微专题12　椭圆、双曲线的定义与离心率问题

微专题12椭圆、双曲线的定义与离心率问题真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：x2a2＋y2＝1(a>1)，C2：x24＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝3e1，则A．233BC．3D．62．(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：x23＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(A．23 B．C．－23 D．－3．(2025·全国二卷)(多选)双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NAA.∠A1MA2＝πB．|MA1|＝2|MA2|C．C的离心率为13D．当a＝2时，四边形NA1MA2的面积为834．(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A＝－25．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点．若|F1A|＝13，|AB6．(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：椭圆、双曲线的定义及离心率问题是近几年高考必考的，常以选择、填空形式命制，考查平面几何知识与方程思想，符合高考综合性强的命题趋势．预测角度1椭圆、双曲线定义的应用预测1已知椭圆C：x216+y212＝1和圆A：x2－2x＋y2＝0，P，Q分别为椭圆C和圆A上的动点，若F为椭圆C的左焦点，则|PQ|＋|A．6B．5C．9D．8[听课笔记]利用椭圆、双曲线定义解决的问题主要有两种类型：一是求线段长度，当题目中涉及椭圆、双曲线上的点到焦点的距离时，可利用定义建立等式关系求解；二是解决最值问题，利用定义将所求最值问题转化为几何问题，结合解三角形的知识求解．[对点练1](1)(2025·河南安阳模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与C的右支交于A，B两点，且|AF2|∶|BF2|∶|AF1|＝1∶2∶3，若△ABF1A．1B．2C．4D．6(2)(2025·山东临沂模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，C的离心率为33，过F2与C长轴垂直的直线交C于P，Q两点，PF1交y轴于点M，若|QM|＝预测角度2椭圆、双曲线离心率的求解预测2已知椭圆的四个顶点围成的四边形的内切圆的面积为S1，四边形的面积为S2，若S1S2＝π[听课笔记]求离心率的关键是确立一个关于a，b，c的等量关系，然后用a，c代换b，进而求ca[对点练2](1)(2025·广东深圳模拟)椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于原点对称，若直线AP，AQA．32B．C．12D．(2)(2025·河南郑州模拟)设F1，F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2且斜率为－34的直线l与C的右支交于点A，与C的左支交于点B，点D满足BD＝12BA，BD预测3已知双曲线Ω：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)上存在点M，使得过点M作圆O：x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为P，Q，满足∠[听课笔记]求离心率范围的关键是确立一个关于a，b，c的不等关系，如本题点M在双曲线上应满足横坐标的绝对值大于等于a，据此得出不等关系．[对点练3](2025·河南豫西重点高中联考)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上异于长轴端点的一点，点M满足PF1＝3PM，请完成：专题强化练16微专题12椭圆、双曲线的定义与离心率问题真题重做1．解析：由已知得e1＝a2-1a，e2＝4-12＝32，因为e2＝3e1，所以32＝3×a答案：A2．解析：由题意，F1(－2，0)，F2(2，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即-2+m2＝2×2+m2，解得m＝－23或m＝－32答案：C3．解析：不妨设以F1F2为直径的圆与渐近线y＝bax交于M，N.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，A1(－a，0)，A2(a，0)．对于A，由|OA1|＝|OA2|，|OM|＝|ON|，得四边形MA1NA2是平行四边形，则∠NA1M＋∠A1MA2＝π，又∠NA1M＝5π6，所以∠A1MA2＝π6，A正确；对于B，由x2+y2=c2，y=bax得x1=ay1=b，x2=-ay2=-b，不妨取M(a，b)，又A1(－a，0)，A2(a，0)，则MA2⊥A1A2，所以cos∠A1MA2＝MA2MA1，即cosπ6＝MA2MA1，所以|MA2|＝32|MA1|，B错误；对于C，在Rt△MA1A2中，∠A1MA2＝π6，|MA2|＝b，|A1A2|＝2a，所以tanπ6＝2ab，则ba＝23，所以离心率e＝ca＝1+ba2＝1+232＝13，C正确；对于答案：ACD4．解析：方法一由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以F2A＝(x1－c，y1)，F2B＝(－c，y0)．