部编版高中数学必修第一册第9章解题技巧训练习题及答案

部编版高中数学必修第一册第9章解题技巧训练习题及答案第1页共1页部编版高中数学必修第一册第9章解题技巧训练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知直线l：y=kx+b与圆C：(x-1)²+(y+2)²=4相交于A、B两点，且线段AB的中点为(2,-1)，则直线l的斜率k等于A.1B.-1C.2D.-2参考答案：B2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是A.1B.2C.3D.4参考答案：B3.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，则角C的度数是A.75°B.105°C.120°D.135°参考答案：A4.已知等差数列{a_n}中，a₁=3，a₅=9，则该数列的通项公式a_n等于A.2n+1B.3nC.n+2D.4n-1参考答案：A5.函数g(x)=sin(x+π/3)的图像关于哪个点中心对称A.(0,0)B.(π/3,0)C.(π/6,0)D.(π/2,0)参考答案：C6.若向量a=(3,-2)，向量b=(-1,4)，则向量a+2b的坐标是A.(1,8)B.(5,12)C.(7,0)D.(11,-8)参考答案：A7.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为5的概率是A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18参考答案：A8.已知圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：(x-3)²+(y-4)²=r²相切，则r的值是A.2B.3C.4D.5参考答案：B9.函数f(x)=e^x-x在区间(0,+∞)上的单调性是A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增参考答案：A10.在△ABC中，若AB=5，AC=7，BC=8，则该三角形是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.已知直线l₁:y=k₁x+b₁与直线l₂:y=k₂x+b₂相交于点P(1,2)，则k₁+k₂的值为______。参考答案：12.若函数f(x)=ax²+bx+c的图像经过点A(1,0)，B(2,3)，且对称轴为x=-1，则a+b+c的值为______。参考答案：53.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的余弦值为______。参考答案：√3/24.已知圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：(x-3)²+(y-4)²=r²相切，则r的值为______。参考答案：55.函数g(x)=sin(x+π/3)的图像关于哪个点中心对称______。参考答案：(π/6,0)6.若向量a=(3,-2)，向量b=(-1,4)，则向量a+b的模长为______。参考答案：√267.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为5的概率是______。参考答案：1/98.在△ABC中，若AB=5，AC=7，BC=8，则△ABC的面积为______。参考答案：129.函数f(x)=e^x-x在区间(0,+∞)上的单调性为______。参考答案：单调递增10.在△ABC中，若AB=5，AC=7，BC=8，则∠BAC的余弦值为______。参考答案：3/5三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点A(1,2)且对称轴为x=-1，则b/a=-2。参考答案：√2.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则tanC=√3-1。参考答案：×3.抛物线y=2x^2-4x+1的焦点到准线的距离为1/4。参考答案：×4.若向量u=(1,2)，v=(3,4)，则向量u与v的夹角余弦值为7/10。参考答案：√5.函数f(x)=|x-1|+|x+1|在x=-1处取得最小值0。参考答案：√6.已知圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：(x-3)²+(y-4)²=4相切。参考答案：×7.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+2n，则该数列是等差数列。参考答案：√8.函数f(x)=(x-1)/(x+1)在定义域内是奇函数。参考答案：×9.若直线y=kx+b与圆(x-2)^2+(y-3)^2=4相切，则k^2+b^2=13。参考答案：√10.在△ABC中，若AB=5，AC=7，BC=8，则△ABC是直角三角形。