2026-2027学年湖南省永州市跨世纪天成高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年湖南省永州市跨世纪天成高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(2,5,8)，b=(−3,4,−4)，则a+A.(5,1,4) B.(3,9,12) C.(−1,1,4) D.(−1,9,4)2.已知向量m=(1,2,4)，n=(2,1,−x)，若m⊥n，则A.−2 B.−1 C.1 D.23.已知A(1,4,2)，B(−2,1,3)，则|AB|等于(

)A.1 B.19 C.234.已知a=(2,−3,1)，则下列向量中与a平行的是(

)A.(1,1,1) B.(−2,−3,5) C.(2,−3,5) D.(−4,6,−2)5.直线3x−3y−2=0的倾斜角α=A.30° B.60° C.120° D.150°6.已知a=(2,−1,4)，b=(−1,1,−2)，c=(7,5,m)，若a，b，c共面，则实数m的值为A.607 B.14 C.12 D.7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别在线段CD和BC上，且CM=2DM，CN=NBA.3210 B.8210 8.已知点A(2,−3)，B(−2,1)，直线l过点(1,2)，且直线l与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围为(

)A.−5≤k≤13 B.k≥13或k≤−15 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.给出下列四个命题，其中正确的有(

)A.若空间向量a,b,c均为非零向量，满足a//b，b//c，则a//c

B.设{a,b,c}是空间中的一组基底，则{a−b,b+c,a+c10.已知直线l的一个方向向量为u=(−36,12)A.l的倾斜角等于150° B.l在x轴上的截距等于233

C.l与直线3x−3y+2=0垂直 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1C1，A.三棱锥B1−EFG的体积为定值

B.线段A1D上存在点G，使A1C⊥平面EFG

C.线段A1D上存在点G，使平面EFG//平面ACD1

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间向量a=(−1,2,3)，则向量a在坐标平面Oxz上的投影向量是

.(用坐标表示)13.若直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行，则a=

．14.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AC四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在三棱锥P−ABC中，点D为棱BC上一点，且CD=2BD，点M为线段AD的中点．

(1)以{AB、AC、AP}为一组基底表示向量PM；

(2)若AB=AC=3，AP=4，∠BAC=∠PAC=60°，求PM⋅AC

16.(本小题15分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，D17.(本小题15分)

已知ABCD是菱形，AB=3，AC=2，E为AC的中点，将△DAC沿AC折起，使点D与点P重合，且PB=4．

(1)证明：PE⊥平面ABC；

(2)求二面角B−PA−C的余弦值．

18.(本小题17分)

三角形的顶点是A(−5,0)，B(3,−3)，C(0,2)，求：

(1)边AC所在直线的方程；

(2)边AB上的高CD所在直线的方程；

(3)边AC的垂直平分线l的方程．19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=3．

(1)求证：PE//平面BMD；

(2)求直线PB与平面BMD所成角的余弦值；

(3)线段PA上是否存在一点N使得平面BMN与平面BMD所成角的余弦值为

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】AC

10.【答案】CD

11.【答案】ABD

12.【答案】(−1,0,3)

13.【答案】−2或1

14.【答案】315.【答案】解：(1)∵M为线段AD的中点，∴AM=12AD，

∵CD=2BD，∴BD=13BC，

∴PM=PA+AM=PA+12AD=PA16.【答案】解：(1)证明：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，

点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3，

以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则C(0,0,0)，C2(0,0,3)，B2(0,2,2)，D2(2,0,2)，17.【答案】证明见解答；

101018.【答案】解：(1)A(−5,0)，C(0,2)，则kAC=2−00−(−5)=25，

故直线AC的方程为y=25x+2，即2x−5y+10=0；

(2)kAB=−3−03−(−5)=−38，由CD⊥AB，

得kCD⋅kAB=kCD⋅(−38)=−1，解得kCD=83，

则直线CD的方程为y=83x+219.