江苏扬州市高邮市2025-2026学年高一第二学期期中检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏扬州市高邮市2025-2026学年高一第二学期期中检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求.1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由二倍角的余弦公式得.2.已知向量，若，则（）A. B. C. D.0【答案】D【解析】因为，所以.3.已知，点在直线上，且，则点的坐标为（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】由题意得：或，设点，所以，当时，所以，解得，所以，当时，所以，解得，所以.4.在中，角所对的边分别为，若，，，则角（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】由正弦定理得：，又因为且，所以.5.在中，若，，其面积为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】由题意知，，所以.由余弦定理知，，所以.由正弦定理得，，则，，.所以.6.设的内角所对的边长分别为，若，则的值为（）A. B. C.5 D.4【答案】C【解析】由正弦定理可得，又，所以，移项整理得，若为直角，不满足原式，则，所以可得，即．7.记的内角的对边分别为，已知，，当的面积的最大值时，则的值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】由于，，所以的面积，则当的值最大时，的面积最大，由余弦定理可得，又，，所以，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，又，故为锐角，所以，则面积最大时，的值为.8.在边长为2的正三角形的边上分别取两点，沿线段折叠三角形，使顶点正好落在边上，则的长度的最小值为（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】显然两点关于折线对称，连接，图(2)中，可得，则有，设，，再设，则有，在中，，∴，又，在中，由正弦定理知，即，∴，∵，∴，∴当，即时，．此时取得最小值，则的最小值为．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各式中运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】因为，所以A正确；因为，所以B错误；因为，所以，即，所以C正确；因为，所以D错误.10.在中，，，，则（）A. B.的面积为8C. D.【答案】ACD【解析】由余弦定理得，所以，解得，因为，所以为直角三角形，，所以，所以A正确；，所以B错误；，，所以，所以C正确；因为，所以，所以D正确.11.已知的内角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】因为，所以，整理得，即.又因为，所以，即，整理得：，因为，所以.选项A：，与推导结果一致.A正确.选项B：由，得，因为，因此，即.B正确.选项C：由，可知均为锐角；又因为，又因为，即，所以.C正确.选项D：因为，（因），得且，但无法确定和的大小，故无法推出.D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，AD为的边BC上的中线，且，，那么为__________（用，表示）【答案】【解析】已知AD是中线，则，移项得．13.已知，则__________.【答案】【解析】因为，即，所以，，所以，所以.14.内角的对边分别为，，，则△ABC周长的最大值为__________.【答案】6【解析】由三角形内角和得，故.由正切和角公式，代入得：，整理得.结合题设，联立得.因，故.已知，由余弦定理，代入得：.由基本不等式，得，即，当且仅当时取等号.因为，所以.故，当且仅当时取等号.因此周长，即周长最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知，，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因为，，，所以，.所以.（2）.16.已知向量满足，，且与的夹角为．（1）若，求实数的值；（2）求与的夹角的余弦值．解：（1）由题意可得，因为，所以，即，解得．（2）设与的夹角为，由（1）可知，，由题意可得，由，得，所以．17.已知的三个内角所对的边分别为，.（1）求角的大小.（2）若，的面积为，求a的值.（3）若，，点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长.解：（1），.在中，，，可得，，，，又，可得．（2）由，解得，由余弦定理得，所以，故．（3）由，，设AD的长为x，由，，解得，即.18.如图，在等腰梯形ABCD中，，，P为线段CD上的一个动点.（1）若，，，求BP的值；（2）若，Q为线段AP上一点，且，求实数m的值；（3）设x，，，求的值.解：（1）在中，，，由余弦定理得，，.（2），，.因为点Q为线段AP上一点，所以存在，使得，，，解得.（3）由已知，①，因为点P在线段CD上，所以存在，使得，则，又，②，由①②得，.19.已知的面积为.（1）求的大小；（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围；（3）如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值.解：（1）因为，所以，整理得，又，所以.（2）在中，由正弦定理知，，所以，若为锐角三角形，则，解得