专题强化练1平面向量的基本运算

专题强化练1平面向量的基本运算授课提示：对应专题强化练1页(分值：73分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1．(2025·山东烟台模拟)已知向量a＝x，1，b＝(y，x－1)，若a∥b，则y的最小值为(A．－14B．－C．14D．解析：若a∥b，则x2－x＝y，当x＝12时，y有最小值为－14.答案：A2．(2025·湖北黄冈模拟)已知向量b＝1，0，向量a在向量b上的投影向量是4b，且λa+b⊥b，则A．14B．－C．2D．－2解析：由b＝(1，0)得|b|＝1，因为a在b上的投影向量为a·bb2b＝4b,所以a·b＝4，(λa＋b)⊥b⇔(λa＋b)·b＝0，即λa·b＋|b|2＝0，代入|b|＝1与a·b＝4得4λ＋1＝0，解得λ＝－答案：B3．(2025·广东深圳模拟)在四边形ABCD中，若AC＝AB+AD，则“AC⊥BD”是“四边形ABCD是正方形”的(A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：在四边形ABCD中，若AC＝AB+AD，则四边形ABCD为平行四边形，若AC⊥BD，则平行四边形ABCD为菱形，但不一定为正方形，四边形ABCD是正方形时，必有AC⊥BD，即有AC⊥BD，故“AC⊥BD”是“四边形ABCD是正方形”答案：B4．(2025·山东泰安模拟)正方形ABCD中，AP＝2PD，CQ＝2QB，设AD＝a，AB＝b，则PQ＝(A．－14a＋bB．a－1C．－13a＋bD．a－1解析：由题设有PQ＝PA+AB+BQ，其中AP＝23a，BQ＝13BC，在正方形ABCD中，BC＝AD，所以PA+AB+BQ＝－23a＋答案：C5．(2025·河北邯郸模拟)已知平面向量a＝(－1，1)，b＝(0，1)，若a+λb·μa+b＝1A．2λ+1μ＝－1BC．1λ+2μ＝－1D解析：(a＋λb)·(μa＋b)＝(－1，1＋λ)·(－μ，μ＋1)＝λμ＋2μ＋λ＋1＝1，∴2μ＋λ＝－λμ，即2λ+1μ答案：A6．(2025·河南周口模拟)在等边△ABC中，AB＝1，点M为AB的中点，点N满足BN＝2NC，则AN·CM＝()A．－13B．－C．－56D．－解析：在等边△ABC中，AB·AC＝1×1×cos60°＝12，由于点M为AB的中点，点N满足BN＝2NC，所以AN·CM＝13AB+23AC·(12AB-AC)答案：D7．(2025·广东广州模拟)在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，BC＝4EC，点F是线段DE的中点，若AF＝λAB＋μAD，则μ＝()A．54B．C．78D．解析：因为点F是线段DE的中点，所以AF＝12(AD＋AE)，又AE＝AB+BE＝AB+34BC＝AB+34AD，所以答案：C8．(2025·江西鹰潭模拟)若非零向量a，b满足a＝2b＝2，且向量a－b与向量a的夹角〈a－b，a〉＝π6，则a-b·b的值为A．－6B．0C．23D．6解析：由a＝2b＝2有a＝2，b＝1，所以cos〈a－b，a〉＝a-b·aa-ba＝32⇒a2－a·b＝3a-b⇒4－a·b＝3a-b2＝3a2-2a·b+b2＝35-2a·b⇒4-a·b2＝35-2a·b⇒a·b2－2答案：B二、多项选择题(每小题6分，共18分)9．如图，已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，O为正八边形的中心，则下列说法正确的是()A．OA+OBB．BC-EFC．AB·AE＝1D．