17　大单元五　微专题17　随机变量及其分布

微专题17随机变量及其分分布列的性质及应用【例1】(1)已知X的分布列如表所示，且Y＝aX＋b，E(Y)＝56，则D(Y)的值为()X－101Pa11A．1 B．5C．59 D．(2)(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝23，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是()A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝3C．D(X)＝29 D．D(3X＋2)＝[听课记录]_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【规律方法】分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．【跟踪训练1】(多选)(2025·辽宁重点高中期末)已知随机变量X的分布列为X1234Pp23p21－2p＋p21－3p＋p2随机变量Y满足Y＝2X＋1，则()A．p＝12 B．p＝C．P(Y＝5)＝34 D．P(X>2)＝随机变量的分布列考向1相互独立事件【例2】(2025·河北沧州模拟)某书店年终为回馈广大书友拟举办“赢书卡”答题活动．该活动设立两个关卡，分别为A号关卡和B号关卡．小明在A号关卡通关率为13，通关奖励是500元购书卡；在B号关卡通关率为12，通关奖励是600元购书卡；(1)若书店只允许随机选择一个关卡闯关，求小明通关的概率；(2)若书店规定在第一关通关后必须连续闯关，通关即可获得对应通关奖励，第一关闯关失败后终止游戏，两关奖励互不影响．小明通过掷骰子选择闯关的序号，若他掷出的点数小于3，则先选择A号关卡，否则选择B号关卡，记小明赢得购书卡的金额为X元，求X的分布列和数学期望．[听课记录]_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考向2超几何分布【例3】在一种新能源产品的客户调查活动中发现，某小区10位客户中有4人是该产品的潜在用户，小刘负责这10人的联系工作，他随机选择其中5人安排在上午联系，剩余5人下午联系．(1)设上午联系的这5人中有ξ个潜在用户，求ξ的分布列与期望；(2)小刘逐一依次联系，直至确定所有潜在用户为止，求小刘6次内即可确定所有潜在用户的概率．[听课记录]_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【规律方法】求超几何分布的分布列的步骤第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值．第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率．第三步，用表格的形式列出分布列．考向3二项分布【例4】(2024·江苏宿迁一模)某班欲从6人中选派3人参加学校篮球投篮比赛，将6人均分成甲、乙两队进行选拔比赛．经分析，甲队每名队员投篮命中率均为23，乙队三名队员投篮命中的概率分别为12，34，p(0<p<1)．现要求所有队员各投篮一次((1)若p＝34，求甲、乙两队共投中5次的概率(2)以甲、乙两队投中次数的期望为依据，若甲队获胜，求p的取值范围．[听课记录]_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【规律方法】破解有关二项分布的“四关”【跟踪训练2】(1)已知随机变量X~B(2，p)，其中0<p<1，随机变量Y的分布列为Y012P23－1q表中0<q<23，则D(Y)的最大值为________．我们可以用M＝∑k=122P(X＝k)lnP(X=k)P(Y=k)来刻画X与Y的相似程度，则当D(X(2)(2025·河北石家庄三模)某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如图所示的频率分布直方图．①估计这100名志愿者年龄的中位数(结果精确到0.01)和平均数；②依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在[25，45)的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量X表示代表年龄在[25，35)内的志愿者人数，求X的分布列及期望．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________正态分布【例5】(1)(多选)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X~N(μ1，σ12)，Y~N(μ2，σ22)，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性(2)(2024·四川成都二模)某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩(满分100分)都近似服从正态分布N(μ，σ2)．①已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次；②在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记X表示在本次考试中化学成绩在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的人数，求P(X≥1)的概率及X的数学期望．参考数据：0.997440≈0.9011．参考公式：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9974．[听课记录]_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________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