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.简述等差数列的通项公式及其推导过程。参考答案：等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1为首项，d为公差。推导过程：由等差数列的定义，任意两项之差为常数d，即a_{n+1}-a_n=d。累加得到a_n-a_1=(n-1)d，整理即得通项公式。2.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，如何通过其图像确定a、b、c的符号？参考答案：通过函数图像确定a、b、c符号的方法：①a的符号由抛物线开口方向决定，开口向上a0，开口向下a0；②b的符号由对称轴位置决定，对称轴x=-b/(2a)在y轴右侧b0，左侧b0；③c的符号由图像与y轴交点位置决定，交点在y轴正半轴c0，负半轴c0。3.列举三种常见的函数模型，并简述其应用场景。参考答案：三种常见函数模型：①一次函数y=kx+b，用于描述线性关系，如匀速直线运动；②指数函数y=a^x，用于描述指数增长或衰减，如人口增长；③对数函数y=log_a(x)，用于描述对数增长，如地震强度。4.在直角坐标系中，如何判断两条直线是否平行？参考答案：判断两条直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2是否平行的方法：①若k1=k2且b1≠b2，则l1∥l2；②若两条直线斜率不存在（垂直于x轴），则它们平行。5.简述抛物线的标准方程及其几何意义。参考答案：抛物线的标准方程：①焦点在x轴正半轴，p0时，(y-k)²=2p(x-h)；②焦点在x轴负半轴，p0时，(y-k)²=-2p(x-h)；③焦点在y轴正半轴，p0时，(x-h)²=2p(y-k)；④焦点在y轴负半轴，p0时，(x-h)²=-2p(y-k)。其中(h,k)为顶点坐标，p为焦点到准线的距离。6.已知三点A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，判断它们是否共线。参考答案：判断三点A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)是否共线的方法：计算向量AB和向量AC的斜率，若斜率相等，则三点共线。向量AB=(3-1,4-2)=(2,2)，斜率k1=2/2=1；向量AC=(5-1,6-2)=(4,4)，斜率k2=4/4=1。因为k1=k2，所以A、B、C三点共线。7.简述三角函数的定义域和值域。参考答案：三角函数的定义域：①sinx、cosx的定义域为R（所有实数）；②tanx的定义域为{x|x≠kπ+π/2，k∈Z}；③cscx的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}；④secx的定义域为{x|x≠kπ+π/2，k∈Z}；⑤cotx的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}。值域：①sinx、cosx的值域为[-1,1]；②tanx、cotx的值域为R；③cscx、secx的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞)。8.如何利用导数判断函数的单调性？参考答案：利用导数判断函数单调性的方法：①若f'(x)0，则f(x)在区间I上单调递增；②若f'(x)0，则f(x)在区间I上单调递减。具体步骤：①求函数f(x)的导数f'(x)；②确定导数f'(x)的符号；③根据导数符号判断函数的单调性。五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某工厂计划生产A、B两种产品，每生产一件A产品需要消耗2个工时和3千克原材料，每生产一件B产品需要消耗3个工时和2千克原材料。工厂现有工时共120个，原材料共150千克。若工厂决定优先生产B产品，且要求B产品的产量不少于A产品的2倍，求工厂最多能生产多少件B产品？A.20件B.30件C.40件D.50件参考答案：C2.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,2)和(-1,-6)，且对称轴为x=1。求函数f(x)的解析式。A.f(x)=2x^2-4x+3B.f(x)=-2x^2+4x-1C.f(x)=x^2-2x-3D.f(x)=-x^2+2x+5参考答案：A3.在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，BC=10。求AC的长度。A.5√2B.5√3C.10√2D.10√3参考答案：B4.某物体从高处自由下落，不计空气阻力。经过3秒时，物体距离地面的高度是多少？（取g=10m/s^2）A.45米B.60米C.75米D.90米参考答案：B5.已知直线l₁:y=2x+1与直线l₂:y=kx-3垂直，求k的值。A.-1/2B.1/2C.-2D.2参考答案：D6.某城市计划修建一条环形公园，总长度为20公里。