因为F2所以A(53c，－23y0).F1A＝(83c，－23y0)，F1B＝(c，y0)，因为F1A⊥F1B，所以F1A·F1B＝0，即83c2-23y02＝0，解得y02＝4c2.因为点A(53c，－23y0)在双曲线C上，所以25c29a2-4y029b2＝1方法二由前面方法一得A5c3，-2y03，y02＝4c2，所以|AF1|＝5c3+c2+-2y032＝64c29+4y029＝64c29+16c29＝45c3答案：35．解析：因为AB与y轴平行，所以AB与x轴垂直，结合双曲线的对称性知|AF2|＝|BF2|＝5.又|F1A|＝13，所以|F1F2|＝F1A2-AF22＝132-52＝12，则c＝6，而2a＝|AF1|－|AF2|＝13－5＝8答案：36．解析：由题意知e＝ca＝12，所以a＝2c，b＝3c，所以△AF1F2是等边三角形，所以DE垂直平分AF2，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，所以△ADE的周长为|DE|＋|AD|＋|AE|＝|DE|＋|DF2|＋|EF2|.由椭圆的定义，可知|DE|＋|DF2|＋|EF2|＝4a＝8c.因为直线DE的斜率k＝tan30°＝33，所以直线DE的方程为y＝33(x＋c)，即x＝3y－c.由椭圆方程x24c2+y23c2＝1，得3x2＋4y2＝12c2.将x＝3y－c代入并整理，得13y2－63cy－9c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝63c13，y1y2＝－9c213，所以|DE|＝1+1k答案：13命题预测预测1解析：易知椭圆C：x216+y212＝1中a＝4，c＝2，即可得F(－2，0)，又圆A：x2－2x＋y2＝0的圆心为A(1，0)，半径r＝1，易知椭圆右焦点F′(2，易知椭圆上一点P到圆A上任意一点Q的最小距离为|PQ|＝|PA|－r＝|PA|－1，因此可将|PQ|＋|PF|的最小值转化为求|PA|＋|PF|－1的最小值，由椭圆定义可得|PA|＋|PF|－1＝|PA|＋2a－|PF′|－1＝|PA|－|PF′|＋7≥－|AF′|＋7＝6；此时点P在(－4，0)处，使得|PQ|＋|PF|的最小值为6.故选A.答案：A[对点练1]解析：(1)设|AF2|＝m，因为|AF2|∶|BF2|∶|AF1|＝1∶2∶3，所以|BF2|＝2m，|AF1|＝3m.根据双曲线的定义，平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹为双曲线．对于点A在双曲线右支上，有|AF1|－|AF2|＝2a，即3m－m＝2a，可得m＝a.对于点B在双曲线右支上，有|BF1|－|BF2|＝2a，则|BF1|＝|BF2|＋2a＝2m＋2a＝4a.已知△ABF1的周长为20，△ABF1的周长L＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|，而|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m＋2m＝3m＝3a，所以L＝3a＋4a＋3a＝20，解得a＝2.因此双曲线C的实轴长为2a＝4.故选C.解析：(2)因为离心率e＝ca＝33，且在椭圆中a2＝b2＋c2可得a＝3c，b＝2F1(－c，0)，F2(c，0)，因为PQ垂直于x轴，垂足为F2，故xP＝xQ＝c，代入椭圆方程可得P(c，b2a)，Q(c，－b2a)，又M为PF1与y轴交点，可得M(0，b22a)，因为|QM|＝23，由两点之间的距离公式可得(0－c)2＋(b22a+b2a)2＝(23)2，又a＝3c，b＝2c，解得c＝3，a＝3，则△PQF1的周长为|PQ|＋|QF1|＋|PF1|＝|PF2|＋|PF1|答案：(1)C答案：(2)12预测2解析：根据题意作图，如图，其中A1，A2，B1，B2是椭圆的四个顶点，O是椭圆的中心，设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，设内切圆的半径为r，则S1＝πr2.连接OA2，OB2，则在△OA2B2中，有12ra2+b2＝12ab，所以r＝aba2+b2，所以S1＝πa2b2a2+b2.四边形A1B1A2B2的面积S2＝12×2a×2b＝2ab，所以S1S2＝πab2a2+b2＝π5，所以2(a2＋b2)＝5ab，所以a＝2b或a＝1答案：3[对点练2]解析：(1)设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，A(－a，0)，由题有kAP·kAQ＝y0x0+a·-y0-x0+a＝－14，即y02a2－x02＝14，又x02a2＋y0解析：(2)由BD＝12BA得D为AB的中点．又BD·F1D＝0，所以F1D⊥AB，所以|AF1|＝|BF1|.设|AF1|＝|BF1|＝m，由双曲线的定义，得|BF2|＝2a＋m，|AF2|＝m－2a，所以|AB|＝|BF2|－|AF2|＝4a，从而|AD|＝12|AB|＝2a，所以|DF2|＝|AD|＋|AF2|＝m.由直线l的斜率为－34，得tan∠AF2F1＝34，又sin2∠AF2F1+cos2∠AF2F1=1，sin∠AF2F1cos∠AF2F1=34⇒cos∠AF2F1＝45，在Rt△DF1F2中，|DF2|＝|F1F2|cos∠AF2F1，即m＝2c×45＝8c5.在△AF1F2中，由余弦定理得|AF1|2＝F1F22+AF22－2|F1F2|答案：(1)A答案：(2)5预测3解析：如图，连接OM，OP，由已知得MO平分∠PMQ，则|OM|＝2|PO|＝2b，因为点M在双曲线Ω：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)上，所以2b≥a，所以ba≥12，所以双曲线Ω的离心率e答案