广东省惠州市惠阳区第一中学高中部2025-2026学年高一下学期第二次质量检测数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省惠州市惠阳区第一中学高中部2025-2026学年高一下学期第二次质量检测试卷第I卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足，是的共轭复数，则（

）A. B. C. D.【答案】D2.将水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为（）A. B.6 C.5 D.【答案】C3.若高为的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. B. C.2 D.4【答案】C4.在中，D为AB的中点，点E满足，则（）A. B. C. D.【答案】A5.设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若，，，B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】B6.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高（）A. B. C.50 D.【答案】B7.在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（）A. B.112 C. D.【答案】A8.已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（）A. B. C.3 D.6【答案】D二､选择题：共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的是（）A.对于向量，若，，则B.向量，可作为所在平面内的一组基底C.对于向量，有D.设为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”的充分而不必要条件【答案】BD10.在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则有两解D.在中，若，则为直角三角形或等腰三角形.【答案】ACD11.如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（）A.过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为B.存在点，使得直线平面C.当在线段上运动时，三棱锥的体积不变D.的最小值为【答案】ACD第二部分（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为______.【答案】13.在四面体中，两两互相垂直，且是的中点，异面直线与所成的角的余弦值为，则四面体的体积为_________．【答案】14.如图，在中，，为的中点．将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为_________．【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（1）是平面内不共线两向量，已知，，，若三点共线，求的值；（2）已知，求向量与夹角的余弦值.解：（1）∵，，∴.∵三点共线，∴与共线，∴存在实数，使得，即.∵是平面内不共线向量，∴1=λ-k=-2λ，解得.（2）∵，，，∴(a∵，∴，.设向量与的夹角为，则cosθ=16.如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.证明：（1）∵，且为棱的中点，∴，又∵，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面.（2）平面，平面，，连接，由题意，为棱的中点，，知，且，则四边形为平行四边形，，，又，所以平行四边形为正方形，，又，，又，平面，平面，又平面，所以平面平面.17.已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量（1）若求A；（2）若求的面积.解：（1）因为所以①.又由正弦定理，即，代入①式，可得，整理得，又，所以，解得.（2）因为，所以，即，又，所以.因为，由余弦定理可得，即，解得或（舍去）.故.18.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.（1）证明：连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD（2）解：设正方形边长a，则．又，所以∠SDO＝60°．连OP，由（I）知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD．所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角．由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD＝30°，即二面角P－AC－D的大小为30°（3）解：在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC．由（2）可得，故可在SP上取一点N，使PN＝PD．过N作PC的平行线与SC的交点即为E．连BN，在△BDN中知BN∥PO．又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC．由于SN∶NP＝2∶1，故SE∶EC＝2∶1.19.在中，a，b，c为角A，B，C的对边，．（1）求；（2