江苏省南京市 2025-2026 学年高二第二学期期中学情调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市2025-2026学年高二第二学期期中学情调研数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知点，向量，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题，，，所以，，，因此点的坐标为.2.已知向量，且，则（）A.-2 B.-1 C.2 D.1【答案】D【解析】由，得，解得.3.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则正整数的值为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】只有第5项的二项式系数最大，则中间项就是第5项，即，解得.4.对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（

）A.若且，则 B.C.若，且，则 D.【答案】B【解析】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误，对于B，，故B正确，对于C，若，且，则，则，无法得出，故C错误，对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误.故选：B.5.在空间直角坐标系中，轴上与点和点距离相等的点是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设所求点为.由得，解得，因此所求点为.6.定义“各位数字之和为6的三位数叫幸运数”，如123，222，则所有幸运数的个数为（）A.21 B.16 C.11 D.6【答案】A【解析】设三位数的百位、十位、个位数字分别为，因为，所以，当时，，，幸运数为，共6个，当时，，，幸运数为，共5个，当时，，，幸运数为，共4个，当时，，，幸运数为，共3个，当时，，，幸运数为，共2个，当时，，，幸运数为，共1个，综上所述三位数字之和为6的幸运数总计21个.7.已知空间向量，若共面，则（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】因为共面，所以存在，使得，即，解得，所以．8.下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.D.【答案】D【解析】选项A.因为，所以或，A错误.选项B.因为，所以，解得，B错误.选项C.根据组合数加法公式，，C错误.选项D.左边，​

右边，左右相等，D正确.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选得0分.9.如图所示，在正四面体中，，则（）A.B.C.在平面内的投影向量为D.在平面内的投影向量为【答案】BD【解析】对于AB，由题知，，，故A错误，B正确；对于CD，设点在平面的投影为点，由正四面体得，底面为等边三角形，且侧棱，所以由正四面体的性质得，顶点在底面的投影是底面的重心，在平面的投影向量为，则，所以在平面内的投影向量为，故C错误，D正确．10.已知，则（）A.B.C.D.除以5所得的余数是3【答案】ACD【解析】对于A，令，得，故A正确；对于B，令，得，所以，故B错误；对于C，令，得，则，由得，，故C正确；对于D，，显然，除了最后一项，其余各项均能被5整除，所以除以5所得的余数是3，故D正确．11.已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（）A.B.平面C.四边形为正方形D.的最小值为【答案】BCD【解析】对于A，因为，所以，所以，故A错误；对于B，由题可知，，因为，，所以，又平面，，所以平面，故B正确；对于C，由题可知，四边形为平行四边形，又因为，所以，所以平行四边形为菱形，又，所以，则菱形为正方形，故C正确；对于D，设，则，所以，所以的最小值为，故D正确．三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，项的系数为_____________．【答案】10【解析】展开式中项的产生，可以看作，，，四个括号中三个括号取，一个括号取常数，所以项的系数为.13.甲､乙等5名同学站成一排，其中甲､乙相邻且甲在乙的左边，不同的排法种数是__________.（用数字填空）【答案】24【解析】因为要求甲、乙相邻，且甲固定在乙的左侧，所以可直接将甲、乙看作1个整体，甲乙内部顺序固定，只有1种排列方式。此时相当于一共个元素进行全排列，排列数为，因此不同排法种数为24.14.阅读材料：平面直角坐标系中，直线可以用关于的二元一次方程表示，点到该直线的距离；空间直角坐标系中，平面可以用关于的三元一次方程表示，点到该平面的距离.若在空间直角坐标系中，点，点，点，则点到平面的距离为__________.【答案】##【解析】设平面方程为.因为平面过原点，，，所以，解得.令，得，因此平面的方程为.已知点，所以点到平面的距离.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图所示，在正方体中，分别是棱的中点.（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值.（1）证明：方法一：在正方体中，因为平面，又平面，所以，因为四边形为正方形，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以.方法二：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体棱长为2，则，，所以，所以，即.（2）解：方法一：取的中点，连接，因为分别为的中点，所以，而，所以，所以直线与直线的夹角就是直线与所成的角，设正方体棱长为，设异面直线与所成的角为，计算得，所以由余弦定理得所以异面直线与所成角的余弦值为.方法二：因为分别是棱的中点，所以，所以，设异面直线与所成的角为，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.16.如图，在中，平面分别是线段的中点．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离．解：（1）因为平面，所以以点为坐标原点，为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，分别是线段的中点，所以，设平面的法向量为，所以，即，取，则，所以，设直线与平面所成的角为，所以，因为，所以，所以直线与平面所成角的大小为．（2），设平面的法向量为，所以，即，取，则，所以，点到平面的距离，所以点到平面的距离为．17.在二项式的展开式中，求：（1）所有二项式系数的和；（2）所有的有理项；（3）系数最大的项.解：（1）所有二项式系数的和为.（2）展开式的通项为.所以当时，为有理项，所以；;；（3）由（2）知，，设第项系数最大，所以，整理得即，解得，而，则，所以系数最大的项是第3项：.18.某公司为包括甲､乙在内的6名本科毕业生面试准备了包括房间的3个不同的面试室，且所有学生都参加面试，求符合下列各小题要求的不同安排方法.（1）所有学生任意选择房间；（2）若甲､乙有且只有1人在房间，房间安排三人，其他每个房间至少安排一人；（3）恰有一个房间没有学生.（需写出必要的文字叙述､列式过程和计算步骤，并用数字作答.）解：（1）所有学生任意选择房间，即每个学生都有3种选择，根据分步计数原理，方法数有种.（2）首先选择去房间的人，先从甲､乙中任选一人，有种选法，再从剩余四人中任选2人，有种选法，剩下的三人去剩下的两个房间，只有一个房间1人，另一个房间2人这一种分组方式，共有种选法，将该分组进行排列，有种排列方法，根据分步计数原理，方法数有种.（3）恰有一个房间没有学生，即只有两个房间有学生，共有三种分组方式，分别为1个房间1人，1个房间5人，或1个房间2人，1个房间4人，或两个房间3人因此三个房间进入学生数有如下分配：①按分配，方法数有种；②按分配，方法数有种；③按分配，方法数有种，根据分类计数原理，方法数有种.19.如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）设平面平面，若点在线段上运动，且，当直线与平面所成角取最大值时，求的值．（1）证明：因为底面是菱形，所以，又因为平面平面，所以平面．（2）解：因为平面，在菱形中，，所以，则为等边三角形，取中点，所以，又，所以，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，所以，平面的一个法向量为，，设平面的一个法向量，所以，即，取，则，所以，所以，由图可知平面与平面所成角为锐角，所以平面与平面所成