山西省运城市2026届高三下学期高考考前模拟测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省运城市2026届高三下学期高考考前模拟测试试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以.2.在中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，且，所以.又因为中，，由正弦定理得，所以.3.已知函数，则曲线在处的切线斜率为（）A.－6 B.－3 C.3 D.6【答案】A【解析】，得.所以，解得.所以.所以曲线在处的切线斜率为.4.已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，得，因为方程表示圆，所以，解得.所以圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，若直线与圆相交可得，则可得，解得.所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件.5.在平行四边形中，，则（）A.3 B. C.6 D.【答案】D【解析】在平行四边形中，，，所以.故选：D.6.若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，设，则，即，所以，解得，所以，由可得，作出函数与的图象如图所示：由图可知，函数与有且只有三个交点，故函数的零点个数为.7.若函数的图象关于点对称，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.因为，所以.令，得，所以函数的对称中心为.因为函数的图象关于点对称，所以，解得，取最大的整数.此时，所以的最大值为.8.已知某圆锥的外接球的表面积是36，则该圆锥的体积的最大值是（）A.32 B. C.64 D.【答案】B【解析】由题意可得：外接球的表面积，根据球的表面积公式，可得.设圆锥底面半径为，高为，由球的截面性质可知，，且.故圆锥的体积为.令，则.当，，单调递增.当，，单调递减.即当时，取得体积最大值，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，且（），则（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】因为，所以，又，所以，即，所以，解得.10.已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（）A.圆与直线相切 B.圆的面积的最小值是C.的最大值是 D.存在点，使得【答案】ACD【解析】如图：过点作于点，设，则，.对于A，由抛物线的定义可知，圆心到直线的距离等于半径，所以圆与直线相切，A正确；对于B，因为圆经过点，所以圆的半径，所以圆的面积的最小值是，B错误；对于C，因为，所以，所以，令，则，当且仅当，即时等号成立，所以C正确；对于D，，，化简得，得，即，再代入得，所以存在或使得成立，D正确.11.若函数的定义域为，且，，则（）A.B.，C.是偶函数D.当时，【答案】BCD【解析】对于A，令，得，故A错误；对于B，令，得，因为，所以，即，所以当时，成立，故，，故B正确；对于C，令，得，即，所以，故函数是定义在上的奇函数，令，因为，所以函数是偶函数，即是偶函数，故C正确；对于D，令，得，当时，有，当时，有，由C可知，函数是定义在上的奇函数，所以当时，有，所以，当时，由A可知，，，即，此时成立，当时，，同理，当时，成立，所以当时，成立，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知一组数据5，a，，7，10的平均数为5，则这组数据的第30百分位数为______．【答案】2【解析】因为数据5，a，，7，10的平均数为5，所以，解得，所以这组数据为，按从小到大顺序排列为,又，所以这组数据的第30百分位数为2.13.如图，某片雪花有6个主枝，每个主枝上有9个侧枝，从该雪花的所有侧枝中随机选取2个，则它们位于同一主枝上的概率为______．【答案】【解析】某片雪花的总侧枝数为，故它们位于同一主枝上的概率为.14.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的两支分别交于，两点，且，若坐标原点到直线的距离为，则双曲线的离心率是______【答案】【解析】过作垂足为，则，，由，得，过点作于点Q，则，由O为的中点，得，因为为锐角，所以，有，得，所以，由双曲线的定义知，，即，解得，又，所以..，所以双曲线的离心率为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为．（1）若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率；（2）现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望．解：（1）单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立，因此单个志愿者通过培训考核的概率为，则单个志愿者没有通过培训考核的概率为.因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”，因此所求概率.（2）由题意，服从超几何分布，的所有可能取值为，概率公式为，分别计算概率得，，，，因此的分布列为：所以数学期望为.16.如图，在多面体中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，且．（1）证明：平面．（2）求多面体的体积．（3）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：因为平面平面，，且平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面；（2）解：由题意可知，所以由平面得平面，因为平面，平面，所以，所以由可知四边形是边长为2的正方形，所以，又，所以，所以多面体的体积为；（3）解：由平面和可建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，因为，平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，所以，平面与平面夹角的余弦值为.17.设正项数列的前n项和为，且．（1）求的通项公式;（2）若，记数列的前n项和为，证明：．（1）解：依题意，当时，，，则；当时，，，两式相减，整理可得，又为正项数列，故，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.（2）证明：由（1）可知，所以，显然，当，则，即，此时，综上，成立.18.已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为．（1）求C的方程；（2）若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程；（3）若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t．解：（1）由题意可得：，即，由离心率，所以.故椭圆方程为：.（2）倾斜角为，可得斜率.设直线方程为：，与椭圆联立：代入得：，满足，即.则，.设，，则中点横坐标：，纵坐标：.消去参数得：，所以中点轨迹方程为：.（3）由题意可知直线：与椭圆交于,，设，，，，与椭圆联立方程：，消去可得.则，，根据，可得，即，整理得：，即，可得：，因为，为常数，则不恒成立.，则，得：.19.柯西不等式是一个重要不等式，在代数、几何等领域中有广泛应用，柯西不等式的二维形式：对任意的实数都有，当且仅当时等号成立，已知函数．（1）当时，证明：．（2）已知有两个不同的零点．①求a的取值范围；②证明：．（1）证明：当时，函数，则函数定义域为，，所以当