如果每天修2公里，且要求每周至少休息一天，求修建这条环形公园需要多少天？A.8天B.9天C.10天D.11天参考答案：C7.已知圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：(x-2)²+(y-3)²=r²相切，求r的值。A.2B.3C.√5D.5参考答案：C8.某班级有男生30人，女生20人。现要随机选出5人参加活动，求选出的5人中至少有3名女生的概率。A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6参考答案：A标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：本题考查直线与圆的位置关系。由题意知线段AB的中点为(2,-1)，则圆心(1,-2)到直线l的距离等于半径2。直线l的斜率为-1，故方程为y=-x+b，代入中点坐标得-1=-2+b，解得b=1。所以直线方程为y=-x+1，斜率k=-1。故选B。2.参考答案：B解析：本题考查绝对值函数的性质。函数f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和。当x在-2和1之间时，距离之和最小，为3-1=2。故选B。3.参考答案：A解析：本题考查三角形内角和定理。三角形内角和为180°，所以角C=180°-45°-60°=75°。故选A。4.参考答案：A解析：本题考查等差数列的性质。由a₁=3，a₅=9，得4d=6，所以d=3/2。通项公式a_n=a₁+(n-1)d=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2=2n+1。故选A。5.参考答案：C解析：本题考查正弦函数的对称性。函数g(x)=sin(x+π/3)的图像关于点(π/6,0)中心对称，因为当x=π/6时，g(π/6)=sin(π/2)=1，不等于0，所以对称中心应为(π/6,0)。故选C。6.参考答案：A解析：本题考查向量的线性运算。向量a+2b=(3,-2)+2(-1,4)=(3-2,-2+8)=(1,6)。故选A。7.参考答案：A解析：本题考查古典概型。抛掷两次骰子共有36种等可能结果，点数之和为5的情况有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，共4种。所以概率为4/36=1/9。故选A。8.参考答案：B解析：本题考查两圆的位置关系。圆心距为√((3-0)²+(4-0)²)=5。当两圆外切时r=5-1=4；当两圆内切时r=5+1=6。故选B。9.参考答案：A解析：本题考查指数函数与对数函数的性质。函数f(x)=e^x-x的导数为f'(x)=e^x-1。当x0时，e^x1，所以f'(x)0，函数单调递增。故选A。10.参考答案：B解析：本题考查勾股定理的逆定理。由AB²+BC²=5²+8²=89，AC²=7²=49，得AB²+BC²≠AC²，所以不是直角三角形。又因为AB≠AC，所以不是等腰三角形。由AC²AB²+BC²，得∠B90°，所以是钝角三角形。故选B。二、填空题1.参考答案：1解析：本题考查直线方程与交点坐标。由题意，点P(1,2)在直线l₁和l₂上，代入得2=k₁+b₁，2=k₂+b₂，两式相加得4=(k₁+k₂)+(b₁+b₂)，又因为直线l₁与l₂相交，其斜率k₁与k₂不相等，故k₁+k₂=2。2.参考答案：5解析：本题考查二次函数图像与系数关系。由题意，f(1)=a+b+c=0，f(2)=4a+2b+c=3，对称轴x=-1，即-b/2a=-1，解得b=2a。代入前两式得a=1，b=2，c=-3，故a+b+c=0。3.参考答案：√3/2解析：本题考查三角形内角和与三角函数。由题意，角C=180°-60°-45°=75°，cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)-(√2/2)(1/2)=(√6-√2)/4。4.参考答案：5解析：本题考查圆与圆的位置关系。由题意，圆C₁的圆心为(0,0)，半径为1；圆C₂的圆心为(3,4)，半径为r。两圆相切，故圆心距等于半径之和或之差，即√(3²+4²)=1+r或1+r=√(3²+4²)-1，解得r=5或r=0（舍去），故r=5。5.参考答案：(π/6,0)解析：本题考查三角函数图像变换。由题意，函数g(x)=sin(x+π/3)的图像是将y=sinx的图像向左平移π/3个单位得到的，故其中心对称点为(π/6,0)。6.参考答案：√26解析：本题考查平面向量运算与模长。由题意，向量a+b=(3-1,-2+4)=(2,2)，其模长|a+b|=√(2²+2²)=√8=2√2。7.参考答案：1/9解析：本题考查古典概型。由题意，抛掷一枚骰子两次，基本事件总数为6×6=36，两次出现的点数之和为5的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4个，故概率为4/36=1/9。8.参考答案：12解析：本题考查海伦公式。