微专题20　函数的极值、最值问题

微专题20函数的极值、最值问题真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2025·全国二卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝________．2．(2024·新高考Ⅰ卷)(多选)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则()A．x＝3是f(x)的极小值点B．当0<x<1时，f(x)<f(x2)C．当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0D．当－1<x<0时，f(2－x)>f(x)3．(2025·全国二卷)(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，则()A．f(0)＝0B．当x<0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2C．f(x)≥2当且仅当x≥3D．x＝－1是f(x)的极大值点4．(2023·新高考Ⅱ卷)(多选)若函数f(x)＝alnx＋bx+cx2(a≠A．bc>0 B．ab>0C．b2＋8ac>0 D．ac<05．(2024·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：利用导数解决函数的极值一直是高考命题的热点，而利用导数解决函数的最值考查的较少，是2026高考命题的热点．预测角度1函数的极值预测1已知函数f(x)＝ex－sinx－ax2.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程．(2)若x＝0不是f(x)的极值点，求a.[听课笔记]f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x0)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性．[对点练1](1)(2025·河南安阳模拟)已知函数f(x)＝x3－3x＋a的极小值为6，则实数a的值为()A．8B．6C．4D．2(2)(2025·河北邯郸模拟)已知函数f(x)＝(x－3)ex＋ax恰有一个极值点，则a的取值范围是()A．(－∞，0]∪B.0C．(－∞，0] D．[0，＋∞)预测角度2函数的最值预测2已知函数f(x)＝a(lnx－a)＋2x(1)讨论f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，1]上的最小值为1，求a的值．[听课笔记](1)求函数的最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论．(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需要研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值．(3)当已知函数的最值求参数的值或范围时，要对参数的范围进行讨论求解．[对点练2](2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)＝ex＋ax＋a(a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)在(0，f(0))处的切线方程.(2)讨论f(x)的单调性，并求最值．请完成：专题强化练31微专题20函数的极值、最值问题真题重做1．解析：由题意，得f′(x)＝3x2－(2a＋6)x＋3a＋2，由x＝2是函数f(x)的极值点，得f′(2)＝3×22－2(2a＋6)＋3a＋2＝0，解得a＝2，则f(x)＝(x－1)(x－2)2，所以f(0)＝(0－1)×(0－2)2＝－4.答案：－42．解析：由题可得f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3x2－12x＋9，令f′(x)>0，即3x2－12x＋9>0，得x<1或x>3，令f′(x)<0，得1<x<3，所以f(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，所以x＝3是f(x)的极小值点，A正确；当0<x<1时，0<x2<x<1，所以f(x)>f(x2)，B错误；当1<x<2时，1<2x－1<3，因为f(x)在(1，3)上单调递减，所以－4<f(2x－1)<0，C正确；f(2－x)＝(2－x－1)2·(2－x－4)＝(x－1)2(－x－2)，所以f(2－x)－f(x)＝(x－1)2(－x－2－x＋4)＝(x－1)2·(－2x＋2)，令(x－1)2(－2x＋2)>0，得x<1，所以当－1<x<0时，f(2－x)>f(x)成立，D正确．故选ACD.答案：ACD3．解析：由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)＝0，故A正确；令x<0，则－x>0，f(－x)＝(x2－3)e－x＋2，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－(x2－3)e－x－2，则x＜0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2，故B正确；f(－1)＝2(e－1)>2，故C错误；当x<0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2，求导得f′(x)＝x2-2x-3ex＝x+1x-3ex，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以x＝－1是f答案：ABD4．解析：因为函数f(x)＝alnx＋bx+cx2(a≠0)，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax2-bx-2cx3，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x答案：BCD5．答案：(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，所以f′(1)＝e－1.又因为f(1)＝e－2，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x－1.答案：(2)f(x)＝ex－ax－a3，则f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)＝ex－a>0，则f(x)在R上单调递增，无极值点，所以a>0.令f′(x)<0，得x<lna，令f′(x)>0，得x>lna，所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，所以x＝lna是f(x)的极小值点，极小值为f(lna)＝elna－alna－a3＝a－alna－a3，则问题转化为解不等式a－alna－a3<0.又因为a>0，所以不等式可化为a2＋lna－1>0.令g(a)＝a2＋lna－1，则g′(a)＝2a＋1a>0所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增．又g(1)＝0，所以不等式a－alna－a3<0的解集为(1，＋∞)，所以a的取值范围是(1，＋∞)．命题预测预测1答案：(1)由已知得f′(x)＝ex－cosx－2ax，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率k＝f′(0)＝e0－1＝0，且f(0)＝1，所以所求切线方程为y＝1.答案：(2)令g(x)＝f′(x)，则g(0)＝f′(0)＝0，g′(x)＝ex＋sinx－2a在区间-π(ⅰ)若a<12，则g′(0)>0，所以存在正数δ使得当x∈(－δ，δ)时，g′(x)>0，f′(x)单调递增．当x∈(－δ，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，δ)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．故x＝0是f(x)的极值点．(ⅱ)若a>12，则g′(0)<0，所以存在正数σ使得当x∈(－σ，σ)时，g′(x)<0，f′(x)单调递减．当x∈(－σ，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0，σ)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．故x＝0是f(x)的极值点．(ⅲ)若a＝12，则当x∈-π2，0时，g′(x)<g′(0)＝0，当x∈0，π2时，g′(x)>g′(0)＝0，g(故当x∈-π2，π2时，f′(x)＝g(x)≥g(0)＝0，f(x)单调递增，故x＝0不是综上，a＝12[对点练1]解析：(1)由已知得f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝±1，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(－∞，－1)或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的极小值为f(1)＝a－2＝6，解得a＝8.故选A.解析：(2)因为f(x)＝(x－3)ex＋ax，所以f′(x)＝(x－2)ex＋a.因为函数f(x)＝(x－3)ex＋ax恰有一个极值点，所以f′(x)＝(x－2)ex＋a＝0有一个变号实数根，即a＝(2－x)ex有一个变号的根，即y＝(2－x)ex与y＝a有一个交点，且在该交点前后两函数的大小关系发生变化．令g(x)＝(2－x)ex，则g′(x)＝(1－x)ex，令g′(x)>0，函数单调递增，解得x<1；令g′(x)<0，函数单调递减，解得x>1，则g(x)max＝g(1)＝e,a＝(2－x)ex有一个根，即a＝e，当x<1，1<x<2时都有(2－x)ex>0，所以a＝e不符合题意；当x≥2时，(2－x)ex≤0，所以a≤0.综上所述，a的取值范围是(－∞，0].故选C.答案：(1)A答案：(2)C预测2答案：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax-2当a≤0时，f′(x)<0，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝2a当x∈0，2a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈2a，+∞时，f′(x)>0综上，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当a>0时，f(x)的单调递减区间为0，2a答案：(2)当a≤0时，f(x)在(0，1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝－a2＋2＝1，解得a＝－1或a＝1(舍去)，故a＝－1；当0<a≤2时，f(x)在(0，1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝－a2＋2＝1，解得a＝1或a＝－1(舍去)，故a＝1；当a>2时，f(x)在0，2a所以f(x)min＝f2a＝aln2a-a＋a＝a(ln2a因为a>2，所以ln2a－a＋1<0，故aln2综上，a＝±1.[对点练2]答案：(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x＋1，求导得f′(x)＝ex＋1，则f(0)＝2，k切＝f′(0)＝2，则f(x)在(0，f(0))处的切线方程y－2＝2(x－0)，即y＝2x＋2.答案：(2)由f(x)＝ex＋ax＋a