安徽省马鞍山市2026届高三一模数学试题（含答案）

安徽省马鞍山市2026届高三一模数学试题及答案解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则的虚部为（）A.B.C.D.2.设全集，集合，则（）A.B.C.D.3.函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上得极值点有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.若，则（）A.B.C.D.5.位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏西30°，且与甲船相距的处的乙船.那么的正弦值为（）A.B.C.D.6.已知圆的圆心在抛物线上，且圆与直线相切，当圆的面积最小时，圆心的纵坐标为（）A.B.C.D.7.两个粒子从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，设此时粒子相对粒子的位移为，则在上得投影向量为（）A.B.C.D.8.已知数列满足：，，则（）A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.9.已知，条件，则成立的充分不必要条件有（）A.B.C.D.且10.已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，则（）A.的焦距为B.的方程为C.的焦点到渐近线的距离为2D.与直线仅一个公共点11.已知函数列，则（）A.在区间上单调递减B.的图象关于直线对称C.的最小值为D.的最大值为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，且，则的值为.13.已知一个球的体积和表面积的数值相等，若该球的内接圆柱的高与其底面直径相等，则此圆柱的侧面积为.14.已知事件满足，，，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）为响应“全民健身”号召，某社区统计了5名居民每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）与身体活力指数的对应数据，结果如下表所示：（1）根据表中数据，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度；（2）求身体活力指数关于每周锻炼时长的一员线性回归方程，并利用该方程计算居民的身体活力指数残差.参考公式：相关系数；回归系数.16.（15分）如图，四棱锥中，，,，.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.17.（15分）若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和，已知数列是以5为公比的等比和数列，且，，记.（1）求证：数列是周期数列，并指出其周期；（2）求的值.18.（17分）已知，，动点满足直线的斜率与直线的斜率的商是，记点的轨迹为.（1）求的方程；（2）已知椭圆以分别为左、右焦点，离心率为.直线与轴平行，与交于点，与交于两点.直线与轴交于点.（ⅰ）求面积的最大值；（ⅱ）求证：为定值，并求出该定值.19.（17分）已知函数，其中.（1）当时，求在区间上的最大值；（2）若在上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围；（3）设为在内的极小值点，求证：.答案解析一、选择题1.A解析：∵，∴的虚部为.2.D解析：，由解得或，∵，∴，∴.3.B解析：函数的图象与轴有3个公共点，从左到右依次记为，当时，；当时，；当时，，当且仅当时取等号，则函数在,上单调递增,上单调递减，因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，∴极值点个数为2.4.C解析：令，则原等式化为，∴.5.A解析：在中，，，，由余弦定理，得，由正弦定理得.6.D解析：由圆的圆心在抛物线上，可设,又圆与直线相切，则圆的半径，当时取等号，即当时圆的半径最小，故圆的面积最小，此时圆心的纵坐标为4.7.B解析：由向量，，可得粒子相对粒子的位移为，可得，且，∴在上得投影向量为.8.D解析：数列中，，函数是增函数，且当时，，则，，，…，，因此，故AC错误；，令函数，则，∴函数在上单调递减，则，而，则，因此，∴，故B错误，D正确.二、选择题9.ABD解析：对于A，由，得，而也能使成立，因此是成立的充分不必要条件，故A正确；对于B，，，由，得，而也能使成立，因此是成立的充分不必要条件，故B正确；对于C，当时，成立，而不等式不成立，因此不是成立的充分条件，故C错误；对于D，由且，得且，则，而也能使成立，因此且，是成立的充分不必要条件，故D正确.10.CD解析：依题意，，∴，若双曲线焦点在轴上，则由，解得，∴，∴焦距为，若双曲线焦点在轴上，则由，解得，∴，∴焦距为，故A错误；由A选项分析可知，双曲线的焦点位置不确定，方程有两个，故B错误；若双曲线焦点在轴上，由双曲线的对称性，不妨取焦点，渐近线，则焦点到渐近线的距离，同理若双曲线焦点在轴上，可得，故C正确；∵与双曲线的一条渐近线平行，故与直线只有一个公共点，故D正确.11.ACD解析：对于A，，当时，，在区间上单调递减，故A正确；对于B，，，，∴，∴的图象关于直线不对称，故B错误；对于CD，，，，因此函数是以为周期的周期函数，求导得，当时，，，，当时，，，，函数在上单调递减，在上单调递增，∴当时，，，由额周期性得在上得最大值为1，最小值为，因此，，故CD正确.三、填空题12.解析：由题意可得，当时，；当时，，由，则，解得，∴.13.解析：设球的半径为，则球的体积为，球的表面积为，∵球的体积与其表面积的数值相等，∴，解得，设圆柱底面半径为，作球的内接圆柱的轴截面图，如图，由题意可知，解得，∴圆柱的侧面积wield.14.解析：由，得，，，由全概率公式，得，则，即，解得，，因此，∴.四、解答题15.解：（1）由给定数表得，，，，，∴样本相关系数，∴与成正相关，有较强的相关性.（2）由（1）得，，∴身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程为，当时，，∴刡的身体活力指数残差为.16.解：（1）∵在四棱锥中，，,∴四边形为等腰梯形，，则，∴，则由余弦定理得，在中，，于是，因此，又，即，而，平面，则平面，又平面，∴平面平面.（2）在平面内过作，由（1）得直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面与平面的法向量分别为，，则，不妨令，则，，不妨令，则，∴平面与平面夹角的余弦值为.17.解：（1）由及可得，由此可得递推关系，∴，可得，即数列是周期数列，周期为2.（2），，由（1）知，周期为2，∴，，∴.18.解：（1）由题知，，，设，则，，由题意知，均不为0，即，再由，得，即.∴的方程为.（2）（ⅰ）∵椭圆的离心率为，故，，∴椭圆的方程为，如图，设，，其中，，∵在上，∴，由基本不等式，，故，当且仅当时，等号成立，而面积，∴面积的最大值为.（ⅱ）设，，则三点共线，∴，即，解得，则，，∴，为定值.19.解：（1）当时，，则，当时，，故，单调递增，故.（2）由题意可得，令，则，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减.①当时，，则在上恒成立，此时单调递减，不存在极值点；②当时，，，，由零点存在