x2－16x＋5≥0，解得x≥5或x≤13答案：D二、多项选择题(每小题6分，共18分)9．(2025·辽宁葫芦岛模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x＋sinx，则()A．f(x)为奇函数B．f(x)在(0，＋∞)上单调递增C．f(x)有且仅有1个零点D．f(x)的最小值为－2解析：对于A，易知f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，可知f(－x)＝e－x－ex＋sin(－x)＝－(ex－e－x＋sinx)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，故A正确；对于B，当x∈(0，＋∞)时，可得f′(x)＝ex＋e－x＋cosx＝ex＋1ex＋cosx≥2ex·1ex＋cosx＝2＋cosx>0恒成立，因此f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，由B可知f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0，因此f(x)有且仅有1个零点，故C正确；对于D，当x→－∞时，可得f(x)＝ex－e－x＋sinx答案：ABC10．(2025·安徽芜湖模拟)已知函数f(x)＝(1－2x)ln1-xx，则(A．f(x)的定义域为(0，1)B．f(x＋12)C．f(x)为单调递增函数D．f(x)≥0解析：对于A，因为对数的真数大于0，故1-xx>0⇒x(x－1)<0，所以0<x<1，故定义域为(0，1)，故A正确；对于B，因为f(x)的定义域为(0，1)，所以f(x＋12)的定义域为-12，12关于原点对称，又f(x＋12)＝－2x·ln12-x12+x，且f(－x＋12)＝2x·ln12+x12-x＝－2x·ln12-x12+x＝f(x＋12)，故f(x＋12)为偶函数，故B正确；对于C，因为f12＝0，f18＝34ln7>0，故f12<f18＝34ln7，故C错误；对于D，令h(x)＝1-xx，求导得h′(x)＝1-x'x-x'1-xx2＝－1x2<0，故函数h(x)在区间(0，1)上单调递减，而当x＝12时，h12＝1，当x＝12时，f12＝0，当x∈答案：ABD11．(2025·广东佛山模拟)已知函数f(x)＝2sinx3+cos2x，则fA．最小正周期为πB．是奇函数C．在[0，π]上单调递增D．最大值为1解析：由f(π＋x)＝2sinπ+x3+cos2π+x＝－2sinx3+cos2x＝－f(x)，显然π不是f(x)的周期，故A错误；由f(x)的定义域为R，且f(－x)＝2sin-x3+cos-2x＝－2sinx3+cos2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故B正确；由解析式，易得f(0)＝f(π)＝0，显然在[0，π]上不是单调递增，故C错误；由f(x)＝2sinx3+cos2x＝sinx2-sin2x，令t＝sinx∈[－1，1]，则f(x)＝h(t)＝t2-t2，且h(0)＝0，若t≠0，则h(t)＝12t-t，又y＝2t－t在[－1，0)，(0，1]上都单调递减，在[－1，0)上y＝2t－t≤－1，h(t)∈[－1答案：BD三、填空题(每小题5分，共15分)12．(2025·河南新乡模拟)若f(x)，g(x)分别为奇函数、偶函数，f(2)＋g(2)＝20，且f(x)－xg(x)＝x3，则f(－2)＋5g(－2)＝________．解析：依题意得f(2)－2g(2)＝8，又f(2)＋g(2)＝20，解得f(2)＝16，g(2)＝4，所以f(－2)＋5g(－2)＝－f(2)＋5g(2)＝－16＋20＝4.答案：413．已知函数f(x)＝ln4x-2-a为奇函数，则实数a＝解析：由题意有f(－x)＝－f(x)⇒ln4-x-2-a＝－ln4x-2-a，所以ln-4x+2-a＋ln4x-2-a＝0⇒ln[-4x+2-a4x-2-a]＝0，即(－4x+2－a)·4x-2-a＝1，化简整理有(a解得a＝－1.答案：－114．(2025·江西宜春模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－2ax)在[2，4]上的最小值是1，则a＝________．解析：若a＝0，则x∈[2，4]，f(x)＝2log2x在[2，4]上单调递增，最小值为f(2)＝2log22＝2，不符合