由题意，s=(5+7+8)/2=10，△ABC的面积S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]=√[10(10-5)(10-7)(10-8)]=√[10×5×3×2]=√300=10√3。9.参考答案：单调递增解析：本题考查指数函数与导数。由题意，f'(x)=e^x-1，当x0时，e^x1，故f'(x)0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增。10.参考答案：3/5解析：本题考查余弦定理。由题意，cos∠BAC=(AB²+AC²-BC²)/(2×AB×AC)=(5²+7²-8²)/(2×5×7)=(25+49-64)/(70)=10/70=3/7。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查“抛物线对称轴与系数关系”。抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴为x=-b/(2a)，题中给出对称轴为x=-1，则-b/(2a)=-1，解得b/a=2。题干说b/a=-2，与计算结果矛盾，故错误。2.参考答案：×解析：本题考查“三角形内角和与三角函数”。△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°。tanC=tan75°=(tan45°+tan30°)/(1-tan45°tan30°)=(1+√3/3)/(1-1×√3/3)=(3+√3)/(3-√3)=3+2√3。题干说tanC=√3-1，与计算结果矛盾，故错误。3.参考答案：×解析：本题考查“抛物线焦点与准线距离”。抛物线y=2x^2-4x+1可化为y=2(x-1)^2-1，顶点为(1,-1)，对称轴为x=1。焦点坐标为(1,-1+1/(4×2))=(1,-3/8)，准线方程为y=-5/8。焦点到准线距离为|-3/8-(-5/8)|=1/2。题干说距离为1/4，与计算结果矛盾，故错误。4.参考答案：√解析：本题考查“向量夹角余弦公式”。向量u与v的夹角余弦值为(u•v)/(||u||•||v||)。u•v=1×3+2×4=11，||u||=√(1^2+2^2)=√5，||v||=√(3^2+4^2)=5。余弦值=11/(√5×5)=11/5√5=11√5/25=7/10。题干说法正确。5.参考答案：√解析：本题考查“绝对值函数性质”。f(x)=|x-1|+|x+1|在x=-1处取得最小值。当x≤-1时，f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x-2；当-1x1时，f(x)=-(x-1)+(x+1)=2；当x≥1时，f(x)=(x-1)+(x+1)=2x。在x=-1处，f(x)=-2(-1)-2=0。在x=1处，f(x)=2(1)=2。故f(x)在x=-1处取得最小值0。题干说法正确。6.参考答案：×解析：本题考查“圆与圆位置关系”。圆C₁：x²+y²=1，圆心O₁(0,0)，半径r₁=1。圆C₂：(x-3)²+(y-4)²=4，圆心O₂(3,4)，半径r₂=2。圆心距|O₁O₂|=√((3-0)²+(4-0)²)=√(9+16)=5。r₁+r₂=1+2=3。因为圆心距大于半径和，所以两圆外离。题干说两圆相切，与计算结果矛盾，故错误。7.参考答案：√解析：本题考查“数列求通项与前n项和关系”。数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+2n。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=n^2+2n-n^2+2n-2n+2=2n+1。当n=1时，a_1=S_1=1^2+2×1=3。a_n=2n+1对n=1也成立。故a_n=2n+1。a_{n+1}-a_n=[2(n+1)+1]-(2n+1)=2。数列是等差数列。题干说法正确。8.参考答案：×解析：本题考查“函数奇偶性”。函数f(x)=(x-1)/(x+1)的定义域为x≠-1。f(-x)=(-x-1)/(-x+1)=(x+1)/(x-1)≠-(x-1)/(x+1)=-f(x)。故f(x)不是奇函数。题干说法错误。9.参考答案：√解析：本题考查“直线与圆相切条件”。直线y=kx+b与圆(x-2)^2+(y-3)^2=4相切，则圆心(2,3)到直线kx+b-y=0的距离等于半径2。距离d=|2k+b-3|/√(k^2+1)=2。|2k+b-3|=2√(k^2+1)。两边平方得(2k+b-3)^2=4(k^2+1)。4k^2+4kb+b^2-12k-6b+9=4k^2+4。4kb+b^2-12k-6b+5=0。k^2+b^2=13。题干说法正确。10.参考答案：√解析：本题考查“勾股定理”。在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=8。计算AB^2+BC^2=5^2+8^2=25+64=89。AC^2=7^2=49。因为AB^2+BC^2=AC^2，所以△ABC是直角三角形。题干说法正确。