OA+OC解析：在正八边形ABCDEFGH中，由于(OA＋OB)·AB＝OA+OB·OB-OA＝OB2－OA2＝0，则OA+OB⊥AB，因为OE-OF＝FE，且AB∥FE，所以OA+OB⊥(OE-OF)，故A正确；由于BC-EF＝GF+FE＝GE，故B正确；连接EB，可得∠ABE＝∠ABO＋∠OBE＝180°-45°2+180°-135°2＝90°，所以AB·AE＝ABAEcos∠BAE＝AB2＝1，故C正确；由于∠AOC＝90°答案：ABC10．(2025·河南焦作模拟)在△OAB中，若OA＝(1－3，1＋3)，OB＝(1，1)，点C在边OA上，点D在边AB上，且BC·OA＝0，OD＝λ(OAOA+OBOB)，λ∈R，则(A．|AB|＝6B．∠AOB＝πC．|BC|＝1D．|OD|＝2解析：对于A，|AB|＝|OB-OA|＝|(3，－3)|＝6，故A正确；对于B，因为cos∠AOB＝OA·OBOAOB＝28×2＝12，所以∠AOB＝π3，故B错误；对于C，因为BC·OA＝0，所以BC为边OA上的高，△OAB的面积为S＝12|OA|·|OB|sin∠AOB＝12×8×2sinπ3＝3，所以|BC|＝2SOA＝62，故C错误；对于D，因为OD＝λ(OAOA+OBOB)，所以OD平分∠AOB，即∠BOD答案：AD11．(2025·河北石家庄模拟)点M在△ABC所在平面内，下列说法正确的是()A．若AB·AC<0，则△ABC为钝角三角形B．若MA+MB+MC＝0，则MC．若AM＝14AB+34D．若△ABC为边长为2的正三角形，M为AB的中点，点E在线段BC上运动，则EA·EM的取值范围为23解析：对于A，因为AB·AC<0，所以A∈π2所以△ABC为钝角三角形，故A正确．对于B，因为MA+MB+MC＝0，取AB的中点D，连接MD，则有MA+MB＝2MD，所以2MD+MC＝0，所以MC＝－2MD，所以M为△ABC的重心，故B正确．对于C，因为AM＝取AB的四等分点，靠近A的点为N，取AC的四等分点，靠近C的点为E，连接EM，NM，则有EM∥AB且EM＝14AB，所以△ABM的高是△ABC的高的34，所以S△ABMS△ABC＝34，故C错误．对于D，以M为原点，AB边所在的直线为易知直线BC的方程为y＝－3(x－1)．设E(m，－3(m－1))(0≤m≤1)，因为A(－1，0)，M(0，0)，所以EA＝(－m－1，3(m－1))，EM＝(－m，3(m－1))，所以EA·EM＝m(m＋1)＋3(m－1)2＝4m2－5m＋3＝4m-582＋2316.又因为0≤m≤1，所以当m＝58时，4m-582＋2316取最小值，为2316；当m＝0时，4(m－58)2＋2316取最大值，为3.所以4(m－58答案：ABD三、填空题(每小题5分，共15分)12．(2025·河北沧州模拟)已知向量a＝4，3，b＝2，且a·b＝1，则解析：由a＝4，3，得a＝42+32＝5，则|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝27答案：3313．(2025·安徽合肥模拟)已知向量a＝(2，0)，b＝(－3，λ)，若cos〈a，b〉＝－35，则λ＝解析：由a＝(2，0)，b＝(－3，λ)，可得a＝2，b＝9+λ2且a·b＝－6，因为cos〈a，b〉＝－35，可得cos〈a，b〉＝a·bab＝答案：±414．(2025·山东青岛模拟)平面向量满足a＝1，a-b+a+b＝4，则〈a－b，解析：如图，当a，b不共线时，取AB＝a，AD＝b，则a-b＝DB，a+b＝AC，故AC+DB＝4，故OA+OB＝2.在△AOB中，AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos∠AOB，故1＝OA+OB2－2OA·OB－2OA·OBcos∠AOB，故cos∠AOB＝3-2OA·OB2OA·OB＝32OA·OB－1.由于OA+OB＝2，故OA+OB≥2OA·OB，故OAOB≤1，当且仅当O