江苏宿迁市2025-2026学年高一第二学期期中质量监测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏宿迁市2025-2026学年高一第二学期期中质量监测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.2.在中，若，，则的值为（）A. B. C.4 D.2【答案】A【解析】由题可知，，，而，即.故选：A.3.在中，已知，则的形状为（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】法一：由及正弦边角关系得，又，所以，即，由，则，且，即，法二：，综上，是直角三角形且，但不能确定的关系.4.在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在平行四边形中，，，所以，所以.故选：B5.已知，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设与的夹角为，因为，所以.又，所以，所以，解得.所以，所以.所以，又，所以，所以与的夹角为.6.在中，已知是边上一点，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，，因为，所以，在中，.7.函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，又，所以当时，.8.在中，已知，点在边上，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因，则，在中，因，则.由正弦定理得，即，整理得，两边取平方得，由，可得，代入得，即.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．9.已知平面向量，则（）A.若，则B.若，则C.若与的夹角为钝角，则D.若在上的投影向量为，则【答案】ACD【解析】对于A，由，故A正确；对于B，由，故B错误；对于C，由与的夹角为钝角，可得且，即，故C正确；对于D，由在上的投影向量为，可得，则，故D正确.10.下列各式中，计算结果为的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】对于A选项，，，所以，，A是；对于B选项，，B不是；对于C选项，，C不是；对于D选项，，D是.11.在中，角的对边分别为，，则（）A.B.C.的最小值为D.若，则的面积最大值为6【答案】BC【解析】对于A：因为，又，所以，所以，即，所以，即，所以，故A错误；对于B：因为，由正余弦定理得：，整理得：，故B正确；对于C：因为，所以，所以，所以，当且仅当即时等号成立，此时取到最小值，故C正确；对于D：因为，，所以，又因为，又因为，所以，所以当时，面积达到最大值为，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设为实数，若，，，，是不共线的两个非零向量且三点共线，则________．【答案】【解析】因为，，又，是不共线的两个非零向量，且，，三点共线，即，共线，则，解得．故答案为：．13.已知，则的值为______．【答案】【解析】，，，，．故答案为：．14.在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________．【答案】8【解析】在中，，由正弦定理得，所以，，所以，则的面积为.故答案为：8.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在边长为4的等边中，是边上的中线，为的中点，设，．（1）试用基底表示；（2）求的值．解：（1）因为是的中线，所以，又因为是中点，所以，即；（2）由题意，，因为是等边三角形，与夹角为，所以

，由.16.已知为锐角，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）已知为锐角，由，结合同角三角函数关系，解得：，由二倍角公式，代入得：；（2）因为为锐角，所以，又，因此，由同角三角函数关系得：，因此，又，由正切差角公式：，代入得：.17.在中，分别为角的对边．（1）若，求角的大小；（2）若，，求的余弦值．解：（1）由正弦边角关系得：，所以则，即，所以（舍）或，故.（2）设，因为，所以，所以是等边三角形，所以，即，所以，在中，，所以，所以，所以，所以，所以，所以，且，所以.18.在平面凸四边形中，．（1）若．①求的长；②求四边形的面积；（2）若，求的长．解：（1）①，，即由余弦定理得，，代入得：，化简得：，解得.②设四边形的面积为，，，，.（2）如下图，过点作垂线交于，设，，四边形是矩形，，对用勾股定理得：，对用勾股定理得：，对用余弦定理得：，即，化简得，两边平方得：，再化简得：，解得或4，，或2，又是锐角三角形，，即，得，.19.如图，延长的边至点，边至点，边至点，使得线段的长分别为的倍，我们将称为的“变换三角形”．（1）当时，若，求的长；（2）若是边长为2的等边三角形，点为其“2变换三角形”中线段上的动点，求的最大值；（3）设点为的重心