四、简答题1.参考答案：等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1为首项，d为公差。推导过程：由等差数列的定义，任意两项之差为常数d，即a_{n+1}-a_n=d。累加得到a_n-a_1=(n-1)d，整理即得通项公式。解析：本题考查等差数列的通项公式及其推导过程。等差数列是高中数学的重要内容，其通项公式是解决等差数列相关问题的基础。推导过程需要掌握等差数列的定义和基本性质，通过累加法可以得到通项公式。该题考察学生对等差数列基本概念的理解和推导能力。2.参考答案：通过函数图像确定a、b、c符号的方法：①a的符号由抛物线开口方向决定，开口向上a0，开口向下a0；②b的符号由对称轴位置决定，对称轴x=-b/(2a)在y轴右侧b0，左侧b0；③c的符号由图像与y轴交点位置决定，交点在y轴正半轴c0，负半轴c0。解析：本题考查函数图像与系数符号的关系。函数f(x)=ax^2+bx+c的图像是抛物线，其系数a、b、c决定了抛物线的开口方向、对称轴位置和与y轴交点位置。通过观察图像可以判断这些系数的符号。该题考察学生对二次函数图像性质的理解和应用能力。3.参考答案：三种常见函数模型：①一次函数y=kx+b，用于描述线性关系，如匀速直线运动；②指数函数y=a^x，用于描述指数增长或衰减，如人口增长；③对数函数y=log_a(x)，用于描述对数增长，如地震强度。解析：本题考查常见函数模型及其应用。函数模型是数学应用的重要工具，不同函数模型适用于不同的实际问题。一次函数描述线性关系，指数函数描述指数增长或衰减，对数函数描述对数增长。该题考察学生对常见函数模型的理解和应用场景的掌握。4.参考答案：判断两条直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2是否平行的方法：①若k1=k2且b1≠b2，则l1∥l2；②若两条直线斜率不存在（垂直于x轴），则它们平行。解析：本题考查直线平行的判定条件。两条直线平行的条件是它们的斜率相等且截距不相等。该题考察学生对直线方程和几何性质的理解和应用能力。5.参考答案：抛物线的标准方程：①焦点在x轴正半轴，p0时，(y-k)²=2p(x-h)；②焦点在x轴负半轴，p0时，(y-k)²=-2p(x-h)；③焦点在y轴正半轴，p0时，(x-h)²=2p(y-k)；④焦点在y轴负半轴，p0时，(x-h)²=-2p(y-k)。其中(h,k)为顶点坐标，p为焦点到准线的距离。解析：本题考查抛物线的标准方程及其几何意义。抛物线的标准方程有四种形式，分别对应焦点在x轴或y轴正负半轴的情况。该题考察学生对抛物线方程和几何性质的理解和掌握。6.参考答案：判断三点A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)是否共线的方法：计算向量AB和向量AC的斜率，若斜率相等，则三点共线。向量AB=(3-1,4-2)=(2,2)，斜率k1=2/2=1；向量AC=(5-1,6-2)=(4,4)，斜率k2=4/4=1。因为k1=k2，所以A、B、C三点共线。解析：本题考查三点共线的判定方法。三点共线的条件是它们构成的向量斜率相等。通过计算向量AB和向量AC的斜率可以判断三点是否共线。该题考察学生对向量知识和几何性质的理解和应用能力。7.参考答案：三角函数的定义域：①sinx、cosx的定义域为R（所有实数）；②tanx的定义域为{x|x≠kπ+π/2，k∈Z}；③cscx的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}；④secx的定义域为{x|x≠kπ+π/2，k∈Z}；⑤cotx的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}。值域：①sinx、cosx的值域为[-1,1]；②tanx、cotx的值域为R；③cscx、secx的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞)。解析：本题考查三角函数的定义域和值域。三角函数是高中数学的重要内容，其定义域和值域是解决三角函数相关问题的基础。该题考察学生对三角函数基本性质的理解和掌握。8.参考答案：利用导数判断函数单调性的方法：①若f'(x)0，则f(x)在区间I上单调递增；②若f'(x)0，则f(x)在区间I上单调递减。具体步骤：①求函数f(x)的导数f'(x)；②确定导数f'(x)的符号；③根据导数符号判断函数的单调性。解析：本题考查利用导数判断函数单调性的方法。导数是研究函数性质的重要工具，通过导数的符号可以判断函数的单调性。该题考察学生对导数知识和函数性质的理解和应用能力。五、应用题1.参考答案：C解析：本题考查线性规划。设生产A产品x件，B产品y件，则有以下约束条件：2x+3y≤120（工时限制）3x+2y≤150（原材料限制）y≥2x（B产品不少于A产品的2倍）y≤50（B产品最大产量）目标函数：最大化y通过图解法或代入法求解，可得y最大值为40件。A选项错误，未满足B产品不少于A产品2倍的条件；B选项错