提分点 9　抽象函数的性质探索问题

提分点9抽象函数的性质探索问题真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是()A．f(10)>100B．f(20)>1000C．f(10)<1000D．f(20)<100002．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则＝()A．－3B．－2C．0D．13．(2023·新高考Ⅰ卷)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则()A．f(0)＝0B．f(1)＝0C．f(x)是偶函数D．x＝0为f(x)的极小值点4．(2022·新高考Ⅰ卷)(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x).若f(32－2x)，g(2＋x)均为偶函数，则(A．f(0)＝0 B．g(－12)＝C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：抽象函数的性质问题是近几年高考的热点，这类问题能综合检验考生对函数性质的理解与应用能力，符合高考“强化基础、注重综合”的命题导向，应引起重视．预测角度1抽象函数的求值预测1已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－y)－f(x＋y)＝f(x－1)f(y)，且f(－1)＝－2，则f(2025)＝()A．－2B．0C．1D．2[听课笔记]抽象函数求值问题常用赋值法，依据已知条件，对自变量合理赋值解决问题．[对点练1](1)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2x＋2y，且f(1)＝1，则f(1000)＝()A．2999＋2995B．2999＋2996C．21000＋2995D．21000＋2996(2)(2025·河北沧州模拟)已知函数f(x)满足∀x∈R，f(x－1)＋6≥f(x＋5)，f(x＋1)－3≥f(x－2)，若f(3)＝2，则f(2025)＝________．预测角度2抽象函数的奇偶性、周期性与对称性预测2(多选)定义在R上的函数f(x)，g(x)满足g(x＋1)－f(2－x)＝2，f′(x)＝g′(x－1)，且g(x＋2)为奇函数，则下列结论正确的是()A．函数g(x)关于点(2，0)对称B．函数f′(x)关于直线x＝2对称C．函数f(x)的周期为4D．＝0[听课笔记]解决此类问题的难点在于推出函数的周期并能应用．事实上对于函数的对称轴、对称中心和周期，知道其中两个即可推得第三个．[对点练2](1)(2025·河南鹤壁模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若f(2x－1)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，则()A．f(2023)＝0B．f(2024)＝0C．f(2021)＝0D．f(2022)＝0(2)(2025·河北石家庄模拟)(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)是定义在R上的奇函数，则()A．f(x)的图象关于点(1，0)中心对称B．f(x)是周期为2的函数C．f(2027)＝0D．＝0请完成：专题强化练28提分点9抽象函数的性质探索问题真题重做1．解析：因为当x<3时f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2，又因为f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，则f(3)>f(2)＋f(1)＝3，f(4)>f(3)＋f(2)>5，f(5)>f(4)＋f(3)>8，f(6)>f(5)＋f(4)>13，f(7)>f(6)＋f(5)>21，f(8)>f(7)＋f(6)>34，f(9)>f(8)＋f(7)>55，f(10)>f(9)＋f(8)>89，f(11)>f(10)＋f(9)>144，f(12)>f(11)＋f(10)>233，f(13)>f(12)＋f(11)>377，f(14)>f(13)＋f(12)>610，f(15)>f(14)＋f(13)>987，f(16)>f(15)＋f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，则B正确，且无证据表明A，C，D一定正确．故选B.答案：B2．解析：因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0，得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数，令y＝1得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，则f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x－6)，所以函数f(x)的一个周期为6，因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0，由于22除以6余4，所以k=122fk＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－答案：A3．解析：取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；由于f(0)＝0，且函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f(x)的极小值点，也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是函数f(x)的极值点，故D不正确．综上，选ABC.答案：ABC4．解析：因为f(32－2x)，g(2＋x)均为偶函数，所以f(32－2x)＝f(32＋2x)，g(2＋x)＝g(2－x).令t＝32－2x，则x＝34-t2，所以f(t)＝f(3－t)，即f(x)＝f(3－x)．对两边求导，得f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＋g(3－x)＝0，所以g(x)的图象关于点(32，0)对称，即g(32)＝0.