贵州省六校联盟2026届高三下学期4月高考联考（三）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省六校联盟2026届高三下学期4月高考实用性联考数学试题（三）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.样本数据1，2，2，3，3，3，4，4，4，4的第一四分位数是（）A.1 B.2 C.2.5 D.3【答案】B【解析】因为共有10个数据，所以，所以第一四分位数是第3个数2.2.已知抛物线，其焦点为，若点在抛物线上，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】因为点在抛物线上，将其代入,可得，则，故.3.已知是不共线向量，且，则以下选项正确的是（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线【答案】D【解析】对A：，不存在实数，能使得，故与不共线，故三点不共线，故A错误；对B：，不存在实数，能使得，故与不共线，故三点不共线，故B错误；对C：，不存在实数，能使得，故与不共线，故三点不共线，故C错误；对D：，故，又线段与线段有公共点，所以三点共线，故D正确.4.等差数列的前项和为，已知，则（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】C【解析】因为，所以，又，所以，所以，所以.5.已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则以下选项正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B【解析】对于，面面平行的判定定理要求相交，若，则可能相交，故错误；对于，过作平面交于，则，过作平面交于，则，故，又不在平面内，又平面，所以，而，故，故，故正确；对于C，若，则或，故错误；对于，若，如果或，则不能判断，故错误.6.高三年级1，2，3，4，5五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域，每个区域至少有一个班级负责，其中1班和2班都不去区域甲，则不同的任务分配方法种数为（）A.108 B.120 C.126 D.144【答案】C【解析】分为两类，第一类：只有一个班去区域甲，在3，4，5三个班级中任选一个去区域甲，剩下的四个班级去其余的三个区域，且每个区域至少有一个班，则方法种数为：；第二类：有两个班去区域甲，在3，4，5三个班级中任选两个去区域甲，剩下的三个班级去其余的三个区域，方法种数为：；故共有种方法.7.已知函数的最小正周期为，且，则函数的最小值为（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】，且，则，则，由，则当时，取最小值，即的最小值为.8.已知函数的定义域为，满足，则下列结论正确的是（）A. B.方程有解C.函数在定义域内单调递减 D.的最小值为2【答案】D【解析】对于A，因为的定义域为，且满足且，取，可得，则，取，可得，则，所以A错误；对于B，取，可得，则，所以，以上各式相加得，所以，经检验：其中满足上式，所以，令，可得，此方程无解，所以B错误；对于C，由函数，由函数的图象开口向上，且对称轴为，所以函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以C错误；对于D，由C项知：函数在上单调递增，所以，所以D正确.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.已知角与角的顶点为原点，始边与轴的正半轴重合，角为第三象限角，且，角的终边与角的终边关于轴对称，则下列结论正确的是（）A.角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点B.C.D.【答案】BD【解析】对于A：由，且为第三象限，得，，故角的终边与单位圆的交点为错误；对于和：因为角的终边与角的终边关于轴对称，即为第四象限角，所以角的终边与单位圆的交点为，则，，又，所以正确，，正确；对于C：由于角的终边与角的终边关于轴对称，所以，不一定等于，故C错误.10.设，则以下选项正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】对于A：，A正确;对于B：，故B正确;对于C：因为，所以，故C错误;对于D：，故D正确.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点，且与双曲线的右支交于两点，其中点在第一象限，则下列说法中正确的是（）A.点到双曲线的两条渐近线的距离之积为B.直线斜率的取值范围为C.若，的内切圆的半径分别为，则的取值范围为D.的最小值为9【答案】AC【解析】对于A.设，双曲线的渐近线方程为，设到直线的距离为，设到直线的距离为,则，故A正确；对于B.因为直线与双曲线的右支交于两点，根据图象与双曲线的性质，可知直线的斜率的取值范围为，故B错误；对于C.设直线的倾斜角为，因为渐近线的倾斜角分别为，所以.