江苏淮安市高中校协作体2025-2026学年度第二学期高二年级期中联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏淮安市高中校协作体2025-2026学年度第二学期高二年级期中联考数学试卷一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）1.已知向量，，若，则（）A.5 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】因为，所以，解得.2.甲、乙、丙、丁四人排成一列，甲不在排头，且乙或丙在排尾的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一步：因为乙或丙在排尾，共有种排法；第二步，因为甲不在排头，且乙或丙在排尾，所以甲只能排在中间两个位置，共有种排法；第三步，排丁和乙丙中剩余一个人，因为这两个人对位置没有要求，排在剩余的两个位置，共有种排法；所以满足条件的共有种排法；总的排法有种排法；所以所求概率为：.3.已知的展开式中的系数为，则（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】展开式的通项公式为，所以展开式中的系数为，所以，即，解得.4.已知向量，，若A，B，C三点共线，则（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】由题意可知，即，解得.5.若，则（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】若，则，即即，解得.6.如图所示，四面体所有棱长均为4，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知，为等边三角形，所以.所以.7.已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（）A.2 B.1 C.4 D.3【答案】C【解析】由空间四点，，，构成梯形，得四点共面，则存在唯一实数对，使得，即，得，解得.当时，，所以，且，所以空间四点构成梯形.所以.8.今天是星期三，再过天是星期几（）A.星期三 B.星期五 C.星期六 D.星期日【答案】D【解析】，因为98能被7整除，所以上式前50项都能被7整除，只需确定最后一项除以7的余数，，所以除以7的余数为，因为今天是星期三，所以再过天，是星期日.二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B.若，则是钝角C.已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底D.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面【答案】ACD【解析】对于A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，正确；对于B，若，则是钝角或是，错误；对于C，因为是空间中的一组基底，所以不共面且都不为，假设共面，则存在不全为零的实数使得，整理得，因为是空间中的一组基底，所以线性无关，故，解得，所以假设不成立，也是空间的一个基底，正确；对于D，因为，且，所以P，A，B，C四点共面，正确．10.下列说法正确的是（）A.将3封信投入5个邮筒，不同的投法共有种B.6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有270种分法C.从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法D.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84【答案】ACD【解析】对于A，由于每封信都有种投法，则封信有种投法，故A正确；对于B，先选2本有种，从余下的书再选2本有种，进而分给甲、乙，余下的2本分给丙、丁有，所以共有种，故B错误；对于C，从10人中任选4人有种，若4人全是男生有种，若4人全是女生有1种，所以共有种选法，故C正确；对于D，将4个不同的小球分成两组有种分组方法，再将这两组分配给4个盒子中的两个有种不同的分配方法，故D正确.11.设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，，，则（

）A.与不互斥 B.与相互独立C. D.【答案】ABD【解析】对于A，因为，，则，所以A正确，对于B，因为，所以，又，则，所以与相互独立，故B正确，对于C，因为，则，又，所以，故C错误，对于D，因为，又，则，所以，，故D正确.三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分）12.已知，，，则角的大小为_________.【答案】##【解析】由已知，，，则，，，所以.因为，所以.13.已知的展开式中，二项式系数的和为，则展开式的各项系数和为______（结果用数字作答）.【答案】【解析】由题意可得，解得，令，可得展开式的各项系数和为：.14.已知，，则在方向上的投影数量为_______，在方向上的投影向量为_________________.【答案】①.②.【解析】在方向上的投影数量为，在方向上的投影向量为.四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，共77分）15.从包含甲、乙2人的6人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；（2）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；（3）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；（4）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.解：（1）甲乙两人在中间两棒，则有种排法，从剩下4人选出2人排列到两边，有种排法，所以共有种排法.（2）将甲乙绑定到一起，内部有2种排法，从剩下4人选出2人，有种选法，全排列3个元素有种排法，所以共有种排法.（3）先从剩下4人选出2人先排列，有种排法，将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有种排法，所以共有种排法.（4）若甲在第四棒，乙在第一棒，则有种选法；若甲在第四棒，乙不在第一棒，则有种选法；若甲不在第四棒，乙在第一棒，则有种选法；若甲不在第四棒，乙不在第一棒，则有种选法；综上，共有种排法.16.如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F．（1）证明：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离．（1）证明：连接，由正方体可知，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，平面，平面平面，．（2）解：如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，设的长为a，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，故可得；设直线与平面所成角为，则，解得，，故的长度为1；，点到平面的距离．17.某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表：年龄段类型单次购物金额满188元81523159单次购物金额不满188元235911（1）为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？（2）在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率.解：（1）由表可知，单次购物金额满188元的有：8+15+23+15+9=70人，所以单次购物金额满188元频率为：，所以5000人中，单次购物金额满188元大约人，故需准备3500个环保购物袋；（2）记事件为“第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元”，记事件为“第2次抽到的顾客单次购物金额满188元”，所以，，所以，故第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率为.18.已知（1）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，求的值；（2）当时，二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，求的值；（3）当，时，求二项式的展开式中系数最大的项.解：（1）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式共13项，故.（2）当时，二项式为，展开式的通项为，令，则，所以，令，则，所以，又，所以，整理得，解得（舍去）或或.所以或.（3）当，时，二项式为.展开式的通项为，设第项系数最大，则，即，整理得，解得，又，所以.所以二项式的展开式中系数最大的项为.19.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，．（1）证明：平面PAC；（2）已知，点满足平面PEC．（i）求；（ii）求平面PBD与平面PEC的夹角．（1）证明：因为ABCD为菱形，所以，设AC，BD交于点，则，又因为，所以，因为，AC，平面PAC，所以BD平面PAC；（2）（i）解：取PC中点，则且，由知，所以，即四点共面，因为平面PEC，平面OBEF，平面平面，所以，因此OFEB是平行四