河南开封市名校2027届高三上学期联考模拟预测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南开封市名校2027届高三上学期联考模拟预测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={x|−1<x<3}，集合A={x|x2<1}，则∁A.{x|−1<x<1} B.{x|1<x<3} C.{x|1≤x<3} D.{x|1≤x≤3}2.已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为(

)A.7 B.9 C.11 D.123.已知双曲线x2a2−y2A.54 B.43 C.344.已知非零向量a，b满足|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为120°，则A.−2 B.−14 C.7 D.105.在▵ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60∘，M为BC的中点，AC=3AN，AM与BN交于点P，则A.−316 B.5719 C.6.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18∘表示，即5−12A.−m4 B.−m2 C.7.“2x>7”是“x>log25A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2c(b>c),P是C上的任意一点，过点P作两条直线与圆x2+A.217 B.33 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=(1+i)(a−2i)(a∈R,A.当a=0时，z=−2+2i

B.当z为纯虚数时，a=−2

C.z在复平面内对应的点恒在直线x−y−4=0上

D.当a=310.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量y(单位：千件)与售价x(单位：元/件)的情况如下表所示.则(

)售价x(元/件)1011121314月销售量y(千件)109975参考公式：①r=ni=1(参考数据：i=15xiyi=468，A.y关于x的线性回归方程为：y=−1.2x+22.4

B.相关系数r≈−0.95(小数点后保留两位)

C.当售价为15元/件时，预测月销售量为3.4千件

D.在线性回归方程的估计下，样本点(10,10)的残差为11.已知实数m，n满足mem4n2=A.n=em2 B.mn2=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=b=3，且a⋅b=1，则13.数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，则这个数列的第1项是

．14.已知集合M=1,2,3,4,5,6，集合N=1,2,3,4,5，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲、乙两人分别从集合M，N中随机抽取3个不同的元素各构成最大的三位数X和Y，若X<Y，则甲获得胜利．甲获得胜利的概率为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin2B=2sinA，b=2．

(1)求B；

(2)若M为边AC上一点，∠ABM=16.(本小题15分)为研究大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力是否有关联，随机调查某校100名大学生，数据如下：单位：人使用AI学习工具的情况自主思考能力合计强一般经常使用222850不经常使用341650合计5644100(1)依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析大学生使用AI学习工具的情况是否与自主思考能力有关．(2)小余之前从未使用过AI学习工具，他计划开始尝试使用AI学习工具进行学习，他在第n天使用AI学习工具的概率为1n+1，设每天是否使用AI学习工具进行学习相互独立．设小余前3天中使用AI学习工具进行学习的天数为X，求X的分布列与期望E参考公式：χ2=n参考数据：α0.10.050.010.0050.001χ2.7063.8416.6357.84110.82817.(本小题15分)已知Sn是数列an的前n项和，且满足(1)求数列an(2)在平面直角坐标系xOy中，已知点P1,0，定义点An1+1a(i)求tanβ(ii)证明：α1+18.(本小题17分)已知椭圆Γ:x2a2+y2=1(a>1)，Mm,0为x(1)若m=2，且F1(2)若a=32且m=322，A，B是Γ上两个不同的点(3)设经过点M的直线l交椭圆Γ于P，Q两点(点P，Q均在x轴上方)，若对于任意的m∈2,3，都存在直线l，使得OP⋅OQ=19.(本小题17分)已知函数fx=mx+xln(1)判断函数fx(2)若方程fx=e①求实数m的取值范围；②证明：x1+ln1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】BC

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】213.【答案】20或180

14.【答案】94015.【答案】解：(1)根据题意可知，asin2B=2sinA，

所以a⋅2sinBcosB=2sinA，

由正弦定理知，a⋅2bcosB=2a，

又a≠0，b=2，

所以cosB=12，

又0<(2)证明：由(1)知，B=π3，

又∠ABM=π6，

所以∠CBM=π6，即BM平分∠B，

因为S▵ABM=12c⋅BM⋅sin∠ABM=14c⋅BM=34c，S▵CBM=12a⋅BM⋅sin∠CBM=14a⋅BM=34a，S▵ABC=12ac⋅sinB=3

16.【答案】解：(1)零假设为H0：大学生使用AIχ2根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0即认为大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力有关．(2)由题意，X的可能取值为0,1,2,3，PX=0PX=1PX=2PX=3故X的分布列为X0123P11111∴EX

17.【答案】解：(1)因为Sn=1−1n+1，

所以当n≥2时，an=Sn−Sn−1，

将Sn=1−1n+1和Sn−1=1−1n代入可得：an=(1−1n+1)−(1−1n)=1n−1n+1=1n(n+1)，

当n=1时，a1=S1=1−11+1=先证明以下结论：

αn=因为

tanβn且

βn−βn+1∈0,故

α1+因为

tanβ1=1

，β1∈0,π

18.【答案】解：(1)因m=2，则F1F2则椭圆Γ的离心率为e=c(2)因a=32，则此时，Mm,0在椭圆的外部，显然当MA,MB与椭圆相切时，∠AMB设过点M的直线方程为x=ty+m，将其与x2a2+y由Δ=64m2t2−4(4t2即直线MA,MB的斜率分别为±23，由到角公式可得tan∠AMB=|故∠AMB的最大值为arctan12(3)依题意设l:x=ty+m,(t∈R)，代入Γ:x2a整理得(t由Δ=4m2

设P(x1OP⋅将(∗)代入，化简得(t依题意，存在t∈R，使得−a因−a2+1712则h(m)此外，还需满足①式，由②得t2=12整理得：512m2<a则a4−a2≥154，即(2因点P，Q均在x轴上方，则|m|>a对m∈2,3恒成立(当m<0时取t>0，当m>0时取t<0均能保证y1,则a<|m|综上，实数a的取值范围为[

19.【答案】解：(1)因为fx=mx+xlnx+1，由f′x<0，得0<x<e−m−1所以函数fx在0,e−m−1(2)①方程fx=ex，即mx+xln设gx=exx−ln即函数gx的图象与直线y=m因为g′x=x−1当x>0时，ex所以当0<x<1时，g′x<0，当x>1时，所以函数gx在0,1上单调递减，在1,+∞所以当x=1时，函数gx因为g1=e−1，当x→0+时，gx所以m>e−1，即实数m的取值范围是e−1,+∞．②证明：由①可知，m=e则证不等式x1+ln转化为证lnx令hx=exx令mx=e因为m′x>0在所以mx在0,+∞上单调递增，所以m所以当