2026-2027学年福建省漳州第一中学高三（上）练习数学试卷（9.28）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年福建省漳州第一中学高三（上）练习数学试卷（9.28）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(1−i)z=4i，则|z|=(

)A.22 B.2 C.4 2.已知a，b是非零平面向量，则“a⋅b<a2”是“A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.某圆台形无盖水桶的表面积为220πcm2，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为(水桶壁与底的厚度忽略不计)(

)A.600πcm3 B.700πcm3 C.4.已知Q(4,3)，N(2,0)，M为抛物线C1：y2=8x上一动点，则|MQ|+|MN|的最小值是A.3 B.4 C.5 D.65.若f(x)=ln(e2x+1)+axA.0 B.−1 C.−2 D.−e6.高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入.现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有(

)A.66种 B.93种 C.195种 D.273种7.已知关于x的方程2sinx+cosx=1在[0,2π)内有2个不同的解α，β，则cos(α−β)=(

)A.1 B.−1 C.35 D.8.若不等式(x−1)ex−ax−b≥0(e是自然对数的底数)对任意x∈R恒成立，则当ba取最大值时，实数A.1 B.2 C.e2 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a，b是不共线的单位向量，其夹角为θ(θ∈(0,π))，则下列说法正确的是(

)A.存在λ∈R，使得b//(a+λb)

B.存在λ∈R，使得b⊥(a+λb)

C.10.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，正方形BCC1B1内A.存在点P使得PB⊥PC

B.直线BC1与点P的轨迹有公共点

C.点P运动轨迹长为4π9

D.三棱锥11.函数f(x)=b|x|−a(a>0,b>0)的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当a=1，b=1时，下列结论正确的是A.函数f(x)的图象关于直线x=1对称

B.当x∈(−1,1)时，f(x)的最大值为−1

C.函数f(x)的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离为

2

D.函数f(x)的所有“囧圆”中，面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={x|x−12∈Z,x∈A}，则集合B的真子集个数为

13.设F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P14.以(0,m)间的整数(m>1)，m∈N)为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以(0,m2)间的整数(m>1)，m∈N)为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以(0,mn)间的整数(m>1,m∈N)为分子，以mn为分母组成不属于A1，A2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1，E，F分别为棱A1B1，BC的中点．

(1)求证：EF/16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2A+cos2B+sin2C=sinAsinB+2．

(1)求角C的大小；

(2)若c=2，∠ACB17.(本小题15分)

已知点P(m,2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，焦点为F，|FP|=2，经过点Q(1,1)的直线l交抛物线C于A，B两点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若|AQ|⋅|BQ|=618.(本小题17分)

设集合A={1,2,3,…,n}(n∈N∗)，B⊆A且B≠⌀，记集合B中的最小元素和最大元素分别为随机变量X，Y．

(1)当n=4时，求事件“X=2且Y=4”的概率；

(2)求随机变量Y的分布列；

(3)在Y=n的条件下，求X的数学期望19.(本小题17分)

已知函数f(x)=m(x−1x)−lnx，m∈R．

(1)若f(x)在定义域上单调递增，求m的取值范围；

(2)若y=f(x)有两个极值点a，b，证明：f(a)+f(b)+f(a+b)<34−ln2；

(3)若m=0，关于x的方程|xf(x)|=n在(1e,+∞)上有两个不同的实数根1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】BCD

10.【答案】AC

11.【答案】BCD

12.【答案】7

13.【答案】214.【答案】mn15.【答案】解：(1)证明：取棱A1C1的中点为G，连接EG，CG，如图所示．

因为点E为A1B1的中点，所以EG//B1C1，且EG=12B1C1．

又F为BC的中点，所以EG/​/CF，且EG=CF，

所以四边形EGCF为平行四边形，所以EF/​/CG．

又EF⊄平面AA1C1C，CG⊂平面AA1C1C，所以EF/​/平面AA1C1C.

(2)如图，由题意，以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

不妨设AB=2，则A(2,0,0)，B1(0,0,2)，F(0,1,0)，E(1,0,2)，

所以AF=(−2,1,0)，AE=(−1,0,2)．

设平面AEF的一个法向量为m=(x,y,z)，则m⋅AF=0m⋅AE=0，

则−2x+y=0−x+2z=016.【答案】解：(1)因为cos2A+cos2B+sin2C=sinAsinB+2，

所以：1−sin2A+1−sin2B+sin2C=sinAsinB+2，

即sin2C−sin2A−sin2B=sinAsinB，

由正弦定理得c2−a2−b2=ab，即a2+b2−c2=−ab，

由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab=−12，

又17.【答案】解：(1)由抛物线C：y2=2px(p>0)，得焦点F(p2,0)，准线x=−p2，

由题意可知：2pm=4，m+p2=2，解得p=2，m=1，

所以抛物线的方程为y2=4x；

(2)因为点Q(1,1)在抛物线内部，则直线l的斜率不为0，且直线l与抛物线必相交，

设直线l：x=t(y−1)+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立方程x=t(y−1)+1;y2=4x，消去y可得18.【答案】解：(1)当n=4时，非空子集B共有24−1=15个，

符合题意的子集只有{2,4}，{2,3,4}两个，

所以P(X=2,Y=4)=215．

(2)由题意得：Y的所有可能取值为1，2，3，…，n，非空子集B共有(2n−1)个．

当Y=k时，集合B中必须包含元素k，不含大于k的元素，

符合题意的子集B共有2k−1个，

故P(Y=k)=2k−12n−1，其中k=1，2，3，…，n．

(3)当Y=n时，集合B中必须包含元素n，符合题意的子集B共有2n−1个．

当X=n时，P(X=n|Y=n)=12n−1；

当X=k，k=1，2，3，…，n−1时，P(X=k|Y=n)=2n−1−k2n−1=2−k；

因此E(X|Y=n)=k=1n−1k⋅19.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=m+mx2−1x．

因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f′(x)≥0恒成立．

则m+mx2−1x≥0，即m≥xx2+1在x∈(0,+∞)上恒成立，所以m≥(xx2+1)max．

因为xx2+1=1x+1x≤12，当且仅当x=1时，等号成立．

所以m≥12，即m的取值范围是[12,+∞)；

(2)证明：由题意得f′(x)=m(1+1x2)−1x=mx2−x+mx2，x∈(0,+∞)．

因为y=f(x)有2个极值点a，b，则f′(x)=0有两个正根a，b．

则Δ=1−4m2>0a+b=1m>0ab=1，解得0<m<12．

所以f(a)+f(b)+f(a+b)=f(a)+f(1a)+f(1m)=m(a−1a+1a−a)+f(1m)

=m(1m−m)−ln1m=1−m2+