又因为g(2＋x)＝g(2－x)，所以g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x)的周期为4×(2－32)＝2，所以g(32)＝g(－12)＝0，故B正确．因为f′(2＋x)＝f′(2－x)，所以f(2＋x)＝－f(2－x)＋C，其中C为常数，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝C，所以f(x)的图象关于点(2，C2)对称．又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝32对称，所以f(x)的周期为4×(2－32)＝2，所以f(－1)＝f(1)，f(4)＝f(2)．又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(1)＝f(2)，所以f(－1)＝f(4)，故C正确．g(x)的图象不关于直线x＝12对称，故D错误．因为f(0)＝f(2)＝C2，所以当C＝0时，f(0)＝0，当答案：BC命题预测预测1解析：令x＝1，y＝0，则f(1－0)－f(1＋0)＝f(1－1)f(0)，可得f(0)＝0；令x＝0，y＝1，则f(0－1)－f(1＋0)＝f(0－1)f(1)，可得f(1)＝2；令x＝1，y＝1，则f(1－1)－f(1＋1)＝f(1－1)f(1)，可得f(2)＝0；令x＝2，y＝1，则f(2－1)－f(2＋1)＝f(2－1)f(1)，可得f(3)＝－2；令x＝3，y＝1，则f(3－1)－f(3＋1)＝f(3－1)f(1)，可得f(4)＝0；令x＝4，y＝1，则f(4－1)－f(4＋1)＝f(4－1)f(1)，可得f(5)＝2.可得f(x)是以4为周期的周期函数，则f(2025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝2.故选D.答案：D[对点练1]解析：(1)由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2x＋2y，f(1)＝1，令y＝1，得f(x＋1)＝f(x)＋f(1)＋2x＋2＝f(x)＋2x＋3，则f(x＋1)－f(x)＝2x＋3，则f(2)－f(1)＝2＋3，f(3)－f(2)＝22＋3，…，f(1000)－f(999)＝2999＋3，将以上各式相加得f(1000)－f(1)＝2＋22＋…＋2999＋3×999＝21-29991-2＋3×(1000－1)＝21000＋2995，所以f(1000)＝21000＋2995＋f(1)＝21000＋2(2)依题意，因为f(x－1)＋6≥f(x＋5)，则f(x)＋6≥f(x＋6)，令x＝－3，则f(－3)＋6≥f(3)，因为f(3)＝2，所以f(－3)≥－4，又因为f(x＋1)－3≥f(x－2)，则f(x)－3≥f(x－3)，即f(x)≥f(x－3)＋3，令x＝0，则f(0)≥f(－3)＋3，即f(0)≥－1，令x＝3，则f(3)－3≥f(0)，所以f(0)≤－1，故得f(0)＝－1，又f(2025)＝f(2019＋6)≤f(2019)＋6≤f(2013)＋6＋6≤…≤f(3)＋337×6＝2024；又f(2025)≥f(2025－3)＋3＝f(2022)＋3≥f(2019)＋3＋3≥…≥f(0)＋675×3＝－1＋2025＝2024，所以2024≤f(2025)≤2024，即f(2025)＝2024.答案：(1)D(2)2024预测2解析：对于A，因为g(x＋2)为奇函数，所以g(x＋2)＝－g(－x＋2)，所以函数g(x)关于点(2，0)对称，故A正确；对于B，因为g(x＋1)－f(2－x)＝2，所以g′(x＋1)＋f′(2－x)＝0，所以g′(x)＋f′(3－x)＝0，又f′(x)＝g′(x－1)，所以f′(x＋1)＝g′(x)，所以f′(x＋1)＋f′(3－x)＝0，即f′(x＋2)＋f′(2－x)＝0，所以函数f′(x)的图象关于点(2，0)对称，故B错误；对于C，因为f′(x)＝g′(x－1)，所以[f(x)－g(x－1)]′＝0，所以f(x)－g(x－1)＝c，c为常数，因为g(x＋1)－f(2－x)＝2，所以g(3－x)－f(x)＝2，所以g(3－x)－g(x－1)＝2＋c，取x＝2，可得c＝－2，所以g(3－x)＝g(x－1)，由g(x＋2)＝－g(－x＋2)，得g(x＋1)＝－g(－x＋3)，所以g(x＋1)＝－g(x－1)，即g(x)＝－g(x－2)，所以g(x＋4)＝－g(x＋2)＝g(x)，所以函数g(x)是周期函数，且周期为4，又f(x)－g(x－1)＝c＝－2，即f(x)＝g(x－1)－2，所以函数f(x)也是以4为周期的周期函数，故C正确；对于D，因为g(x＋2)＝－g(－x＋2)，g(x)＝－g(x－2)，所以g(3)＝－g(1)，即g(3)＋g(1)＝0，所以g(4)＝－g(2)＝0，则g(4)＋g(2)＝0，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0，＝506[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＋g(1)＝g(1)，无法确定该值，故D错误．故选AC.答案：AC[对点练2]解析：(1)因为f(2x－1)为奇函数，所以f(－2x－1)＝－f(2x－1)，令u＝2x－1，则f(u)＝－f(－u－2)，即f(x)＝－f(－x－2)①；令x＝0，得到f(－1)＝0；因为f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝f(2－x)②；结合①②得到f(2－x)＝－f(－x－2)，f(x)＝－f(x＋4)，f(x＋4)＝－f(x＋8)，所以f(x)＝f(x＋8)，所以函数的周期为8，所以f(2023)＝f(252×8＋7)＝f(7)＝f(－1)＝0.故选A.(2)对于A，因为y＝f(x＋1)是R上的奇函数，其图象关于原点对称，又y＝f(x＋1)可看成是函数y＝f(x)向左平移1个单位得到，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确；对于B，由y＝f(x＋1)是R上的奇函数，可得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＝－f(x＋2)，又f(－x)＝f(x)，则f(