江苏灌南县2025-2026学年第二学期期中调研考试高二数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏灌南县2025-2026学年第二学期期中调研考试高二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．1.设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（）01A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意可得，解得.故选：B.2.已知点，若向量，则点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，因为，且，则，所以，即.故选：A.3.杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详析九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式．借助上面的表示形式，判断与的值分别是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】观察分析出“杨辉三角”中的数的特点：1.每一行有个数字，每一行两端的数字均为1，2.从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上）的两个数字的和，所以.故选：D.4.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P（X＝3）＝（）A. B. C. D.【答案】D〖祥解〗表示出抽取的4人中有3个团员，分别求出从这10人中任选4人参加某种活动方法总数，以及抽取的4人中有3个团员的方法总数，由古典概率的公式即可得出答案【解析】表示出抽取的4人中有3个团员，所以.故选：D.5.可以表示为()．A. B. C. D.【答案】C【解析】＝，故选：C﹒6.的展开式中的系数为（）A.100 B.60 C.40 D.20【答案】B【解析】因为，其中展开式的通项为，所以的展开式中含有的项为，所以展开式中的系数为60.7.在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（）A.异面 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直【答案】B【解析】由，，，，得，，则，即，而，显然向量不共线，即点不在直线上，所以直线与平行．故选：B.8.用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，而“”则表示把红球和蓝球都取出来，依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的红球都取出或都不取出的所有取法的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】从5个无区别的红球中都取出或都不取出，有种取法；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，有种取法；从5个有区别的黑球中取出若干个球，有种取法，所以所有取法为.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关于空间向量的说法中正确的有（）A.若向量、共线，则向量、所在的直线平行B.若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线C.若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面D.若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使．【答案】BD【解析】对于A，若向量、共线，则向量，所在的直线平行或重合，所以A错误；对于B，若向量，所在的直线是异面直线，则向量，的方向既不相同也不相反，所以向量，一定不共线，所以B正确；对于C，若三个向量，，两两共面，因为任意两个向量一定共面，如图所示，但三个向量，，不一定共面，所以C错误；对于D，若，，是空间中三个不共面的向量，根据空间向量的基本定理，可得对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使，所以D正确.10.某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数（每一位上数字只能是0或1，例如出现“1010”），其中的各位数字中出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数之间互相独立．记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有（）A. B.C.的数学期望 D.随机变量的方差【答案】BCD【解析】由二进制数的特点知：每一位上的数字只能是0或1，且各位数字出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数字之间互相独立，对于A，若，即各位数字都是，所以PX=0=(13对于B，若，即各位数字中三个，一个1，所以PX=1=C41对于C，由随机变量，可得的可能取值为，则PX=0=181，PX=3=C可得随机变量服从二项分布，所以，所以C正确；对于D，由随机变量服从二项分布，可得DX=4×2设，可得D(Y)=32×DX=9×89=811.已知，则下列说法正确的有（）A.展开式的各二项式系数的和为0 B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，各项的二项式系数和为：，A错误；对于B，令，则，令，则，所以，B正确；对于C，a2027=C2027对于D，令，则122027两边同乘得：，所以正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量，且，则__________．【答案】【解析】依题意得Pξ>2=P所以Pξ≥2.5=P13.在的展开式中，有理项的个数共有__________个．【答案】2【解析】因为Tr+1=所以当时，为整数，因此有理项的个数有2个.14.如图，在体积为1的三棱锥的侧棱上分别取点，使．记为平面、平面、平面的交点，则三棱锥的体积等于__________．【答案】##【解析】如图，假设，连接，则，如图，在中，连接，设，所以AJ=又，所以λ=12(1-μ)23(1-λ)=μ，解得则，则，设到底面的距离分别为，则，又，所以，所以，所以VO-BCD四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，以正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立直角坐标系，其中，，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为，高为h．（1）求；（2）当是二面角的平面角时，求．解：（1）由题意知，，，，，，，，，，，由此得：，由向量的数量积公式有：，（2）若是二面角的平面角，则，由，，，，0，可得，，又，解得：，所以16.甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务．（1）进行合影留念时，6名同学站成一排.甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？（2）6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？解：（1）从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列，则有种排列方案.（2）解：由题可得学生的人数分组方案可以有：①1，2，3；②1，1，4；③2，2，2；①6名学生人数按1，2，3分为三个组有种分组方法，则6人分配到三项不同的社区服务共有种分配方法；②6名学生人数按1，1，4分为三个组有种分法，则6人分配到三项不同的社区服务，一种服务1人、一种服务1人、一种服务4人共有种分配方法；③6名学生平均分配做三项不同的社区服务有种分配方法；则6人分配进行三项不同的社区服务，每组至少一人一共有种方法．17.现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，（1）在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率；（2）求第二次取到2号球的概率；解：（1）记事件分别表示第一次、第二次取到号球，，则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率；（2）依题意两两互斥，其和为，并且，，，，应用全概率公式，有.18.如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．（1）求线段的长度；（2）求直线与平面所成角的余弦值；（3）棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．解：（1）连接，因为为线段的中点，所以，由题意知面面，且面面，又面，所以平面，取边的中点记为，则．以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系，易知A0, 0,（2）由（1）可知，所以EB=2, 23记平面的一个法向量n=x所以n⋅BC=-8x0=0n⋅记直线与平面所成角为，则sinθ=考虑到θ=0, π2，有所以直线与平面所成角的余弦值为．（3）设，其中．AC=OM=OB=4, 23则有m⋅不妨取，解得，即m=3-则点到平面的距离d=OA⋅m整理得：，即，解得或（舍去），所以当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为．19.品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现分别以表示第一次排序时被排在1，2，…，的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述．（1）当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求的所有可能的取值集合；（2）取，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，等可能地为1，2，3，4的各种排列，且各轮测试相互独立．①求的分布列与数学期望；②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，计算出现这种现象的概率：出现这种现象，能否认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能？请说明理由．解：（1）当时，的各种排列方式如下表：112233231312323121022444∴的可能取值集合为；（2）①当时，考虑到在1，2，