设的内切圆的圆心分别为的内切圆与各边切于D，G，H，的内切圆与切于，设，根据圆的切线的性质，可知，所以，所以，所以，解得，所以，所以在直线上，同理可得也在直线上，且.由几何关系可得，所以.因为，所以，所以，令，由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，故C正确;对于D.由双曲线的焦半径公式可知，则，根据，所以，故错误.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.设集合，且，则实数的取值集合为_____.【答案】【解析】，因为，当，即时，，满足；当，即时，由可得或，所以，由，所以或，解得或.综上所述，实数的取值集合为.13.一个质点在轴上运动，每次向左或向右移动一个单位长度，质点每次向右移动的概率为，质点从原点出发，移动五次后到达点的概率为_____.【答案】【解析】根据题意，质点从原点出发，移动五次后到达点，可得质点向右移动4次，向左移动1次，所以概率为.14.已知三棱锥为正三棱锥，，若为正三棱锥的外接球球面上的一个动点，为内切圆上的一个动点，则的最大值为_____.【答案】【解析】如图，设球心为，外接球的半径为，的内切圆圆心为，则、、三点共线，连接、，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得,即，整理得，设内切圆的半径为，则有，故，由是内切圆上一点，则，在直角中，由勾股定理得，即，则，当且仅当、、三点共线且在、之间时等号成立.四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.记的内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若的外接圆半径为，求的值.解：（1）在的内角中，有，由正弦定理及二倍角公式得，又，.，即.（2）由（1）及正弦定理得，，.由余弦定理得，.16.某研究小组为调查居民对一项政策落实的情况，从某社区随机调查了1200位居民(其中出生月份在6~8月的有400人).每位居民首先独立抛掷一枚质地均匀的骰子:若骰子朝上点数为奇数，则回答问题1:你的出生月份是6月、7月或8月吗？若骰子朝上点数为偶数，则回答问题2:你对该政策的落实是否感到满意?调查结束后，统计得到回答“是”的居民共有620人.调查员不知道每位居民具体回答了哪个问题，并假设所有居民都如实回答了自己的问题.（1）试估计该社区居民对该项政策落实感到满意的比例；（2）从该社区随机抽取一位居民，已知该居民在调查中回答“是”，求他所抛骰子是偶数点朝上的概率.解：（1）因为骰子朝上点数为奇数、偶数的概率各为，所以估计回答问题1和问题2的居民各有600人.由题意，出生月份在月的比例为，从而回答“是”的居民中回答问题1的应为人，所以回答“是”的居民中回答问题2的为(人)，故估计该社区居民对该项政策落实感到满意的比例为.（2）由(1)知，该社区居民对该项政策落实感到满意的比例为，设事件A表示居民回答“是”，事件B表示居民所抛骰子是偶数点朝上.回答“是”的概率为.回答“是”且点数是偶数的概率为.因此，所求条件概率为，故已知居民回答“是”的条件下，他所抛骰子是偶数点朝上的概率约为.17.如图，在四棱锥中，.（1）证明:平面平面；（2）若，为锐角，且平面与平面所成二面角的正弦值为，求.（1）证明：作，垂足为，连接.在中，由，解得.，四边形是平行四边形，，则，，即.，又平面，平面.平面，平面平面.（2）解：，.如图2，以为坐标原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，，设平面、平面的法向量分别为，由，取，得.由，取，得.因为平面与平面所成二面角的正弦值为，则其余弦值的绝对值为，所以，解得或46.当时，，此时为钝角，不符合题意；当时，，此时为锐角，符合题意，故.18.已知函数.（1）求的最大值；（2）当时，，求的取值范围；（3）证明:，.（1）解：，由题得，当时，，所以，在上单调递增；当时，令，则，则在上单调递减，则，所以在上单调递减，所以，所以的最大值为；（2）解：由，整理得，当时，，符合题意；令，则，令，则，当时，，所以在上单调递增，所以；①当时，，所以在上单调递增，所以，符合题意；②当时，，，所以存在，使得，当时，，所以在上单调递减，则当时，，不符合题意；综上，实数的取值范围是；（3）证明：由（1）知，，故，当且仅当时，等号成立，故当时，，取，，，则，故，，，，所以，即.19.已知椭圆的离心率等于分别为的左、右焦点，为上任意一点，当线段的中点在轴上时，的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于另一个点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于两点.（i）求证：直线与的交点在一条定直线上；（ii）平面上点，使得直线的斜率成等比数列.求证：、、三点共线.（1）解：设椭圆的焦距为，则，则，即，从而轴，则，，又离心率，则，故，由，所以，故，则，所以椭圆的方程为：；（2）证明：（i）当直线的斜率为0时，由题知，因为，所以，联立和：，解得，则交点；当直线的斜率不